뫼비우스 변환

1. 개요[편집]

뫼비우스 변환 Möbius Transformation
다른 이름	일차분수변환(linear fractional transformation), 사영변환
꼴	w = (az+b)/(cz+d), ad−bc ≠ 0
정체	리만 구면의 등각 자기동형 전부
군 구조	PSL(2, ℂ) ≅ PGL(2, ℂ) — 합성 = 행렬곱
불변량	교차비, 원·직선(circline)의 집합
자유도	복소 3개 — 세 점의 상을 주면 유일

분수 하나가 어떻게 이렇게 많은 일을 하는가. 답은 그게 분수가 아니라 행렬이기 때문이다.

뫼비우스 변환(Möbius transformation)은 복소수 계수 $a,b,c,d$ 가 $ad-bc \neq 0$ 을 만족할 때 정의되는 사상 $w = (az+b)/(cz+d)$, 즉 일차분수변환이다. 정의역을 리만 구면 $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup\{\infty\}$ 로 확장해 $z=-d/c \mapsto \infty$, $z=\infty \mapsto a/c$ 로 약속하면 구면 전체의 전단사가 되고, 이때 정체가 드러난다.

리만 구면의 등각 자기동형사상은 정확히 뫼비우스 변환들이다. 하나도 더 없고 하나도 덜 없다.

$ad-bc\neq0$ 조건은 자명하지 않은 요구가 아니라 퇴화 방지다. 행렬식이 0이면 $w$ 가 상수가 되어 사상이 무너진다. 도함수를 계산해 보면 이유가 한 줄로 보인다.

$$\frac{dw}{dz} = \frac{ad-bc}{(cz+d)^{2}}$$

분자가 행렬식이다. 이것이 0이 아니라는 것이 곧 모든 점에서 $w'\neq0$, 즉 등각사상이라는 뜻이다. 등각사상 일반론이 “정칙이고 도함수가 0이 아니면 된다”는 국소적 조건을 말한다면, 뫼비우스 변환은 그 조건을 구면 전역에서 만족하는 유일한 족이다.

2. 행렬로 보면 전부 설명된다[편집]

계수를 행렬로 묶자.

$$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad \det M = ad-bc \neq 0$$

그러면 두 변환의 합성이 정확히 행렬곱이 된다. $f_{M_1}\circ f_{M_2} = f_{M_1 M_2}$ 이고, 역변환은 역행렬이다.

$$f_M^{-1}(w) = \frac{dw-b}{-cw+a}$$

즉 행렬식 계산 한 번으로 역변환이 나온다. 단 $M$ 과 $\lambda M$ ($\lambda\neq0$)은 같은 사상을 준다. 분자·분모에 같은 수를 곱해도 분수가 그대로이기 때문이다. 그래서 변환들의 군은 $GL(2,\mathbb{C})$ 가 아니라 스칼라를 몫으로 나눈

$$\mathrm{PGL}(2,\mathbb{C}) \cong \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C}) = SL(2,\mathbb{C})/\{\pm I\}$$

이다. $\det=1$ 로 정규화하면 남는 모호성은 $\pm M$ 둘뿐이다. 이 리 군은 복소 3차원이고, 이것이 곧 “복소 파라미터 3개의 자유도”의 정체다.

곁다리로 유명한 동형사상이 하나 있다. $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 는 로렌츠 군 $SO^{+}(3,1)$ 과 동형이다. 그래서 특수상대성이론의 광행차(aberration) — 관측자가 가속하면 별들이 하늘에서 어떻게 움직이는가 — 는 천구를 리만 구면으로 보았을 때 뫼비우스 변환으로 기술된다. 부분군만 보면 $SU(2)$ 가 구면의 회전에 대응하고, 이는 사원수·회전행렬과 같은 구조다.

3. 기본 조각으로 분해하기[편집]

$c\neq0$ 이면 나눗셈 한 번으로

$$\frac{az+b}{cz+d} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^{2}}\cdot\frac{1}{z + d/c}$$

이 나온다. 읽으면 평행이동 → 반전 $z\mapsto1/z$ → 회전·확대 → 평행이동의 4단 합성이다. $c=0$ 이면 그냥 아핀 변환 $w = (a/d)z + b/d$ 다.

이 분해가 성질 증명을 거의 다 해치운다. 평행이동·회전·확대가 원과 직선을 원과 직선으로 보내는 것은 자명하고, 남은 것은 반전 하나뿐인데 그것도 직접 확인된다. 결론:

뫼비우스 변환은 원·직선을 원·직선으로 보낸다. 직선을 “무한대를 지나는 반지름 무한대의 원”으로 보면 한 문장으로 줄어든다 — circline을 circline으로 보낸다.

주의할 것은 원이 원으로, 직선이 직선으로 간다는 뜻이 아니라는 점이다. 원이 직선이 되기도 하고 그 반대도 된다. 갈림은 단순하다 — 극점 $z=-d/c$ 가 그 곡선 위에 있으면 상은 직선, 없으면 원이다. 리만 구면에서 보면 애초에 원과 직선의 구분이 없다. 둘 다 구면 위의 원이고, 직선이란 북극(무한원점)을 지나는 원일 뿐이다.¹

4. 교차비와 세 점 정리[편집]

네 개의 서로 다른 점에 대해 교차비(cross-ratio)를 정의한다.

$$(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}$$

핵심 성질: 뫼비우스 변환은 교차비를 보존한다. 반전에 대해 직접 계산해 보면 인수들이 정확히 상쇄되는 것을 볼 수 있다. 역도 성립해서, 교차비를 보존하는 $\hat{\mathbb{C}}$ 의 전단사는 뫼비우스 변환이거나 그 켤레다.

여기서 실용적으로 가장 자주 쓰는 결과가 나온다.

서로 다른 세 점 $z_1,z_2,z_3$ 을 서로 다른 세 점 $w_1,w_2,w_3$ 으로 보내는 뫼비우스 변환은 유일하게 존재한다.

구성도 교차비로 바로 된다. $(w,w_1;w_2,w_3) = (z,z_1;z_2,z_3)$ 을 $w$ 에 대해 풀면 끝이다. 자유도 3개를 세 점으로 소진하는 것이고, 실무에서 사상을 정규화할 때 이 3개를 쓴다. 등각사상에서 슈바르츠-크리스토펠 사상의 선꼭짓점 중 셋을 고정해 두고 나머지만 미지수로 두는 관행이 정확히 이 자유도를 쓰는 것이다. 세 점을 $0,1,\infty$ 로 보내는 표준화도 같은 이유로 쓴다.

부수적으로, 네 점이 한 circline 위에 있을 필요충분조건은 교차비가 실수라는 것이다. 계산기하 쪽에서 “네 점이 공원(concyclic)인가”를 판정할 때 쓰이는 판별식이 사실 이것의 다른 얼굴이다.

5. 고정점에 따른 분류[편집]

$f(z)=z$ 를 풀면 $cz^2+(d-a)z-b=0$, 즉 고정점은 많아야 2개다(항등사상 제외). 이 사실 하나가 강력한 도구다 — 세 점 이상을 고정하는 뫼비우스 변환은 항등사상뿐이다.

고정점이 둘($p,q$)이면 좌표를 $\zeta = (z-p)/(z-q)$ 로 바꿔 두 고정점을 $0,\infty$ 로 옮길 수 있고, 그러면 사상이 반드시

$$\zeta \mapsto k\,\zeta$$

꼴이 된다. 이 $k$ 를 승수(multiplier)라 부른다. 고정점이 하나면(중근) $\zeta\mapsto\zeta+1$ 꼴로 정규화된다. $\det M=1$ 로 맞춘 뒤 대각합 $\tau=\mathrm{tr}\,M = a+d$ 를 보면 $\tau^{2} = k + k^{-1} + 2$ 관계가 성립하고, 분류가 대각합만으로 읽힌다.

유형	승수 k	대각합 제곱 τ²	정규형	궤도의 모습
포물(parabolic)	1 (고정점 1개)	4	ζ ↦ ζ+1	고정점에 접하는 원들을 따라 미끄러짐
타원(elliptic)	절댓값 1, k≠1	실수, 0 ≤ τ² < 4	ζ ↦ eiθζ	두 고정점을 둘러싼 동심원
쌍곡(hyperbolic)	양의 실수, k≠1	실수, τ² > 4	ζ ↦ kζ	한 고정점에서 다른 고정점으로 흐름
로소드로믹(loxodromic)	그 외	실수가 아님	ζ ↦ kζ	나선을 그리며 이동

용어 하나만 정리하자. loxodromic은 넓은 뜻으로는 $|k|\neq1$ 인 경우 전부(쌍곡 포함)를 가리키고, 좁은 뜻으로는 $k$ 가 양의 실수가 아니면서 $|k|\neq1$ 인 경우, 즉 회전이 섞인 나선형만을 가리킨다. 문헌마다 다르니 정의를 확인하고 읽어야 한다. 이름의 유래는 항해술의 항정선(loxodrome)으로, 구면 위에서 자오선을 일정 각도로 자르며 극을 향해 감기는 나선이다 — 로소드로믹 변환의 궤도가 리만 구면에서 정확히 그 모양이다.²

행렬 관점에서는 이 분류가 대각화 가능성의 이야기다. 대각화되면 승수 $k$ 는 두 고윳값의 비이고, 고정점은 두 고유벡터의 사영 좌표다. 대각화가 안 되는 유일한 경우(조르당 블록)가 포물형이다. 고유값 문제를 아는 사람에겐 이 표가 전부 익숙하게 읽힐 것이다.

6. 원판·상반평면과 쌍곡기하[편집]

가장 많이 쓰는 구체적 사상은 상반평면 $\mathbb{H}=\{\mathrm{Im}\,z>0\}$ 과 단위원판 $\mathbb{D}$ 사이의 케일리 변환이다.

$$w = \frac{z-i}{z+i}$$

실축이 단위원으로, $i$ 가 원점으로 간다. 역은 $z = i(1+w)/(1-w)$. 상반평면과 원판은 이렇게 언제든 갈아탈 수 있어서, 이론은 편한 쪽에서 전개하고 계산은 다른 쪽에서 하는 일이 흔하다.

원판을 자기 자신으로 보내는 뫼비우스 변환은 전부 다음 꼴이다(블라슈케 인자).

$$w = e^{i\theta}\,\frac{z-a}{1-\bar{a}z}, \qquad |a|<1$$

상반평면 쪽이면 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$, 즉 계수가 전부 실수이고 $ad-bc>0$ 인 것들이다. 이 두 군이 하는 일이 결정적이다 — 각각 푸앵카레 상반평면 모형과 원판 모형에서 쌍곡 기하학의 방향 보존 등거리사상 전체다. 쌍곡 계량

$$ds^{2} = \frac{dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}} \quad (\mathbb{H}), \qquad ds^{2} = \frac{4\,|dz|^{2}}{(1-|z|^{2})^{2}} \quad (\mathbb{D})$$

가 이 변환들에 대해 불변이라는 것은 직접 계산으로 확인된다. 아까의 분류가 여기서 기하학적 의미를 갖는다 — 타원은 한 점 둘레의 회전, 쌍곡은 측지선을 따른 평행이동, 포물은 무한원점 하나를 고정하는 극한적 운동이다. 이산 부분군을 잡으면 푹스 군·클라인 군이 되고, 그 극한집합이 아폴로니우스 개스킷 같은 프랙탈을 그린다. 등각사상의 슈바르츠 보조정리와 슈바르츠-픽 정리도 결국 “정칙사상은 쌍곡 거리를 늘리지 않고, 등호는 뫼비우스일 때뿐”이라는 문장이다.

7. 공학에서의 쓰임[편집]

• 영역 표준화. 리만 사상 정리가 보장하는 사상을 실제로 계산할 때, 표준 영역(원판/상반평면) 사이의 이동과 정규화 조건 $f(z_0)=0,\ f'(z_0)>0$ 을 맞추는 일은 전부 뫼비우스 변환으로 한다. 슈바르츠-크리스토펠 공식을 상반평면 기준으로 유도한 뒤 원판 기준으로 옮기는 것도 케일리 변환 한 번이다.
• 스미스 차트. 전송선 이론의 반사계수 $\Gamma = (Z-Z_0)/(Z+Z_0)$ 는 그 자체로 뫼비우스 변환이다. 정규화 임피던스의 우반평면이 단위원판으로 옮겨지고, 등저항선·등리액턴스선이라는 직선 격자가 원의 격자로 사상되는 것이 스미스 차트의 그 익숙한 그림이다. 원이 원으로 간다는 성질을 20세기 전반 전기공학자들이 종이 위에서 써먹은 사례이며, 지금도 임피던스 정합 설계의 시각 언어로 살아 있다.³
• 가우스 빔의 ABCD 법칙. 광학계를 $2\times2$ 광선 행렬로 기술하면, 가우스 빔의 복소 곡률 파라미터 $q$ 가 $q' = (Aq+B)/(Cq+D)$ 로 변환된다. 광학계를 이어 붙이는 것이 행렬곱이 되는 이유가 정확히 뫼비우스 합성 = 행렬곱이기 때문이다.
• 격자 생성과 그래픽스. 원형·환형 영역을 다루는 메시 생성에서 뫼비우스 변환은 격자를 원하는 쪽으로 몰아 주는 값싼 도구다. 3차원에서는 리우빌 정리 때문에 등각사상이 뫼비우스 변환밖에 없으므로, 구면 매개화·텍스처 UV 전개에서 “등각성을 유지한 채 쓸 수 있는 자유도”가 곧 뫼비우스 군의 6차원 전부다. 구면 메시 매개화의 뫼비우스 자유도를 고정하는 정규화(질량중심을 원점으로 보내기 등)는 그래픽스에서 표준 전처리다.
• 연분수. 연분수의 각 근사분수는 $z\mapsto a_n + 1/z$ 꼴 뫼비우스 변환의 합성이고, 그래서 연분수 수렴 이론은 통째로 $2\times2$ 행렬곱의 이론으로 번역된다.

8. 수치적으로 안전하게 다루기[편집]

분수 꼴을 그대로 코드에 옮기면 반드시 사고가 난다. 실무 규칙은 다음과 같다.

분수가 아니라 행렬로 들고 다닌다. 변환 $n$ 개를 합성해야 하면 $z$ 를 $n$ 번 대입하지 말고 행렬을 먼저 곱한 다음 한 번만 평가한다. 중간 평가마다 극점 근처에서 자릿수를 잃는 것을 막아 준다.

$\det$ 를 1로 정규화한다. $M \leftarrow M/\sqrt{ad-bc}$. 반복 합성에서 계수가 지수적으로 커지거나 작아져 넘침·언더플로가 나는 것을 막는다. 대각합 기반 분류를 쓰려면 어차피 이 정규화가 전제다. $ad-bc$ 자체를 계산할 때는 두 곱의 크기가 비슷하면 파국적 상쇄가 일어나므로, 정밀도가 중요하면 FMA를 쓴 보정 곱셈이 필요하다. 부동소수점 연산의 고전적 함정이다.

$\infty$ 를 특수 케이스로 두지 말고 사영 좌표로 다룬다. 점을 $[z_0 : z_1]$ 쌍으로 표현해 $z = z_0/z_1$ 로 해석하면, 변환은 그냥 행렬-벡터 곱이고 $z_1=0$ 이 무한원점이다. 나눗셈을 마지막에 한 번만, 그것도 필요할 때만 하면 되므로 극점 처리에 if 문이 사라진다. 컴퓨터 그래픽스의 동차좌표와 같은 발상이다.

$c\to0$ 은 사라지는 특이점이지 실제 특이점이 아니다. $c$ 가 0에 가까우면 극점 $-d/c$ 가 멀리 밀려나고 사상이 아핀 변환에 가까워질 뿐, 사상 자체는 멀쩡하다. 그런데 $-d/c$ 를 명시적으로 계산해 두는 코드는 이 지점에서 오버플로한다. 극점을 굳이 저장하지 말거나, 저장하려면 $(-d, c)$ 쌍을 사영 좌표로 두어야 한다. 반대로 $|cz+d|$ 가 작을 때는 진짜로 조심해야 한다 — 출력이 커지므로 상대오차가 그대로 증폭된다. 필요하면 그 영역을 $1/w$ 좌표계로 옮겨 계산한다.

조건수는 사상이 아니라 좌표계의 문제다. 뫼비우스 변환은 구면에서 보면 어디서나 얌전한 등각사상이지만, 평면 좌표로 내려오면 극점 근처에서 국소 배율 $|w'| = |ad-bc|/|cz+d|^2$ 가 폭발한다. 정밀 계산이 필요하면 구면 좌표(현 거리, chordal metric)로 오차를 재는 것이 옳다. 조건수를 평면에서 재고 “이 변환은 불안정하다”고 결론 내리는 것은 좌표계 탓을 사상에 돌리는 것이다.

9. 관련 문서[편집]

• 등각사상 · 리만 사상 정리 · 복소해석 · 리만 구
• 라플라스 방정식 · 포텐셜 유동 · 메시 생성
• 행렬식 · 고유값 문제 · 리 군 · 회전행렬 · 사원수
• 임피던스 정합 · 연분수 · 쌍곡 기하학
• 조건수 · 부동소수점 연산

10. Footnotes[편집]

1. 참고로 이 변환의 뫼비우스와 뫼비우스 띠의 뫼비우스는 같은 사람(아우구스트 페르디난트 뫼비우스)이다. 정수론의 뫼비우스 함수 $\mu(n)$ 과 뫼비우스 반전 공식도 같은 사람. 19세기 수학자들의 이름 재활용률은 오늘날 변수명 재활용률과 비슷하다. ↩

2. 항정선은 메르카토르 도법에서 직선으로 그려진다. 메르카토르 도법이 등각사상이기 때문인데, 그러니까 “로소드로믹”이라는 이름 자체가 등각사상 이야기 안에서 순환하고 있는 셈이다. ↩

3. 스미스 차트를 처음 배울 때 “왜 하필 이렇게 생긴 눈금인가”에 아무도 답을 안 해 주는 것이 이 바닥의 전통이다. 답은 “일차분수변환이 원을 원으로 보내니까”이고, 이 한 줄을 알고 보면 차트의 모든 원호가 제자리를 찾는다. RF 엔지니어가 자기도 모르게 리만 구면 위에서 일하고 있었던 셈. ↩