반도체 소자 시뮬레이션

전자공학 계산물리 마지막 수정: 2026-07-06 04:23:58

반도체 소자 시뮬레이션 Semiconductor Device Simulation
약칭	TCAD (Technology CAD)
분야	반도체공학 × 수치해석 × 계산물리
핵심 모델	드리프트-확산 모델, 푸아송 방정식, 연속 방정식
대표 소프트웨어	Synopsys Sentaurus, Silvaco Atlas, COMSOL

1. 개요[편집]

트랜지스터 하나를 이해하려고 방정식 셋을 연립해서 뉴턴법으로 두들겨 패는 학문.

반도체 소자 시뮬레이션(Semiconductor Device Simulation)은 반도체 소자 내부의 전위·전자·정공 분포를 지배하는 편미분방정식을 수치적으로 풀어, 소자의 전류-전압 특성과 동작을 물리적으로 예측하는 계산 기법이다. 흔히 TCAD(Technology Computer-Aided Design)라는 이름으로 불리며, 반도체 제조 공정 시뮬레이션(process TCAD)과 소자 동작 시뮬레이션(device TCAD)을 아우른다.

회로 설계자가 쓰는 SPICE가 소자를 하나의 등가 회로 모델(수식화된 블랙박스)로 취급하는 반면, 소자 시뮬레이션은 소자 내부의 물리(반도체 방정식)를 격자 위에서 직접 푼다. 즉 SPICE가 “이 트랜지스터는 이렇게 동작한다더라”를 쓰는 소비자라면, TCAD는 그 모델의 계수 자체를 물리로부터 만들어 내는 생산자에 가깝다.¹ 새로운 공정 노드로 넘어갈 때마다 소자 구조가 바뀌므로, 실리콘을 실제로 깎기 전에 TCAD로 예측하는 것이 천문학적인 마스크 비용을 아끼는 길이다.

2. 지배 방정식[편집]

반도체 소자 시뮬레이션의 표준 모델인 드리프트-확산(drift-diffusion) 체계는 세 개의 방정식을 연립한다. 먼저 전위 $\psi$ 를 전하밀도와 이어 주는 푸아송 방정식:

\nabla \cdot (\varepsilon \nabla \psi) = -q\,(p - n + N_D^+ - N_A^-)

여기서 $n$ , $p$ 는 전자·정공 농도, $N_D^+$ , $N_A^-$ 는 이온화된 도너·억셉터 농도다. 다음으로 전자와 정공 각각의 연속 방정식:

\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla \cdot \mathbf{J}_n - R, \qquad \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla \cdot \mathbf{J}_p - R

여기서 $R$ 은 생성-재결합률이다. 전류밀도는 드리프트 항과 확산 항의 합으로 주어진다.

\mathbf{J}_n = q\mu_n n \mathbf{E} + qD_n \nabla n

이 세 방정식은 강하게 얽힌 비선형 연립계여서, 전위와 캐리어 농도가 서로를 결정한다. 그래서 해석적으로 푸는 것은 사실상 불가능하고, 반드시 수치 해법에 의존한다.²

3. 이동도 모델[편집]

위 방정식의 이동도 $\mu_n$ , $\mu_p$ 를 상수로 두면 결과가 실측과 한참 어긋난다. 실제 이동도는 온도, 도핑 농도, 전기장 세기, 계면 거칠기 등에 따라 요동친다. 그래서 TCAD는 여러 이동도 모델을 겹겹이 쌓는다.

도핑 의존 모델 — 불순물 산란으로 고농도 도핑에서 이동도가 떨어진다.
전기장 의존(속도 포화) 모델 — 강한 전기장에서 캐리어 속도가 포화한다. 단채널 소자에서 필수.
계면 산란 모델 — MOSFET 채널처럼 실리콘/산화막 계면을 흐르는 캐리어에 적용.

모델을 많이 켤수록 물리적으로는 정교해지지만, 비선형성이 심해져 수렴은 그만큼 까다로워진다. 정확도와 수렴성 사이의 줄타기가 TCAD 엔지니어의 일상이다.

4. 이산화와 수치 해법[편집]

연립 편미분방정식을 격자 위 대수방정식으로 바꾸는 데는 주로 유한체적법(Scharfetter-Gummel 이산화)이나 유한요소법이 쓰인다. 특히 전류 연속 방정식은 지수적으로 변하는 캐리어 농도 탓에 단순 중심차분을 쓰면 발산하기 쉬워, Scharfetter-Gummel 방식으로 지수적 보간을 하는 것이 정석이다.

비선형 연립계는 뉴턴-랩슨법으로 푼다. 세 미지수( $\psi$ , $n$ , $p$ )를 한꺼번에 갱신하는 완전 연성(coupled/Newton) 방식과, 하나씩 번갈아 푸는 Gummel 반복법이 있다. Newton 방식은 수렴이 빠르지만 매 반복마다 커다란 야코비 행렬을 조립하고 풀어야 하며, 이 대규모 희소 선형계는 다시 크리로프 부분공간법 같은 반복 솔버와 전처리기로 처리한다.³

5. MOSFET 해석의 예[편집]

가장 대표적인 대상은 역시 MOSFET이다. 게이트 전압을 서서히 올리며 소자를 해석하면 문턱전압 이하의 약반전(subthreshold) 영역에서 강반전으로 넘어가는 과정과, 드레인 전압에 따른 선형·포화 영역의 전류를 얻을 수 있다. 미세화가 진행되며 단채널 효과(DIBL, 속도 포화)가 심해지자, 소자 구조 자체가 평면형에서 FinFET, GAA(gate-all-around) 나노시트로 진화했고, 이런 3차원 구조는 TCAD 없이는 설계 자체가 성립하지 않는다. 나노 스케일에서는 고전적 드리프트-확산이 부정확해져, 양자 보정이나 슈뢰딩거 방정식과 연성한 Schrödinger-Poisson 해석이 동원되기도 한다.

6. 현업에서의 현실[편집]

수렴이 안 될 때 가장 먼저 의심할 것은 초기 추정값과 전압 스텝 크기다. 한 번에 큰 전압을 걸면 뉴턴법이 발산한다. 램프를 잘게 쪼개는 것이 미덕.
물리 모델을 잔뜩 켜면 실측과 잘 맞지만, 캘리브레이션되지 않은 파라미터는 그냥 예쁜 거짓말이다. TCAD 결과는 실측으로 보정해야 비로소 신뢰할 수 있다.
3차원 소자 하나 도는 데 수 시간이 걸리는 것은 예사다. 그래도 마스크 한 세트 값보다는 압도적으로 싸다.
결과 곡선이 실측과 안 맞으면 도핑 프로파일부터 의심하라. 공정 시뮬레이션 단계의 오차가 소자 단계로 그대로 전파된다.

7. 관련 문서[편집]

그래서 TCAD 엔지니어와 회로 설계자는 서로를 잘 이해하지 못한다. 한쪽은 격자와 재결합률을 이야기하고, 다른 쪽은 SPICE 넷리스트와 코너 모델을 이야기한다. 둘을 잇는 것이 컴팩트 모델링(BSIM 등)이다. ↩
단, 1차원·저주입·급접합 같은 극단적 가정을 몇 겹 쌓으면 Shockley의 다이오드 방정식처럼 손으로 풀리는 경우가 나온다. 교과서가 사랑하는 이 근사해들은 실제 소자 앞에서는 대체로 무력하다. ↩
완전 연성 뉴턴 방식은 반복당 비용이 크지만 이차 수렴(quadratic convergence)의 위엄을 보여 준다. 잘 세팅하면 대여섯 번 반복에 잔차가 기계 정밀도까지 떨어진다. 문제는 그 “잘 세팅”이 어렵다는 것. ↩