베르누이 방정식

유체역학 물리 마지막 수정: 2026-07-09 04:52:31

베르누이 방정식 Bernoulli's Equation
분야	유체역학 · 고전역학
본질	비점성 정상류의 에너지 보존
제안	다니엘 베르누이 (1738)
주요 응용	피토관, 벤투리관, 유량 측정

1. 개요[편집]

베르누이 방정식(Bernoulli’s equation)은 점성과 압축성을 무시할 수 있는 정상 유동(steady flow)에서, 하나의 유선(streamline)을 따라 압력 에너지·운동 에너지·위치 에너지의 합이 일정하게 보존된다는 관계식이다. 유체역학에서 가장 유명하고 가장 자주 오용되는 식이라는 두 타이틀을 동시에 거머쥐고 있다.¹

식 자체는 놀랍도록 간단하다.

p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}

$p$ 는 압력, $\frac{1}{2}\rho v^2$ 은 동압(dynamic pressure), $\rho g h$ 는 위치에 따른 항이다. 세 항의 합이 유선을 따라 일정하다는 것. 여기서 곧바로 그 유명한 통찰이 나온다. 속도가 빨라지면 압력이 낮아진다. 이 한 줄이 피토관, 벤투리관, 유량계, 심지어 (조심스럽게) 비행기 날개까지 설명한다. 물론 조건을 지켰을 때만.

2. 유도 — 오일러 방정식의 적분[편집]

베르누이 방정식은 하늘에서 뚝 떨어진 게 아니라 나비에-스토크스 방정식에서 점성항을 지운 오일러 방정식(Euler equation)을 유선을 따라 적분한 결과다. 비점성·정상류에서 오일러 방정식은 이렇게 쓴다.

(\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{g}

이 식을 유선 방향 좌표 $s$ 로 투영하면, 유선을 따라가는 방향에서

u \frac{du}{ds} = -\frac{1}{\rho}\frac{dp}{ds} - g\frac{dh}{ds}

가 된다. 밀도 $\rho$ 를 상수로 두고(비압축), 유선을 따라 $s$ 에 대해 적분하면 각 항이 완전미분으로 묶여서

\frac{1}{2}u^2 + \frac{p}{\rho} + gh = \text{const}

가 나온다. 양변에 $\rho$ 를 곱하면 처음에 봤던 압력 단위 형태가 된다. 결국 베르누이 방정식은 유선을 따르는 에너지 보존 법칙을 유체 버전으로 적은 것이다. 마찰이 없으니 에너지가 형태만 바꿀 뿐 총량은 안 변한다는, 지극히 상식적인 이야기.²

3. 가정과 한계[편집]

이 식이 성립하려면 지켜야 할 전제가 꽤 많다. 그리고 오용은 거의 항상 이 전제를 무시하는 데서 나온다.

비점성(inviscid): 마찰이 있으면 에너지가 열로 새어나가 보존이 깨진다. 실제 관로에서는 마찰 손실항(head loss)을 추가해 확장 베르누이로 써야 한다.
비압축(incompressible): 밀도가 일정해야 적분이 위처럼 깔끔하게 된다. 마하수 0.3 이상의 압축성 유동에서는 압축성 형태로 갈아타야 한다.
정상류(steady): 시간에 따라 변하면 비정상항이 추가된다.
같은 유선 위: 원칙적으로 서로 다른 유선 사이에서는 상수가 달라진다. 단, 유동이 비회전(irrotational)이면 전 영역에서 같은 상수를 쓸 수 있다.³

이 전제들이 깨지는 순간, 베르누이는 그럴듯한 오답을 내놓는 도구로 전락한다. 포텐셜 유동 이론과 세트로 다뤄지는 이유이기도 하다.

4. 응용[편집]

4.1. 피토관[편집]

비행기 속도를 재는 그 계기다. 유동을 정면으로 막아 속도가 0이 되는 정체점(stagnation point)의 압력(전압)과, 흐름을 방해하지 않는 정압을 각각 재서 그 차이로 속도를 뽑는다.

v = \sqrt{\frac{2(p_0 - p)}{\rho}}

전압 $p_0$ 에서 정압 $p$ 를 뺀 값이 곧 동압이고, 거기서 속도가 나온다. 여객기 조종석의 대기속도계가 바로 이 원리로 돌아간다.⁴

4.2. 벤투리관[편집]

관의 단면적을 좁혔다가 다시 넓히는 장치. 좁아진 목(throat)에서 속도가 빨라지고 압력이 떨어지는데, 이 압력차를 재면 연속 방정식과 베르누이를 연립해 유량을 계산할 수 있다. 유량계, 카뷰레터, 진공 발생기(아스피레이터)가 다 이 목의 저압을 활용한다.

4.3. 양력 — 흔한 오개념 주의[편집]

“날개 위쪽 공기가 더 빨라서 압력이 낮아지고, 그래서 양력이 생긴다”는 설명은 절반만 맞다. 진짜 문제는 왜 위쪽이 더 빠른가인데, 흔히 도는 “위아래 공기가 동시에 뒷전에서 만나야 한다”는 이른바 등시간 통과설(equal transit time)은 명백히 틀렸다.⁵ 실제 양력은 날개 주위의 순환(circulation)과 유동 방향 전환에 따른 운동량 변화(뉴턴 제3법칙)로 설명해야 온전하다. 베르누이는 압력과 속도의 관계를 옳게 말해주지만, 왜 그 속도차가 생기는지는 말해주지 않는다. 이 지점을 뭉개면 “베르누이가 양력을 만든다”는 잘못된 인과가 된다. 공력해석에서 이 오개념은 단골 시험 함정이다.

5. 관련 문서[편집]

발표는 다니엘 베르누이의 1738년 저서 Hydrodynamica로 알려져 있지만, 오늘날 우리가 쓰는 미분·적분 형태로 정리한 사람은 오일러다. 즉 “베르누이 방정식”의 상당 부분은 사실 오일러의 손에서 완성됐다. 이름값의 억울함이 물리학사엔 흔하다. ↩
사실 베르누이 방정식은 유선을 따라 적분한 형태이고, 유동 전체(모든 유선)에서 성립하려면 비회전 조건이 추가로 필요하다. 이 둘을 구분 못 하면 “왜 여기선 상수가 다르지?”에서 혼란에 빠진다. ↩
비회전 유동에서는 크로코(Crocco) 정리에 의해 전 영역에서 베르누이 상수가 같아진다. 포텐셜 유동에서 베르누이를 자유롭게 쓰는 근거가 이것이다. ↩
그래서 피토관이 얼거나 벌레·테이프로 막히면 속도계가 미쳐버린다. 실제 여러 항공 사고의 원인이 피토관 결빙·폐색이었다. 작은 관 하나가 사람 목숨과 직결된다. ↩
위아래 공기가 동시에 만날 이유는 어디에도 없다. 실제로는 윗면 공기가 아랫면보다 훨씬 먼저 뒷전에 도착한다. NASA 교육자료조차 이 오개념을 콕 집어 “틀렸다”고 못박아 두었다. ↩