열전달 해석

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시뮬레이션 유체역학 마지막 수정: 2026-10-19 19:00:00
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1. 개요

열전달 해석
Heat Transfer Analysis
세 가지 모드전도 · 대류 · 복사
지배 법칙푸리에 법칙
핵심 무차원수뉘셀트수 · 프란틀수
연성 해석켤레열전달 (CHT)
주요 소프트웨어OpenFOAM, ANSYS Fluent

열은 반드시 뜨거운 데서 찬 데로 흐른다. 이 완고한 제2법칙 위에 온 산업이 서 있다.

열전달 해석(heat transfer analysis)은 온도차에 의해 이동하는 에너지, 즉 열의 흐름을 예측하는 해석이다. 열은 크게 세 가지 모드로 이동한다. 물질 내부를 타고 흐르는 전도(conduction), 유체의 움직임에 실려 나르는 대류(convection), 그리고 전자기파로 진공도 건너뛰는 복사(radiation)다. 실제 문제는 이 셋이 뒤엉켜 있어서, 어느 하나만 봐서는 절반만 맞는다.

CPU 방열판, 원자로 노심, 로켓 노즐, 태양광 패널, 심지어 스마트폰이 뜨거워지는 것까지 — 에너지가 있는 곳에는 반드시 열전달이 있다. 전산유체역학에서 열전달은 에너지 보존 방정식을 통해 유동장과 얽히며, 유동과 온도가 서로를 밀고 당기는 순간 문제는 급격히 어려워진다. 처음 틀리는 자리도 거의 정해져 있다. 대류 계수 hh 를 입력 물성처럼 넣고, 온도가 올라도 복사는 빼 둔다.

2. 전도 — 푸리에 법칙

고체 내부, 또는 정지한 유체 속에서 열은 분자 진동을 통해 온도가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 전달된다. 이를 정량화한 것이 푸리에 법칙(Fourier’s law)이다.

q=−k∇T\mathbf{q} = -k \nabla T

여기서 q\mathbf{q}는 열유속(단위 면적당 열량), kk는 열전도율, ∇T\nabla T는 온도 구배다. 마이너스 부호는 열이 온도가 낮아지는 방향으로 흐른다는 물리를 새긴 것 — 제2법칙의 서명이라 봐도 된다. 이 법칙을 에너지 보존에 대입하면 그 유명한 열전도 방정식(heat equation)이 나온다.

ρcp∂T∂t=∇⋅(k∇T)+q˙\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + \dot{q}

이것은 대표적인 포물형(parabolic) 방정식으로, 확산의 원형이다. 시간항이 있는 과도 전도 문제는 유한요소법이나 유한체적법으로 이산화하며, 명시적 시간 전진을 쓰면 확산 안정성 조건에 발목이 잡힌다.1

3. 대류 — 뉴턴의 냉각 법칙

대류는 열전도에 유체의 이동이 얹힌 모드다. 벽면과 유체 사이의 열전달은 뉴턴의 냉각 법칙으로 간명하게 쓴다.

q=h(Ts−T∞)q = h (T_s - T_\infty)

hh는 대류 열전달 계수, TsT_s는 표면 온도, T∞T_\infty는 유체의 주류 온도다. 문제는 이 hh라는 놈이 상수가 아니라는 것 — 유속, 형상, 물성, 층류/난류 여부에 죄다 의존하는 “결과값”이다. 그래서 대류 문제의 본질은 사실 hh를 알아내는 것이고, 이것을 무차원으로 표현한 것이 바로 뉘셀트수 NuNu다.

대류는 다시 둘로 나뉜다. 펌프·팬이 억지로 유체를 미는 강제 대류(forced convection)와, 온도차에 의한 부력만으로 유체가 스스로 도는 자연 대류(natural convection)다. 후자에서는 레이놀즈수 대신 그라스호프수·레일리수가 판을 지배한다. 대류가 개입하는 순간, 열전달 해석은 필연적으로 유동 해석과 한 몸이 된다.2

4. 복사 — 스테판-볼츠만

복사는 매질 없이 전자기파로 에너지를 나르는, 셋 중 가장 이질적인 모드다. 흑체가 방출하는 총 에너지는 스테판-볼츠만 법칙을 따른다.

E=εσT4E = \varepsilon \sigma T^4

ε\varepsilon은 방사율, σ\sigma는 스테판-볼츠만 상수다. 여기서 눈여겨볼 것은 온도의 4제곱이다. 저온에서는 대류·전도에 묻혀 무시되다가, 온도가 오르면 복사가 갑자기 대장 노릇을 한다. 로켓 노즐, 화로, 재진입체, 유리 용융로처럼 고온이 걸리는 곳에서 복사를 빼먹으면 해석은 통째로 틀린다. 복사 해석은 표면 간 형상계수(view factor) 계산이나 이산종좌표법(DOM) 같은 별도 기법을 요구해, 계산 비용이 만만치 않다.3

5. 켤레열전달 (CHT)

현실의 열 문제는 고체와 유체의 경계에서 벌어진다. 방열판(고체) 속 전도와 그 위를 지나는 공기(유체)의 대류가 벽면에서 만나 서로의 경계 조건이 되는 상황 — 이를 켤레열전달(Conjugate Heat Transfer, CHT)이라 한다. 고체 쪽은 전도 방정식만, 유체 쪽은 유동+에너지 방정식을 풀되, 둘의 접촉면에서 온도와 열유속의 연속성을 강제로 맞춘다.

Tsolid=Tfluid,ks∂T∂n∣s=kf∂T∂n∣fT_{\text{solid}} = T_{\text{fluid}}, \qquad k_s \left.\frac{\partial T}{\partial n}\right|_{s} = k_f \left.\frac{\partial T}{\partial n}\right|_{f}

CHT의 장점은 대류 열전달 계수 hh를 사람이 미리 가정할 필요가 없다는 것이다. 유체 해석이 hh를 스스로 뱉어주니, 경계 조건을 손으로 때려 넣던 시절보다 훨씬 정직한 해석이 된다. 대신 서로 다른 물성과 시간 척도(고체는 느리게, 유체는 빠르게 반응)를 한 솔버에서 다뤄야 해서 수렴이 까다롭다는 대가가 따른다.4

6. CFD에서의 열전달

  • 에너지 방정식은 유동장과 온도장을 연결하는 다리다. 물성(밀도·점성)이 온도에 의존하면 유동과 열이 완전히 양방향으로 얽혀, 부시네스크 근사 같은 단순화가 동원된다.
  • 벽 근처 온도 구배를 제대로 잡으려면 벽함수의 열 버전(thermal wall function)이나 촘촘한 경계층 격자가 필요하다. y+y^+ 관리는 여기서도 성적표다.
  • 프란틀수 PrPr가 1에서 멀어질수록(액체금속은 Pr≪1Pr \ll 1, 오일은 Pr≫1Pr \gg 1) 속도 경계층과 온도 경계층의 두께가 벌어져, 격자 전략이 달라진다.

요컨대 열전달 해석은 “온도 하나 더 푸는 것”처럼 보이지만, 대류가 끼는 순간 유동 해석 전체를 인질로 잡는다. 열은 결코 혼자 흐르지 않는다.

7. 계산기로 가려 보면

어느 모드를 빼도 되는지는 형용사로 정하지 말고 열유속을 나눠 보면 된다. 아래는 스테판-볼츠만 상수를 σ=5.67×10−8 W/m2K4\sigma = 5.67\times 10^{-8}\,\mathrm{W/m^2K^4} 로 둔 값이다.

표면 방사율 ε=0.8\varepsilon = 0.8, 대류 계수 h=10 W/m2Kh = 10\,\mathrm{W/m^2K}, 주변 온도 300 K300\,\mathrm{K} 로 고정하면 복사 qrad=εσ(T4−3004)q_{\mathrm{rad}} = \varepsilon\sigma(T^{4} - 300^{4}) 와 대류 qconv=h(T−300)q_{\mathrm{conv}} = h(T - 300) 은 이렇게 갈린다.

  • 400 K400\,\mathrm{K}: 복사 794, 대류 1000. 아직 대류가 크다.
  • 500 K500\,\mathrm{K}: 복사 2470, 대류 2000. 복사가 앞선다.
  • 800 K800\,\mathrm{K}: 복사 18200, 대류 5000. 복사가 3.6배다.

hh 를 이 값으로 붙들고 있으면 둘은 약 450 K450\,\mathrm{K} 에서 만난다. 그 고정이 이 비교의 한계다. 자연 대류의 hh 는 온도차와 함께 오르므로 실제 교차점은 위로 밀린다. 화로 온도에서 복사 항을 빼면, 그래도 열유속이 통째로 빠진다.

고체를 온도 하나로 뭉갤 수 있는지는 비오 수 Bi=hL/k\mathrm{Bi} = hL/k 가 말한다. 정상 상태 평판에서 고체 안 온도차와 유체 쪽 온도차의 비가 곧 Bi\mathrm{Bi} 다.

  • 알루미늄 k=200 W/m⋅Kk = 200\,\mathrm{W/m\cdot K}, 두께 L=3 mmL = 3\,\mathrm{mm}, h=50h = 50 이면 Bi=7.5×10−4\mathrm{Bi} = 7.5\times 10^{-4}. 금속 안 낙차는 유체 쪽의 0.075% 다.
  • 강 k=15k = 15, 두께 30 mm30\,\mathrm{mm}, h=500h = 500 이면 Bi=1\mathrm{Bi} = 1. 낙차의 절반이 금속 안에 있다. 표면 온도를 안쪽 온도로 쓰면 그 절반을 버린다.

시간 간격은 물성을 둥글게 잡아도 바로 나온다. k=40k = 40, ρ=8000 kg/m3\rho = 8000\,\mathrm{kg/m^3}, cp=500 J/kg⋅Kc_p = 500\,\mathrm{J/kg\cdot K} 이면 α=k/(ρcp)=10−5 m2/s\alpha = k/(\rho c_p) = 10^{-5}\,\mathrm{m^2/s} 다. 1차원 명시적 오일러의 상한은 Δt≤Δx2/(2α)\Delta t \le \Delta x^2/(2\alpha) 이므로, Δx=1 mm\Delta x = 1\,\mathrm{mm} 면 0.05초, 0.2 mm0.2\,\mathrm{mm} 면 0.002초다. 칸을 5분의 1로 줄이면 시간 상한이 25분의 1이 된다.1

8. 이 다음 30분

  • 경계 조건 — 벽면 대류 −k ∂T/∂n=h(T−T∞)-k\,\partial T/\partial n = h(T - T_\infty) 가 로빈 조건인 이유. hh 를 어디서 받았는지가 다음 질문이다.
  • 격자 — 벽 열유속은 첫 칸 높이가 정한다. 공기 30 m/s, 길이 1 m 판에서 y+=1y^+ = 1 이 12 μm 인 계산이 있다.
  • CFL 조건 — 위의 0.05초가 대류 문제에서는 어떻게 바뀌는지.
  • 유한체적법 — 에너지를 셀에서 새지 않게 적는 쪽.
  • OpenFOAM — 같은 경계 조건을 케이스 폴더의 어느 파일에 쓰는지.

9. 관련 문서

10. Footnotes

  1. 확산 방정식의 명시적 오일러 전진은 Δt≤Δx2/(2α)\Delta t \le \Delta x^2 / (2\alpha)라는 잔인한 조건에 묶인다. 격자를 반으로 줄이면 시간 간격은 1/4로 줄어든다. 그래서 전도 문제는 대개 안정성에 제약이 없는 음해법(implicit)으로 푼다. CFL 조건의 확산 버전이라 보면 된다. ↩ ↩2

  2. “대류 계수 h=25h = 25로 놓고 풀었습니다”라는 보고를 받으면, 그 25가 어디서 왔는지 물어야 한다. 상관식 표에서 뽑았든, 대충 찍었든, 그 한 숫자가 결과의 절반을 좌우하기 때문이다. ↩

  3. 복사 형상계수는 두 표면이 서로를 얼마나 “바라보는가”를 적분으로 구한 값이다. 표면이 N개면 N제곱 개의 형상계수가 필요해, 복잡한 화로에서는 이것만으로 하드디스크가 앓는 소리를 낸다. ↩

  4. 고체는 열관성이 커서 정상상태에 도달하는 데 오래 걸리고, 유체는 순식간에 반응한다. 이 시간 척도의 불일치 때문에 과도 CHT는 물리 시간을 통째로 다 돌려야 하는 경우가 많다. 방열판 하나 식는 걸 보려고 밤을 새우는 이유다. ↩

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