전송선 이론

전자기해석 전자공학 마지막 수정: 2026-07-10 04:11:07

1. 개요[편집]

전송선 이론(transmission line theory)은 신호의 파장이 회로의 물리적 길이와 비슷하거나 짧아질 때, 전선을 단순한 도선이 아니라 위치마다 전압·전류가 달라지는 분포정수회로로 취급해 다루는 전자기학의 한 분과이다. 흔히 “전선은 그냥 전선 아니냐”라고 생각하지만, 주파수가 올라가면 이 순진한 믿음은 처참하게 배신당한다. 신호가 선을 따라 전파되는 데 유한한 시간이 걸리고, 그 결과 선의 이쪽 끝과 저쪽 끝의 전압이 순간순간 달라지기 때문이다.

핵심 판별 기준은 전기적 길이다. 선의 물리 길이 $\ell$ 이 파장 $\lambda$ 의 대략 $1/10$ 을 넘으면 집중정수(lumped) 근사가 깨지고, 전송선으로 취급해야 한다.¹ 예컨대 60 Hz 전력선은 파장이 5000 km라 웬만한 실험실 회로는 점 하나로 봐도 되지만, 5 GHz 무선 신호는 파장이 6 cm에 불과해 PCB 위 몇 mm짜리 배선도 어엿한 전송선이 된다. 맥스웰 방정식을 매번 풀지 않고도 고주파 회로를 다룰 수 있게 해 주는, 전자공학의 축복 같은 근사 이론이다.

2. 분포정수회로 모델[편집]

전송선의 아주 짧은 구간 $\Delta z$ 를 떼어내 등가회로로 그리면, 네 개의 단위길이당 파라미터로 표현된다. 이를 RLGC 모델이라 부른다.

$R$ — 단위길이당 직렬 저항 ( $\Omega/\text{m}$ ), 도체 손실
$L$ — 단위길이당 직렬 인덕턴스 ( $\text{H}/\text{m}$ ), 자기장 에너지
$G$ — 단위길이당 병렬 컨덕턴스 ( $\text{S}/\text{m}$ ), 유전체 누설
$C$ — 단위길이당 병렬 커패시턴스 ( $\text{F}/\text{m}$ ), 전기장 에너지

이 미소구간이 무한히 이어진 사다리 회로가 곧 전송선이다. 도선을 무한개의 LC 소자 사슬로 본다는 발상이, 연속체를 유한 요소로 쪼개는 유한요소법의 사고방식과 은근히 닮았다.

3. 전신방정식[편집]

미소구간에 키르히호프 법칙을 적용하고 $\Delta z \to 0$ 의 극한을 취하면, 전압과 전류에 대한 결합 편미분방정식이 나온다. 이것이 전신방정식(telegrapher’s equations)이다.²

\frac{\partial V}{\partial z} = -\left(R + j\omega L\right) I, \qquad \frac{\partial I}{\partial z} = -\left(G + j\omega C\right) V

두 식을 결합하면 각각 파동방정식 꼴이 되고, 그 해는 전파상수 $\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$ 를 가진 진행파로 나타난다. 여기서 $\alpha$ 는 감쇠상수, $\beta$ 는 위상상수다. 손실이 없는 이상적 선( $R=G=0$ )에서는 $\gamma = j\omega\sqrt{LC}$ 가 되어 신호가 감쇠 없이 $v_p = 1/\sqrt{LC}$ 의 위상속도로 흐른다.

4. 특성임피던스[편집]

전송선을 진행하는 파동에서 전압과 전류의 비는 위치에 무관하게 일정한데, 이 비율을 특성임피던스 $Z_0$ 라 한다.

Z_0 = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}}

저손실 근사에서는 깔끔하게 $Z_0 \approx \sqrt{L/C}$ 로 정리된다. 특성임피던스는 선의 재료와 단면 형상이 정하는 고유한 값이지, 선의 길이나 끝에 뭘 달았는지와는 무관하다. 동축케이블에서 50 Ω과 75 Ω이 표준으로 굳어진 이유가 여기 있다.³ 50 Ω은 전력 전달과 손실 사이의 절충점이고, 75 Ω은 손실 최소화에 유리해 방송·영상용으로 자리 잡았다.

5. 반사계수와 정재파비[편집]

전송선 끝에 붙은 부하 임피던스 $Z_L$ 이 $Z_0$ 와 다르면, 도달한 파동의 일부가 되돌아온다. 이 되돌아오는 정도를 나타내는 것이 반사계수 $\Gamma$ 다.

\Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}

$Z_L = Z_0$ 이면 $\Gamma = 0$ , 즉 반사가 전혀 없다. 이 완벽한 상태를 만드는 것이 임피던스 정합의 목표다. 반사파와 입사파가 겹치면 선 위에 위치 고정된 간섭 무늬, 즉 정재파(standing wave)가 생기고, 그 최대·최소 진폭비를 정재파비(VSWR)로 정량화한다.

\text{VSWR} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}

완전 정합이면 VSWR = 1, 완전 반사(개방·단락)면 무한대다. 고주파 계측에서 이 반사 특성은 S-파라미터의 $S_{11}$ (입력 반사계수)로 직접 측정되며, 안테나 해석에서 안테나가 급전선과 얼마나 잘 맞는지 평가하는 핵심 지표가 된다.

6. 마이크로스트립과 실물 전송선[편집]

이론은 우아하지만 현실의 전송선은 형태가 다양하다. 대표적인 몇 가지를 정리하면 다음과 같다.

형태	구조	주 용도
동축케이블	중심도체 + 외부도체	계측, RF 배선
마이크로스트립	기판 위 스트립 + 하부 접지면	PCB, MMIC
스트립라인	유전체에 묻힌 스트립	다층 PCB
평행2선	나란한 두 도선	안테나 급전, 전화선

이 중 마이크로스트립(microstrip)은 PCB 위에 구현하기 쉬워 고주파 회로 설계의 국룰이다. 다만 스트립 위쪽은 공기, 아래쪽은 기판이라 전기장이 두 매질에 걸쳐 분포하는 탓에, 실효 유전율이라는 어정쩡한 값을 써야 하고 해석이 은근히 까다롭다. 그래서 실무에서는 폐형 공식으로 어림잡은 뒤, 유한요소 전자기나 모멘트법 기반 EM 시뮬레이터로 최종 검증하는 것이 정석이다.⁴

7. 관련 문서[편집]

$\lambda/10$ 은 절대적 경계가 아니라 관례적 눈금이다. 정밀도를 따지는 사람은 $\lambda/20$ 을, 대충 넘어가는 사람은 $\lambda/4$ 까지도 집중정수로 우긴다. 결국 “얼마나 틀려도 괜찮은가”의 문제라, 엄밀히는 취향과 마감 기한이 정한다. ↩
이름이 “전신(telegraph)방정식”인 이유는 19세기 대서양 횡단 전신 케이블 때문이다. 케이블이 길어지자 신호가 뭉개지는 현상을 헤비사이드(Oliver Heaviside)가 이 방정식으로 설명했고, 인덕턴스를 일부러 추가하면 왜곡이 줄어든다는 것을 밝혀냈다. 수학이 통신 요금을 아껴준 사례. ↩
흔한 오해가 “50 Ω은 인체 저항이라서”인데 전혀 무관하다. 동축케이블에서 최대 전력 용량은 약 30 Ω, 최소 손실은 약 77 Ω에서 나오고, 그 기하평균 언저리인 50 Ω이 절충값으로 채택된 것이다. ↩
마이크로스트립 폐형 공식(Hammerstad-Jensen 등)은 편하지만 오차가 수 % 있다. GHz 대역에서 이 몇 %가 정합을 어긋나게 만들 수 있어, 양산 전 EM 풀파 해석은 사실상 필수다. ↩