중력 선회

1. 개요[편집]

중력 선회 Gravity turn
다른 이름	zero-lift turn, 영양력 선회
핵심 조건	받음각 α = 0 (기체축 ∥ 속도 벡터)
지배식	v γ̇ = −(g − v²/r) cos γ
조종 입력	초기 피치 킥 한 번 (사실상 파라미터 1개)
얻는 것	조종 손실 0, 공력 횡하중 0
내는 것	중력 손실 1.2~1.6 km/s (지구 저궤도 기준)

로켓은 위로 쏘는 물건이 아니라 옆으로 쏘는 물건이고, 그 “옆으로”를 조종면이 아니라 중력에게 맡기는 것이 중력 선회다.

중력 선회(gravity turn)는 발사체가 이륙 직후 짧은 피치 킥으로 기수를 속도 벡터에서 살짝 기울인 뒤, 그 이후로는 받음각을 0으로 유지한 채 중력의 횡성분이 속도 벡터를 스스로 눕히도록 두는 상승 궤적 및 유도 방식이다. 조종면이나 짐벌로 억지로 기수를 돌리는 대신, 이미 공짜로 작용하고 있는 중력을 회전 토크가 아니라 궤적 곡률로 환전하는 것이 아이디어의 전부다.

발사체가 궤도에 올라가려면 결국 지표에 대해 수평으로 7.8 km/s 근처를 만들어야 한다. 수직으로 쏜 로켓은 언젠가 90°를 다 꺾어야 하고, 이 꺾기를 대기권 안에서 공력으로 하면 기체가 부러지며, 진공에서 짐벌로 하면 추력의 일부를 옆으로 버려야 한다. 중력 선회는 그 두 청구서를 모두 피하는 대신 중력 손실이라는 하나의 청구서만 받는 전략이다. 총 $\Delta v$ 예산 자체는 치올콥스키 로켓 방정식 문서에 있으니, 여기서는 그 예산이 궤적 형상 때문에 어떻게 새는지를 본다.

2. 지배 방정식[편집]

대기 중을 나는 발사체를 2차원 점질량으로 놓고, 속도 $v$, 비행경로각 $\gamma$(수평 기준), 질량 $m$, 추력 $T$, 항력 $D$, 받음각 $\alpha$로 쓰면 속도 방향·법선 방향 운동방정식은 이렇게 된다.

$$m\dot v = T\cos\alpha - D - mg\sin\gamma$$ $$m v \dot\gamma = T\sin\alpha + L - mg\cos\gamma + \frac{mv^2}{r}\cos\gamma$$

여기서 마지막 항은 둥근 지구를 도는 데서 오는 원심 성분이고 $r = R_\oplus + h$다. 중력 선회의 정의는 딱 한 줄 — $\alpha = 0$으로 두는 것이다. 그러면 양력 $L$도 0(축대칭 동체라 $\alpha=0$이면 법선력이 사라진다), 추력의 횡성분도 0이 되어 법선 방정식이 통째로 정리된다.

$$\dot\gamma = -\frac{1}{v}\left(g - \frac{v^2}{r}\right)\cos\gamma$$

대기권 저고도에서는 $v^2/r \ll g$이므로 흔히 인용되는 평평한 지구 판이 남는다.

$$\dot\gamma = -\frac{g}{v}\cos\gamma$$

여기에 궤적 적분을 위한 운동학 두 줄 — 고도 $\dot h = v\sin\gamma$, 지상거리 $\dot x = v\cos\gamma \cdot R_\oplus/r$ — 과 질량 소모 $\dot m = -T/(I_{sp}g_0)$(비추력)을 붙이면 상태 5개짜리 상미분방정식계가 완성된다. 룽게-쿠타법 4차로 0.05초 스텝이면 충분히 돌아가고, 이 정도 계는 강성 방정식이 아니라서 음해법을 꺼낼 일이 없다.

식에서 바로 읽히는 것 세 가지가 있다.

• $\gamma = 90^\circ$는 평형점이다. $\cos 90^\circ = 0$이니 정확히 수직으로 서 있는 로켓은 영원히 안 눕는다. 그래서 반드시 킥이 필요하다.
• $v$가 작을수록 $\dot\gamma$가 크다. 이륙 직후 초속 몇 m/s에서 킥을 넣으면 궤적이 미친 듯이 눕는다. 그래서 킥은 속도가 충분히 붙은 뒤에 넣는다.
• $v^2/r = g$가 되면 선회가 멈춘다. 이건 원궤도 속도에 도달했다는 뜻이고, 그 순간 $\dot\gamma \to 0$이 되어 기체가 자연스럽게 수평에 정착한다. 궤도 투입 조건이 방정식 안에 이미 들어 있는 셈이다.

추력과 항력을 끈 순수 탄도 구간에서는 $dv/d\gamma = v\tan\gamma$가 되어 $v\cos\gamma = \text{const}$가 보존된다. 중력이 수직으로만 작용하니 수평 속도가 안 변한다는 당연한 사실인데, 궤적 적분기를 새로 짰을 때 검증용 해석해로 이만한 게 없다.

3. 왜 받음각 0인가[편집]

$\alpha = 0$이 사주는 것은 두 가지다.

조종 손실 제거. 추력 방향과 속도 방향이 어긋나면 그 차이만큼의 추력은 속도를 키우는 데 기여하지 못하고 버려진다. 이상 $\Delta v$ 대비 손실은

$$\Delta v_{\text{조종}} = \int \frac{T}{m}\left(1 - \cos\alpha\right)dt$$

이고 $\alpha \equiv 0$이면 정확히 0이다. 코사인이라 손실이 $\alpha^2$ 차수로 붙는 게 그나마 자비로운 점인데, 스페이스 셔틀처럼 궤도선을 옆에 매달아 놓고 자세를 강제해야 하는 형상은 이 항이 300 m/s를 넘기기도 했다.

공력 횡하중 제거. 발사체는 길이 대 지름비가 15~20에 달하는 얇은 관이고, 축방향 압축에는 강하지만 굽힘에는 형편없이 약하다. 법선력은 대략 $N \approx q S C_{N\alpha}\alpha$로 동압 $q = \tfrac12\rho v^2$와 받음각의 곱에 비례한다. 그래서 현장에서 실제로 감시하고 제한하는 물리량은 $\alpha$도 $q$도 아닌 $q\alpha$ 곱이다.¹ $\alpha=0$을 유지하면 기체는 축방향 하중만 받고, 구조 설계자는 굽힘 모멘트 대신 좌굴만 걱정하면 된다.

덤으로 하나 더 — 조종 계통이 할 일이 거의 없다. 대기권 통과 구간의 피치 프로그램은 사실상 개루프다. 폐루프 유도(PEG 계열)는 대기를 벗어난 뒤에 켠다. 대기권 안에서 폐루프 유도를 돌리면 유도기가 목표를 맞추려고 $\alpha$를 만들어 내는데, 그게 곧 기체를 부러뜨리는 입력이기 때문이다.

4. 중력 손실 대 항력 손실[편집]

이상 $\Delta v$(로켓 방정식이 주는 값)와 실제로 얻은 속도의 차이를 항별로 쪼개면 이렇게 된다.

$$\underbrace{I_{sp}g_0\ln\frac{m_0}{m_f}}_{\text{이상}} = \Delta v_{\text{실현}} + \underbrace{\int g\sin\gamma\,dt}_{\text{중력 손실}} + \underbrace{\int \frac{D}{m}dt}_{\text{항력 손실}} + \Delta v_{\text{조종}} + \Delta v_{\text{배압}}$$

지구 저궤도 발사체의 전형적인 크기 감각은 다음과 같다.

손실 항목	크기 (km/s)	지배 요인
중력 손실	1.2 ~ 1.6	저추력비 · 수직 상승 시간
항력 손실	0.04 ~ 0.16	형상 · max-Q 통과 속도
조종 손실	0 ~ 0.35	받음각 프로그램 · 형상 비대칭
배압 손실	0.1 ~ 0.3	노즐 팽창비 (라발 노즐)

여기서 초심자가 거의 항상 틀리는 직관이 나온다 — 항력 손실은 중력 손실의 10분의 1 수준이다. 대기가 무서운 것은 $\Delta v$를 먹어서가 아니라 기체를 부러뜨려서다. 그래서 최적 궤적의 방향은 “대기를 빨리 벗어나자”가 아니라 “가능한 한 빨리 눕자”다. 항력을 조금 더 먹더라도 $\sin\gamma$를 빨리 줄이는 쪽이 언제나 이긴다.

이 트레이드오프는 추력비 $T/W_0$가 결정한다. 이륙 추력비가 1.2라면 로켓은 알짜 가속도 $0.2g$로 겨우 떠오르며 $g$의 대부분을 그냥 버리고, 추력비 1.51.8이면 수직 구간을 짧게 끊고 곧장 눕힐 수 있다. 반대로 추력비를 무한정 올리면 저고도에서 속도가 너무 빨리 붙어 $q$가 폭발하고 항력·하중이 못 버틴다. 결국 이륙 추력비 1.31.6 근방이 국룰이 된 데는 이유가 있다.

5. 피치 킥 — 파라미터 하나로 궤적 전체가 결정된다[편집]

중력 선회의 무서운 점은 조종 자유도가 사실상 하나라는 것이다. 킥을 넣는 시각 $t_k$(또는 그때의 속도 $v_k$)와 킥 각도 $\delta$를 정하는 순간, 그 뒤의 궤적은 미분방정식이 알아서 다 그려 버린다. 그래서 궤적 설계는 자연스럽게 슈팅 문제가 된다 — 킥 파라미터를 조여서 최종 조건(목표 고도, $\gamma \approx 0$, 원궤도 속도)을 동시에 맞추는 2점 경계값 문제.

문제는 이 사상이 지독하게 민감하다는 것이다.

• 너무 이르게 / 크게 킥하면 저고도 조밀한 대기에서 궤적이 급격히 눕는다. $q$가 아직 커지기 전이라 하중은 견딜지 몰라도, 뒤에서 다시 세우려면 결국 $\alpha \ne 0$을 써야 하고 중력 선회의 전제가 깨진다. 심하면 그대로 지면으로 되꽂힌다.
• 너무 늦게 / 작게 킥하면 로켓이 계속 위로만 올라가며 $\sin\gamma \approx 1$인 채로 중력 손실을 빨아들이다가, 상단에서 수평 속도를 만들려고 큰 각도로 꺾게 된다. 이건 조종 손실을 조종 손실대로 내면서 중력 손실도 이미 다 낸 최악의 조합이다.

실무의 킥은 대체로 이륙 후 1040초, 속도 수십 m/s 구간에서 수 도(°) 규모로 아주 살짝 넣는다. 그리고 최적화를 돌려 보면 $\partial(\text{종단 고도})/\partial\delta$ 같은 감도가 수백수천 배로 증폭되어, 단순 슈팅은 야코비안이 못 버티는 경우가 흔하다. 그래서 실제 궤적 최적화는 최적 제어 문제로 격상시켜 다중 슈팅이나 의사스펙트럼법으로 이산화하고, 최적성 조건은 폰트랴긴 최대 원리로 확인한다. 참고로 폰트랴긴 최대 원리를 이 문제에 정직하게 적용하면 엄밀한 최적 궤적은 중력 선회가 아니다 — 최적해는 약간의 받음각을 쓴다. 중력 선회는 최적해에 아주 가까우면서 구조 하중 제약을 자동으로 만족시키는 준최적해라서 살아남은 것이다.²

6. max-Q와 스로틀 다운[편집]

동압 $q = \tfrac12\rho(h)v^2$는 상승 중에 반드시 극대점을 하나 갖는다. 초반에는 $v^2$가 빠르게 커져 $q$가 오르지만, 고도가 붙으면 밀도 $\rho$가 지수적으로 떨어지는 속도가 이겨서 $q$가 꺾인다. 그 극대점이 max-Q이며, 전형적으로 고도 1014 km, 값으로는 2535 kPa 대에 놓인다.

$$\frac{dq}{dt} = 0 \iff \frac{2}{v}\frac{dv}{dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dh}\frac{dh}{dt} \approx \frac{v\sin\gamma}{H}$$

($H$는 대기 척도고도, 지구에서 대략 7~8 km. 정확한 $\rho(h)$는 표준대기 같은 대기 모델을 쓴다.) 이 시점 전후로 많은 발사체가 엔진을 의도적으로 조인다 — 이른바 스로틀 버킷. 셔틀의 “Go at throttle up” 콜아웃이 바로 이 버킷을 빠져나왔다는 신호였다. 스로틀 다운은 $q$의 첨두를 깎아 구조 여유를 벌지만, 그 시간 동안 추력비가 낮아지므로 중력 손실을 더 낸다. 결국 max-Q 스로틀링은 “구조 질량을 살 것인가 $\Delta v$를 살 것인가”의 환율 문제다.

여기에 실제 발사를 괴롭히는 마지막 변수가 붙는다 — 바람. 고고도 제트기류는 속도 벡터를 흔들어 $\alpha \ne 0$을 강제로 만든다. 기체가 아무리 얌전히 중력 선회를 해도 대기가 옆으로 불면 $q\alpha$가 튄다. 그래서 발사 당일에 실제 기상 프로파일을 받아 궤적을 다시 최적화해 올리는 당일 궤적 설계가 표준 절차가 되었고, 하중 완화(load relief) 유도는 목표 정확도를 조금 포기하는 대신 $q\alpha$를 깎는 방향으로 조타한다.

7. 궤적 적분 실무[편집]

중력 선회 궤적 코드는 학부 수준 상미분방정식 적분기에 이벤트 처리 몇 개를 얹은 것에 불과하지만, 실제로 짜 보면 걸리는 곳이 정해져 있다.

상태와 우변. 상태는 $(v, \gamma, h, x, m)$ 다섯 개면 충분하고, 우변에 들어가는 것은 고도의 함수인 $\rho(h)$, $p_\infty(h)$, $g(h)$와 마하수의 함수인 $C_D(M)$이다. 밀도는 표준대기 표를 로그 보간해야 한다 — 선형 보간하면 지수적으로 감소하는 양을 계단으로 근사하는 셈이라 항력 손실이 눈에 띄게 어긋난다.

이벤트. 단 분리, 페어링 분리, 스로틀 프로파일, 엔진 종료는 전부 불연속이다. 고정 스텝으로 밟고 지나가면 질량이 스텝 경계에서 뭉텅 변해 오차가 튀므로, 이벤트 시각을 이분법으로 찾아 스텝을 끊고 적분기를 재시작하는 것이 정석이다. 특히 페어링은 자유분자 가열률이 임계값(관례적으로 1 kW/m² 부근) 아래로 떨어지는 시점에 던지는데, 이 조건 자체가 궤적에 의존하므로 설계 루프가 한 겹 더 생긴다.

검증. 앞에서 본 $v\cos\gamma = \text{const}$(추력·항력 off)가 1차 검증이고, 추력을 켜면 위의 손실 분해식이 성립하는지를 본다. 즉 매 스텝마다 $\int g\sin\gamma\,dt$, $\int (D/m)dt$를 함께 적분해 두고, 마지막에 이상 $\Delta v$와 실현 속도의 차이가 손실 합과 오차 범위 안에서 맞는지 확인한다. 안 맞으면 대개 질량 소모나 배압 보정에서 부호를 틀린 것이다.³

최적화. 킥 파라미터 하나만 흔드는 단순 슈팅으로도 1차 설계는 나오지만, 다단 발사체는 단별 종료 시각까지 자유변수가 되므로 곧 다차원 문제가 된다. 이때 유한차분으로 야코비안을 만들면 궤적 적분의 이벤트 불연속 때문에 미분이 지저분해지므로, 감도를 반정확하게 얻으려면 이벤트 시각을 매끄럽게 매개화하거나 아예 의사스펙트럼법으로 전사(transcription)해 NLP로 넘기는 편이 낫다.

8. 다른 무대의 중력 선회[편집]

• 달·화성 착륙. 시간을 뒤집으면 상승이 하강이 된다. 역추진하며 속도 벡터의 반대 방향으로 추력을 주면 자세가 자연스럽게 수직으로 정렬되어, 별도 자세 프로그램 없이 수직 접지에 수렴한다. 대기가 없는 천체에서는 항력 항이 통째로 사라져 방정식이 더 깔끔해진다.
• 역추진 착륙. 1단 회수 궤적의 종말 구간도 같은 논리를 쓴다. 다만 이쪽은 기체가 뒤로 날면서 격자핀으로 조타하므로 $\alpha=0$ 가정이 깨지고, 공력해석과 압축성 유동이 본격적으로 개입한다.
• 탄도 재돌입체. 무유도 재돌입체는 정적 안정만 확보하면 저절로 $\alpha \to 0$으로 트림되며, 그 결과가 중력 선회와 같은 꼴의 궤적이다. 안정 마진이 부족하면 텀블링으로 끝난다.

9. 관련 문서[편집]

• 치올콥스키 로켓 방정식 · 비추력
• 궤도 역학 · 전기추진
• 최적 제어 · 폰트랴긴 최대 원리 · 의사스펙트럼법
• 룽게-쿠타법 · 수치적분
• 라발 노즐 · 압축성 유동 · 공력해석
• 받음각 · 궤적 최적화 · 대기 모델

10. Footnotes[편집]

1. 그래서 발사 중계에서 엔지니어들이 “q-alpha”라고 중얼거리면 그건 기체가 부러질지 말지를 실시간으로 보고 있다는 뜻이다. 단위는 Pa·deg 또는 Pa·rad를 쓰고, 비행 규칙은 대개 이 값의 상한선으로 적혀 있다. ↩

2. “최적은 아니지만 제약을 공짜로 만족한다”는 이 구조는 공학에서 반복해서 나온다. 진짜 최적해는 대개 제약 경계 위를 아슬아슬하게 걷고, 그건 모델 오차 앞에서 매우 위험하다. 수백억짜리 기체로 최적성 마지막 0.5%를 사겠다고 나서는 사람은 없다. ↩

3. 손실 분해가 안 맞을 때 90%는 코드가 틀린 것이고 10%는 손실 정의가 다른 것이다. 배압 손실을 항력에 넣는 코드도 있고 추력 항에 넣는 코드도 있어서, 남의 논문 표와 자기 코드 결과를 비교할 때는 항목 정의부터 맞춰야 한다. 총합은 같은데 배분이 다른 표를 놓고 이틀을 태우는 일이 실제로 벌어진다. ↩