VOF 방법

1. 개요

VOF 방법(Volume of Fluid method)은 서로 섞이지 않는 두 유체 사이의 자유표면·계면(interface)을 추적하기 위해, 각 격자 셀이 특정 유체로 얼마나 채워졌는지를 나타내는 부피분율(volume fraction) $\alpha$를 수송하는 계면 포착(interface-capturing) 기법이다.

$$\alpha = \begin{cases} 0 & \text{셀이 유체 2(예: 공기)로 가득 참} \\ 0 < \alpha < 1 & \text{셀 안에 계면이 지나감} \\ 1 & \text{셀이 유체 1(예: 물)로 가득 참} \end{cases}$$

물컵에 물이 찰랑이는 자유표면, 파도가 부서지는 순간, 잉크방울이 떨어지는 장면 — 이렇게 두 유체의 경계가 심하게 출렁이고 찢어지고 합쳐지는 다상유동을 다룰 때 VOF가 등장한다. 1981년 히르트(Hirt)와 니콜스(Nichols)가 제안한 이래 상용 전산유체역학 코드의 자유표면 해석 표준으로 자리 잡았다.¹

2. 부피분율과 지배 방정식

VOF의 핵심 미지수는 부피분율 $\alpha$ 하나다. 계면은 명시적으로 저장되지 않고, $\alpha$ 값의 분포에 “암묵적으로” 담겨 있다. 이 $\alpha$는 유동을 따라 그저 실려 다니므로, 이류(advection) 방정식을 만족한다.

$$\frac{\partial \alpha}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \alpha = 0$$

전체 유동은 두 유체를 하나의 혼합 유체로 취급하는 단일 유체(one-fluid) 모델로 푼다. 밀도와 점성은 부피분율로 가중 평균한다.

$$\rho = \alpha \rho_1 + (1-\alpha)\rho_2, \qquad \mu = \alpha \mu_1 + (1-\alpha)\mu_2$$

이렇게 정의된 물성으로 나비에-스토크스 방정식을 한 번만 풀면 두 유체가 동시에 해석된다. 표면장력은 계면 위에 작용하는 체적력으로 환산해 운동량 방정식에 넣는데, 브래클빌(Brackbill)의 CSF(Continuum Surface Force) 모델이 국룰이다.

3. 계면 이류의 딜레마

말은 쉽지만 $\alpha$ 이류 방정식을 실제로 푸는 게 VOF의 가장 어려운 부분이자 온갖 논문이 쏟아진 격전지다. 이상적인 $\alpha$장은 계면에서 0과 1 사이를 급격히 뛰어넘는 계단 함수여야 하는데, 수치적으로 이걸 유지하기가 극악이다.

• 1차 상류 도식을 쓰면 수치 확산이 심해서 계단이 뭉개지고, 몇 스텝 지나면 계면이 흐리멍덩하게 번진다. 물과 공기의 경계가 안개처럼 뿌예지는 것.
• 고차 도식을 쓰면 이번엔 계면 근처에서 $\alpha$가 0보다 작거나 1보다 커지는 물리적으로 말도 안 되는 진동(over/undershoot)이 튀어나온다.

이 딜레마를 뚫기 위해 계면을 최대한 날카롭게 유지하는(interface sharpening) 특수 이류 기법들이 개발됐다. 도너-억셉터(donor-acceptor) 방식, CICSAM, HRIC 같은 것들이 대표적이고, OpenFOAM의 interFoam 솔버는 인공 압축(artificial compression) 항을 추가해 계면을 조여준다.² 계면을 아예 기하학적으로 재구성하는 방법도 있는데, 그게 다음의 PLIC이다.

4. PLIC 재구성

PLIC(Piecewise Linear Interface Calculation)은 계면을 각 셀 안에서 하나의 직선(2D) 또는 평면(3D) 조각으로 근사해 명시적으로 되살리는 기법이다. 순서는 이렇다.

1. 인접 셀의 $\alpha$ 분포로부터 계면의 법선 벡터 $\mathbf{n} = -\nabla\alpha / |\nabla\alpha|$를 추정한다.
2. 그 법선 방향을 가진 평면을, 셀 안에서 잘라낸 부피가 정확히 그 셀의 $\alpha$ 값과 같아지도록 위치시킨다.
3. 이렇게 복원된 계면 조각을 기준으로 셀 경계를 지나는 유체 플럭스를 기하학적으로 정확히 계산한다.

PLIC은 초기의 SLIC(계면을 좌표축에 평행한 계단으로만 근사)보다 훨씬 정확하며, 오늘날 정밀 VOF의 사실상 표준이다. 유명한 Youngs의 법선 추정 알고리즘이 이 계열. 계면이 “부피분율의 흐릿한 그림자”로만 존재하던 것을, 매 스텝 실제 선분/평면으로 또렷하게 그려내니 질량 보존과 계면 선명도를 동시에 잡을 수 있다.³ 대가는 기하 계산의 복잡함, 특히 3차원 임의 다면체 격자에서의 절단 부피 계산은 구현 난이도가 상당하다.

5. 다른 계면 기법과의 비교

계면을 다루는 방법은 VOF만 있는 게 아니다. 라이벌들과의 구도를 정리하면:

• 레벨셋(Level-Set): 계면까지의 부호 있는 거리함수를 수송한다. 계면이 매끄럽고 곡률(표면장력) 계산이 정확하지만, 질량 보존이 잘 안 된다는 고질병이 있다. VOF와 정반대의 장단점이라, 둘을 결합한 CLSVOF(Coupled Level-Set VOF)가 인기를 끌었다.
• SPH·FLIP-PIC 유체: 격자 없이 입자로 유체를 표현하는 라그랑주 계열. 물방울이 튀고 흩어지는 비주얼에 강해 컴퓨터 그래픽스의 물 시뮬레이션에서 애용된다.
• 전선 추적(Front-Tracking): 계면을 별도의 마커 격자로 명시적으로 들고 다닌다. 정확하지만 계면이 찢어지거나 합쳐질 때 마커 관리가 지옥이다.

VOF가 살아남은 이유는 결국 질량 보존이 본질적으로 정확하기 때문이다. $\alpha$의 총합이 곧 유체의 총 부피이고, 그걸 보존하는 이류를 풀기 때문에 물이 슬금슬금 사라지지 않는다. 파도 슬로싱(sloshing), 선박 조파 저항, 주조 충전(mold filling)처럼 “물이 몇 리터인지”가 중요한 다상유동 문제에서 VOF가 왕좌를 지키는 배경이다.

6. 관련 문서

• 다상유동
• 나비에-스토크스 방정식
• 전산유체역학 · 유한체적법
• OpenFOAM
• SPH · FLIP-PIC 유체
• 표면장력
• 격자 · 차분 도식

7. Footnotes

1. Hirt, C. W. & Nichols, B. D. (1981). Volume of Fluid (VOF) Method for the Dynamics of Free Boundaries. J. Comput. Phys. 인용 수가 만 단위인 CFD의 스테디셀러. 둘 다 로스앨러모스 국립연구소 소속이었다. ↩

2. 이 인공 압축 항의 계수를 cAlpha라고 부르는데, 초보 사용자가 계면이 안 선명하다고 이 값을 무작정 키우다가 유동장을 통째로 망가뜨리는 게 interFoam 입문 통과의례다. ↩

3. 대신 계면 법선이 격자축과 평행에 가까워지면 PLIC 재구성이 살짝 삐끗하는 순간이 있다. 완벽한 계면 추적은 아직도 인류에게 허락되지 않았다. ↩