k-엡실론 모델

1. 개요

k-엡실론 모델 k-ε Turbulence Model
분류	2방정식 RANS 난류모델
수송 변수	난류 운동에너지 k, 소산율 ε
핵심 가정	와점성(eddy viscosity) 가정
원논문	Jones & Launder 1972 · Launder & Spalding 1974
표준 상수	Cμ=0.09 · C1ε=1.44 · C2ε=1.92 · σk=1.0 · σε=1.3
와점성	νt = Cμk2/ε
대표 변형	표준 · RNG · Realizable

k-엡실론 모델(k-ε model)은 난류 운동에너지 $k$와 그 소산율 $\varepsilon$에 대한 두 개의 수송방정식을 함께 풀어 난류의 효과를 근사하는 대표적인 2방정식 RANS 난류모델이다. 1972년 존스(Jones)와 론더(Launder)가 층류화(laminarization) 예측을 위해 제시하고 1974년 론더와 스팔딩이 지금의 상수 집합으로 정리한 이래로, 산업 CFD에서 가장 오래 그리고 가장 많이 쓰인 난류모델이다. “일단 뭘로 돌려야 할지 모르겠으면 k-ε으로 돌린다”는 게 오랜 국룰이었다.¹

RANS의 근본 문제는 나비에-스토크스 방정식을 시간 평균하는 순간 튀어나오는 레이놀즈 응력(Reynolds stress) $-\overline{u_i' u_j'}$이라는 미지항이다. 이 항을 어떻게 닫느냐(closure)가 난류모델의 전부인데, k-ε은 여기에 와점성 가정과 두 개의 수송방정식을 조합해 답을 낸다.

2. 와점성 가정

k-ε의 뼈대는 부시네스크(Boussinesq) 와점성 가정이다. 레이놀즈 응력을 마치 점성 응력처럼 평균 변형률에 비례한다고 놓는다.

$$-\overline{u_i' u_j'} = \nu_t \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right) - \frac{2}{3} k\, \delta_{ij}$$

여기서 핵심은 난류 점성(eddy viscosity) $\nu_t$다. 이걸 $k$와 $\varepsilon$으로 표현한다.

$$\nu_t = C_\mu \frac{k^2}{\varepsilon}$$

즉 난류의 세기($k$)와 소멸 속도($\varepsilon$)만 알면 난류 점성이 결정되고, 그러면 레이놀즈 응력이 닫힌다는 논리다. 단순하고 강력한 대신, 난류를 등방적인 점성처럼 취급한다는 근본적 한계를 품고 있다.²

3. k와 ε 수송방정식

두 변수는 각각 자기만의 수송방정식을 따른다. 난류 운동에너지 $k$:

$$\frac{\partial (\rho k)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \bar{\mathbf{u}} k) = \nabla \cdot \left[ \left( \mu + \frac{\mu_t}{\sigma_k} \right) \nabla k \right] + P_k - \rho \varepsilon$$

소산율 $\varepsilon$:

$$\frac{\partial (\rho \varepsilon)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \bar{\mathbf{u}} \varepsilon) = \nabla \cdot \left[ \left( \mu + \frac{\mu_t}{\sigma_\varepsilon} \right) \nabla \varepsilon \right] + C_{1\varepsilon}\frac{\varepsilon}{k} P_k - C_{2\varepsilon} \rho \frac{\varepsilon^2}{k}$$

각 항은 왼쪽부터 시간변화·대류, 그리고 오른쪽으로 확산·생성·소멸을 뜻한다. 확산항의 $\mu$는 분자 점성으로, 고레이놀즈수 영역에서는 $\mu_t$에 묻혀 무시해도 되지만 벽 근처나 저레이놀즈수 변형에서는 빼면 안 된다.³ 생성항 $P_k$는 평균 유동이 난류에 에너지를 넣어주는 항이고, 부시네스크 가정 아래 다음처럼 쓴다.

$$P_k = -\rho \overline{u_i' u_j'} \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} = \mu_t\, |\bar{S}|^2, \qquad |\bar{S}| = \sqrt{2 \bar{S}_{ij} \bar{S}_{ij}}$$

표준 모델의 상수 다섯 개 $(C_\mu, C_{1\varepsilon}, C_{2\varepsilon}, \sigma_k, \sigma_\varepsilon)$는 자유 전단류·평판 유동 실험 데이터에 맞춰 튜닝된 값으로, 론더-스팔딩(1974) 이래 $(0.09,\ 1.44,\ 1.92,\ 1.0,\ 1.3)$이 사실상 고정값처럼 쓰인다.⁴

4. 상수 다섯 개는 어디서 왔나

이 숫자들은 하늘에서 떨어진 게 아니라 세 가지 표준 유동에 모델을 꿰맞춘 결과다. 하나씩 따라가면 왜 이 조합이 조금씩 어긋나 있는지도 보인다.

$C_\mu = 0.09$ — 국소 평형 전단류. 생성과 소산이 균형을 이루는($P_k = \rho\varepsilon$) 단순 전단류에서 부시네스크 관계를 대입하면 $-\overline{u'v'}/k = \sqrt{C_\mu}$가 나온다. 평판 경계층 로그 영역과 자유 전단류 실험이 한결같이 $-\overline{u'v'}/k \approx 0.3$을 주므로 $C_\mu \approx 0.3^2 = 0.09$다.

$C_{2\varepsilon} = 1.92$ — 격자난류 감쇠. 평균 변형이 없는 균질 등방 난류에서는 $P_k = 0$이라 $k$ 방정식이 $dk/dt = -\varepsilon$, $\varepsilon$ 방정식이 $d\varepsilon/dt = -C_{2\varepsilon}\varepsilon^2/k$로 줄어든다. 풀면 $k \propto t^{-n}$, 지수는

$$n = \frac{1}{C_{2\varepsilon} - 1}$$

$C_{2\varepsilon} = 1.92$를 넣으면 $n \approx 1.087$로, 격자난류 실험에서 보고되는 $n \approx 1.1$~$1.3$의 아래쪽 끝에 걸린다.

$\sigma_\varepsilon = 1.3$ — 로그 법칙과의 정합. 로그 영역에서 위 방정식들이 로그 법칙과 모순 없이 성립하려면 다섯 상수가 독립일 수 없고 다음 구속을 만족해야 한다.

$$\kappa^2 = (C_{2\varepsilon} - C_{1\varepsilon})\, \sigma_\varepsilon \sqrt{C_\mu}$$

표준값을 대입하면 $(1.92 - 1.44) \times 1.3 \times 0.3 = 0.187$, 즉 $\kappa \approx 0.433$이다. 실험에서 널리 쓰이는 폰 카르만 상수는 $\kappa \approx 0.41$이니, 표준 k-ε은 자기가 쓰는 벽함수의 $\kappa$와 약 5% 어긋난 상수 집합을 쓰고 있다. 이게 “k-ε은 로그 영역조차 완벽히 맞추지 못한다”는 말의 정확한 뜻이다. 상수를 고쳐 맞추면 이번엔 자유 전단류가 틀어지기 때문에, 대부분의 코드는 그냥 이 불일치를 안고 간다.⁵

5. 표준 · RNG · Realizable

세월이 흐르며 표준 모델의 약점을 손본 변형들이 나왔다.

변형	특징	강점
표준(Standard)	론더-스팔딩 원조	튼튼하고 저렴, 자유 전단류에 무난
RNG	재규격화군 이론으로 $\varepsilon$식 유도	급변 변형률·와류·회전 유동 개선
Realizable	$C_\mu$를 변수화, 물리적 제약 만족	유동박리·강한 압력구배·제트 확산 개선

RNG는 이론적 근거(renormalization group)로 상수를 유도하고 소산 방정식에 추가항을 넣어 변형이 빠른 유동에서 낫다. Realizable은 레이놀즈 응력이 음의 정규응력 같은 물리적으로 불가능한 값(비-realizable)을 내지 않도록 $C_\mu$를 유동에 따라 변하게 만든 것으로, 회전과 박리가 있는 유동에서 표준보다 눈에 띄게 좋다.

6. 벽함수 의존성과 한계

k-ε의 발목을 잡는 지점이 바로 벽 근처다. 표준 k-ε은 애초에 고레이놀즈수 난류 유동을 겨냥한 모델이라, 점성이 지배하는 벽 바로 옆의 얇은 층에서는 유효하지 않다. 그래서 벽까지 직접 격자로 풀지 않고, 벽함수(wall function)로 벽과 첫 격자 사이를 로그 법칙으로 이어 붙인다. 벽함수는 로그 법칙

$$u^+ = \frac{1}{\kappa} \ln(E y^+), \qquad \kappa \approx 0.41,\ E \approx 9.8$$

을 그대로 첫 격자 셀에 걸고, 그 셀에서 $k$는 국소 평형($P_k = \rho\varepsilon$), $\varepsilon$은 $\varepsilon_P = C_\mu^{3/4} k_P^{3/2} / (\kappa y_P)$로 강제한다. 이 때문에 첫 격자점의 무차원 벽거리 $y^+$를 30~300 사이에 두는 것이 국룰이 됐다. 아래쪽 경계인 30은 로그 영역이 시작되는 지점이고, 점성 저층식 $u^+ = y^+$와 위 로그식이 교차하는 지점은 $y^+ \approx 11.5$다 — 상용 코드가 “연속 벽함수”를 쓸 때 두 식을 이어 붙이는 자리가 여기다. $y^+$를 잘못 잡으면 벽함수가 성립하는 전제가 깨져 결과가 통째로 어긋난다.⁶

가장 유명한 약점은 역압력구배(adverse pressure gradient)와 유동박리다. k-ε은 이런 상황에서 박리를 너무 늦게, 너무 약하게 예측하는 고질병이 있다. 항공기 날개의 실속이나 디퓨저 내부 박리처럼 박리 지점이 중요한 문제에서는 신뢰하기 어렵다. 그래서 이런 경계층·박리 문제에서는 벽까지 적분 가능한 k-오메가 SST 모델이 사실상 표준 자리를 넘겨받았다. 등방 와점성 가정 자체를 버리고 레이놀즈 응력 6성분을 직접 푸는 레이놀즈 응력 모델도 있지만, 방정식이 7개로 늘고 수렴이 까다로워 일상 해석에는 잘 안 쓴다. 그럼에도 자유 전단류, 내부 유동, 초기 설계 단계의 빠른 스크리닝에서는 여전히 k-ε이 가성비의 왕좌를 지키고 있다.

7. 관련 문서

• 난류 모델링 · k-오메가 SST 모델 · 레이놀즈 응력 모델
• 대와류 모사 · 직접수치모사 · 분리 와류 모사
• 나비에-스토크스 방정식
• 벽함수 · 경계층 · 난류 강도
• 유동박리 · 콜모고로프 스케일
• 전산유체역학 · 레이놀즈수

8. Footnotes

1. 실제로 2000년대까지 대부분의 상용 CFD 코드가 기본값으로 표준 k-ε을 걸어놨다. “디폴트로 돌리고 결과가 이상하면 그때 모델을 바꾼다”는 관행이 여기서 나왔다. ↩

2. 난류 점성이 스칼라라는 건 곧 난류가 방향에 무관하게 똑같이 확산한다는 뜻인데, 실제 난류는 전혀 그렇지 않다. 이 등방성 가정 때문에 강한 회전류나 2차 유동에서 k-ε이 삐끗한다. 이걸 안 하려면 레이놀즈 응력을 6개 다 푸는 RSM으로 가야 하는데, 그건 그것대로 지옥이다. ↩

3. 존스-론더(1972) 원논문이 애초에 노렸던 게 이 영역이다. 제목의 “laminarization”은 강한 가속을 받아 난류가 도로 층류로 되돌아가는 현상인데, 그걸 잡으려면 벽 근처 분자 점성과 감쇠 함수가 필수였다. 지금 “표준 k-ε”이라 부르는 고레이놀즈수 버전은 그 원형에서 감쇠 함수를 걷어낸 쪽이다. ↩

4. 이 다섯 값은 론더-스팔딩(1974)이 못 박은 뒤 반세기 동안 거의 손대지 않고 쓰이고 있다. 상용 코드마다 소수점 아래를 조금씩 다르게 들고 있기도 한데($\sigma_\varepsilon$을 1.3 대신 1.217로 두는 계열 등), 본문의 로그 법칙 구속을 보면 그 차이가 어디서 오는지 알 수 있다. ↩

5. 이런 구속식이 존재한다는 사실 자체가 중요하다. “상수 다섯 개를 자유롭게 튜닝하면 된다”고 믿고 하나만 건드리면 로그 법칙이 조용히 깨진다. 상수를 손보려면 이 관계를 같이 풀어야 한다. 그냥 안 건드리는 게 제일 안전하다. ↩

6. 그래서 CFD 엔지니어의 절반은 격자를 만들고, 나머지 절반은 $y^+$를 확인한다는 농담이 있다. $y^+$ 컨투어를 뽑아보는 것이 해석 후 첫 번째 의식이다. ↩