k-엡실론 모델

시뮬레이션 난류 마지막 수정: 2026-07-09 04:37:08

k-엡실론 모델 k-ε Turbulence Model
분류	2방정식 RANS 난류모델
수송 변수	난류 운동에너지 $k$, 소산율 $\varepsilon$
핵심 가정	와점성(eddy viscosity) 가정
대표 변형	표준 · RNG · Realizable

1. 개요[편집]

k-엡실론 모델(k-ε model)은 난류 운동에너지 $k$ 와 그 소산율 $\varepsilon$ 에 대한 두 개의 수송방정식을 함께 풀어 난류의 효과를 근사하는 대표적인 2방정식 RANS 난류모델이다. 1974년 론더(Launder)와 스팔딩(Spalding)이 정립한 이래로, 산업 CFD에서 가장 오래 그리고 가장 많이 쓰인 난류모델이다. “일단 뭘로 돌려야 할지 모르겠으면 k-ε으로 돌린다”는 게 오랜 국룰이었다.¹

RANS의 근본 문제는 나비에-스토크스 방정식을 시간 평균하는 순간 튀어나오는 레이놀즈 응력(Reynolds stress) $-\overline{u_i' u_j'}$ 이라는 미지항이다. 이 항을 어떻게 닫느냐(closure)가 난류모델의 전부인데, k-ε은 여기에 와점성 가정과 두 개의 수송방정식을 조합해 답을 낸다.

2. 와점성 가정[편집]

k-ε의 뼈대는 부시네스크(Boussinesq) 와점성 가정이다. 레이놀즈 응력을 마치 점성 응력처럼 평균 변형률에 비례한다고 놓는다.

-\overline{u_i' u_j'} = \nu_t \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right) - \frac{2}{3} k\, \delta_{ij}

여기서 핵심은 난류 점성(eddy viscosity) $\nu_t$ 다. 이걸 $k$ 와 $\varepsilon$ 으로 표현한다.

\nu_t = C_\mu \frac{k^2}{\varepsilon}

즉 난류의 세기( $k$ )와 소멸 속도( $\varepsilon$ )만 알면 난류 점성이 결정되고, 그러면 레이놀즈 응력이 닫힌다는 논리다. 단순하고 강력한 대신, 난류를 등방적인 점성처럼 취급한다는 근본적 한계를 품고 있다.²

3. k와 ε 수송방정식[편집]

두 변수는 각각 자기만의 수송방정식을 따른다. 난류 운동에너지 $k$ :

\frac{\partial (\rho k)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \bar{\mathbf{u}} k) = \nabla \cdot \left( \frac{\mu_t}{\sigma_k} \nabla k \right) + P_k - \rho \varepsilon

소산율 $\varepsilon$ :

\frac{\partial (\rho \varepsilon)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \bar{\mathbf{u}} \varepsilon) = \nabla \cdot \left( \frac{\mu_t}{\sigma_\varepsilon} \nabla \varepsilon \right) + C_{1\varepsilon}\frac{\varepsilon}{k} P_k - C_{2\varepsilon} \rho \frac{\varepsilon^2}{k}

각 항은 왼쪽부터 시간변화·대류, 그리고 오른쪽으로 확산·생성·소멸을 뜻한다. $P_k$ 는 평균 유동이 난류에 에너지를 넣어주는 생성항이다. 표준 모델의 상수 다섯 개 $(C_\mu, C_{1\varepsilon}, C_{2\varepsilon}, \sigma_k, \sigma_\varepsilon)$ 는 자유 전단류·평판 유동 실험 데이터에 맞춰 튜닝된 값으로, 대략 $(0.09,\ 1.44,\ 1.92,\ 1.0,\ 1.3)$ 을 쓴다.³

4. 표준 · RNG · Realizable[편집]

세월이 흐르며 표준 모델의 약점을 손본 변형들이 나왔다.

변형	특징	강점
표준(Standard)	론더-스팔딩 원조	튼튼하고 저렴, 자유 전단류에 무난
RNG	재규격화군 이론으로 $\varepsilon$ 식 유도	급변 변형률·와류·회전 유동 개선
Realizable	$C_\mu$ 를 변수화, 물리적 제약 만족	유동박리·강한 압력구배·제트 확산 개선

RNG는 이론적 근거(renormalization group)로 상수를 유도하고 소산 방정식에 추가항을 넣어 변형이 빠른 유동에서 낫다. Realizable은 레이놀즈 응력이 음의 정규응력 같은 물리적으로 불가능한 값(비-realizable)을 내지 않도록 $C_\mu$ 를 유동에 따라 변하게 만든 것으로, 회전과 박리가 있는 유동에서 표준보다 눈에 띄게 좋다.

5. 벽함수 의존성과 한계[편집]

k-ε의 발목을 잡는 지점이 바로 벽 근처다. 표준 k-ε은 애초에 고레이놀즈수 난류 유동을 겨냥한 모델이라, 점성이 지배하는 벽 바로 옆의 얇은 층에서는 유효하지 않다. 그래서 벽까지 직접 격자로 풀지 않고, 벽함수(wall function)로 벽과 첫 격자 사이를 로그 법칙으로 이어 붙인다. 이 때문에 첫 격자점의 무차원 벽거리 $y^+$ 를 30~300 사이에 두는 것이 국룰이 됐다. $y^+$ 를 잘못 잡으면 벽함수가 성립하는 전제가 깨져 결과가 통째로 어긋난다.⁴

가장 유명한 약점은 역압력구배(adverse pressure gradient)와 유동박리다. k-ε은 이런 상황에서 박리를 너무 늦게, 너무 약하게 예측하는 고질병이 있다. 항공기 날개의 실속이나 디퓨저 내부 박리처럼 박리 지점이 중요한 문제에서는 신뢰하기 어렵다. 그래서 이런 경계층·박리 문제에서는 벽까지 적분 가능한 k-오메가 SST 모델이 사실상 표준 자리를 넘겨받았다. 그럼에도 자유 전단류, 내부 유동, 초기 설계 단계의 빠른 스크리닝에서는 여전히 k-ε이 가성비의 왕좌를 지키고 있다.

6. 관련 문서[편집]

실제로 2000년대까지 대부분의 상용 CFD 코드가 기본값으로 표준 k-ε을 걸어놨다. “디폴트로 돌리고 결과가 이상하면 그때 모델을 바꾼다”는 관행이 여기서 나왔다. ↩
난류 점성이 스칼라라는 건 곧 난류가 방향에 무관하게 똑같이 확산한다는 뜻인데, 실제 난류는 전혀 그렇지 않다. 이 등방성 가정 때문에 강한 회전류나 2차 유동에서 k-ε이 삐끗한다. 이걸 안 하려면 레이놀즈 응력을 6개 다 푸는 RSM으로 가야 하는데, 그건 그것대로 지옥이다. ↩
$C_\mu = 0.09$ 라는 값은 국소 평형 상태의 전단류에서 $-\overline{u'v'}/k \approx 0.3$ 이라는 실험 관찰에서 나온다. 즉 $0.3^2 \approx 0.09$ . 우연 같지만 우연이 아니다. ↩
그래서 CFD 엔지니어의 절반은 격자를 만들고, 나머지 절반은 $y^+$ 를 확인한다는 농담이 있다. $y^+$ 컨투어를 뽑아보는 것이 해석 후 첫 번째 의식이다. ↩