모드 해석

구조해석 고체역학 마지막 수정: 2026-07-03 09:14:33

모드 해석 Modal Analysis
다른 이름	고유치 해석, 진동 모드 해석
분야	구조동역학 × 선형대수
푸는 것	고유진동수 $\omega$, 모드 형상 $\boldsymbol{\phi}$
수학적 본질	일반화 고유치 문제
주 기법	유한요소법

1. 개요[편집]

세상 모든 구조물은 자기가 좋아하는 주파수가 있다. 문제는 그걸 밖에서 때려줄 때 생긴다.

모드 해석(modal analysis)은 구조물이 스스로 진동할 때 나타나는 고유진동수(natural frequency)와 모드 형상(mode shape)을 구하는 해석이다. 외력 없이 구조물을 살짝 건드렸을 때 “이 구조는 이런 주파수에서 이런 모양으로 흔들린다”를 알려주는 것이 목적. 다리를 건너는 병사들이 발을 맞춰 행진하면 안 되는 이유¹가 바로 이 모드 해석 안에 들어 있다.

정적 해석이 “얼마나 휘느냐”를 본다면, 모드 해석은 “어떤 리듬으로 떨리느냐”를 본다. 회전기계, 차량 차체, 항공기 날개, 고층 빌딩, 심지어 스마트폰의 진동모터 설계까지 — 무언가 흔들릴 수 있는 물건이라면 거의 예외 없이 이 해석을 거친다.

2. 수학적 정식화[편집]

감쇠가 없는 자유진동(free vibration)을 생각하자. 유한요소법으로 이산화한 운동 방정식에서 외력 $\mathbf{f}$ 와 감쇠 항을 지우면 다음이 남는다.

\mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}} + \mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{0}

여기서 $\mathbf{M}$ 은 질량 행렬, $\mathbf{K}$ 는 강성 행렬이다. 해가 조화진동 $\mathbf{u}(t) = \boldsymbol{\phi}\,e^{i\omega t}$ 형태라고 가정하고 대입하면, 시간 항이 소거되면서 우리가 원하던 일반화 고유치 문제(generalized eigenvalue problem)가 튀어나온다.

(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M})\,\boldsymbol{\phi} = \mathbf{0}

이 식이 자명하지 않은( $\boldsymbol{\phi} \neq \mathbf{0}$ ) 해를 가지려면 계수 행렬의 행렬식이 0이어야 한다.

\det(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M}) = 0

이 특성방정식의 근이 고유진동수의 제곱 $\omega^2$ 이고, 각 근에 대응하는 벡터 $\boldsymbol{\phi}$ 가 모드 형상이다. 자유도가 $n$ 개인 계는 이론적으로 $n$ 개의 모드를 갖지만, 실무에서 관심 있는 것은 대개 낮은 쪽 몇 개뿐이다. 높은 모드는 에너지가 크고 잘 여기되지도 않기 때문.²

3. 질량 행렬과 강성 행렬[편집]

모드 해석의 결과를 좌우하는 두 주인공은 $\mathbf{M}$ 과 $\mathbf{K}$ 다.

강성 행렬 $\mathbf{K}$ — 구조가 얼마나 뻣뻣한지를 담는다. 재료의 탄성계수와 형상이 뻣뻣할수록 값이 커지고, 고유진동수도 올라간다.
질량 행렬 $\mathbf{M}$ — 구조가 얼마나 무거운지를 담는다. 무거울수록 고유진동수는 내려간다. 대각화된 집중질량(lumped mass) 방식과, 형상함수로부터 유도되는 일관질량(consistent mass) 방식이 있다.

정성적으로 고유진동수는 $\omega \sim \sqrt{k/m}$ 의 스케일을 따른다. 즉 뻣뻣할수록 높고, 무거울수록 낮다. 기타 줄을 팽팽하게 조이면(강성 증가) 음이 높아지고, 굵은 줄(질량 증가)일수록 음이 낮은 것과 정확히 같은 원리다.

모드 형상은 보통 질량 행렬에 대해 정규화(mass normalization)한다. 즉 $\boldsymbol{\phi}_i^\top \mathbf{M} \boldsymbol{\phi}_j = \delta_{ij}$ 가 되도록 크기를 맞춘다. 이렇게 하면 서로 다른 모드끼리 질량 행렬에 대해 직교(orthogonal)한다는 아름다운 성질이 성립하고, 이후 응답 해석에서 계가 서로 독립인 1자유도 진동자들의 합으로 깔끔하게 분리된다.

4. 감쇠의 처리[편집]

현실의 구조물은 에너지를 소산시키는 감쇠(damping)를 갖는다. 하지만 감쇠까지 정직하게 넣으면 고유치가 복소수가 되고 모드 형상도 복소수가 되어 계산이 지저분해진다. 그래서 실무는 대개 두 갈래로 타협한다.

비감쇠 해석(undamped) — 감쇠 행렬 $\mathbf{C}$ 를 아예 무시한다. 고유진동수만 알면 되는 대부분의 설계 검토는 여기서 끝난다. 감쇠가 고유진동수를 바꾸는 효과는 보통 무시할 만큼 작기 때문.
비례감쇠(proportional damping) — 감쇠 행렬을 질량과 강성의 선형 결합으로 가정한다. 레일리 감쇠(Rayleigh damping)라고도 부른다.

\mathbf{C} = \alpha \mathbf{M} + \beta \mathbf{K}

비례감쇠의 장점은 $\mathbf{C}$ 가 실수 모드 형상에 대해서도 대각화된다는 점이다. 덕분에 감쇠가 있어도 모드끼리 여전히 분리되어 각 모드를 독립적인 감쇠 진동자로 다룰 수 있다. 계수 $\alpha$ , $\beta$ 는 두 개의 기준 주파수에서 원하는 감쇠비를 맞추도록 역산해서 정한다.

5. 공진과 실무적 의미[편집]

모드 해석이 밥값을 하는 순간은 공진(resonance)을 예방할 때다. 외부 가진 주파수가 구조의 고유진동수에 접근하면 진폭이 폭발적으로 커지고, 감쇠가 작을수록 그 폭발은 더 극적이다. 설계자의 임무는 간단하다. 작동 주파수 대역과 고유진동수를 떨어뜨려 놓는 것.

회전기계 — 모터·펌프·터빈의 회전수(rpm)에서 나오는 가진 주파수가 축이나 케이싱의 고유진동수와 겹치면 진동과 소음이 폭증한다. 위험 회전수(critical speed)를 피해 설계하거나 빠르게 통과시킨다.
차량 — 엔진 아이들링 진동, 노면 입력, 파워트레인 진동이 차체 패널의 고유진동수를 때리면 부밍 소음이 된다. NVH(소음·진동·불쾌감) 엔지니어의 주 무대다.
토목 구조 — 보행자 하중, 바람, 지진의 주파수 성분이 교량·건물의 고유진동수와 겹치지 않도록 한다. 런던 밀레니엄 브리지가 개통 이틀 만에 폐쇄된 사건이 유명한 반면교사다.³

여기서 자주 엮이는 것이 좌굴 해석이다. 둘 다 수학적으로는 유한요소법으로 조립한 행렬의 고유치 문제라는 공통 뿌리를 갖는다. 다만 모드 해석은 질량-강성 쌍의 고유치를, 좌굴 해석은 강성-기하강성 쌍의 고유치를 푼다는 점이 다르다.

6. 실험 모달 테스트[편집]

수치 해석이 아무리 정교해도 실물이 진짜 그렇게 떠는지는 두들겨 봐야 안다. 이것이 실험 모달 테스트(experimental modal analysis, EMA)다.

전형적인 방법은 임팩트 해머(impact hammer)로 구조물을 정확히 한 번 때리고, 여기저기 붙인 가속도계로 응답을 받아 주파수 응답 함수(FRF)를 측정하는 것이다. FRF의 봉우리가 고유진동수, 봉우리의 예리함이 감쇠, 여러 지점의 위상 관계가 모드 형상을 알려준다. 큰 구조물에는 해머 대신 가진기(shaker)를 쓴다.

실험과 해석 결과를 맞춰 보는 것을 모델 상관(model correlation) 또는 모델 갱신(model updating)이라 부르며, 두 모드 형상이 얼마나 닮았는지는 MAC(Modal Assurance Criterion) 지표로 정량화한다. MAC이 1에 가까우면 해석과 실험이 사이좋게 악수한 것이고, 0.6쯤 나오면 회의실 공기가 싸늘해진다.⁴

7. 관련 문서[편집]

이걸 공진 붕괴로 오해하는 경우가 많은데, 실제로는 편심 하중과 구조 결함이 더 큰 원인이었다는 분석도 있다. 그래도 “발맞춰 행진 금지” 군 규정은 지금도 살아 있다. 물리학보다 규정이 오래 산다. ↩
그래서 솔버는 전체 고유치를 다 구하지 않고 Lanczos나 subspace iteration 같은 방법으로 낮은 쪽 몇 개만 뽑아낸다. 전 자유도의 고유치를 다 구하겠다고 덤비면 슈퍼컴퓨터도 울면서 도망간다. ↩
원인은 보행자의 좌우 흔들림과 다리의 횡방향 모드가 맞물린 동기화 현상(synchronous lateral excitation)이었다. 사람들이 무의식적으로 다리의 흔들림에 발을 맞추면서 가진이 스스로 커진 것. 다리가 사람을 춤추게 만들었다. ↩
MAC이 낮으면 대개 경계 조건 모델링이 범인이다. 실험에서 “고정”이라고 믿은 지점이 사실은 살짝 움직이고 있었다는 진실은, 언제나 마감 3일 전에 밝혀진다. ↩