오일러각

컴퓨터 그래픽스 물리 게임 개발 마지막 수정: 2026-07-19 04:29:52

1. 개요[편집]

오일러각 Euler Angles
정립	레온하르트 오일러 (1776)
자유도	3 (최소 개수)
규약 개수	12 × 2 (내재/외재) = 24가지
고질병	짐벌락(gimbal lock)
대안	사원수, 회전행렬

롤·피치·요. 사람이 읽기엔 이보다 좋은 표현이 없고, 컴퓨터가 쓰기엔 이보다 나쁜 표현이 없다.

오일러각(Euler angles)은 3차원 공간의 임의의 회전을 세 좌표축 둘레의 연속된 세 번의 회전으로 분해해 각도 세 개로 나타내는 표현이다. 오일러의 회전 정리 — 강체의 임의의 방향은 고정점을 지나는 어떤 축 둘레의 단 한 번의 회전으로 도달할 수 있다 — 를 축 기준으로 다시 쪼갠 형태이며, 회전군 $SO(3)$ 의 자유도가 3이라는 사실에 딱 맞는 최소 개수의 매개변수다.

문제는 최소라는 것이 공짜가 아니라는 점이다. 세 숫자로 회전을 표현하는 순간 반드시 특이점이 생기고, 그 특이점의 이름이 짐벌락이다. 사원수가 굳이 4개를 쓰는 이유, 회전행렬이 굳이 9개를 쓰는 이유가 전부 이 한 문장에서 나온다.

2. 규약의 늪[편집]

“오일러각으로 (30°, 45°, 60°)입니다”라는 말은 그 자체로는 아무 정보도 주지 않는다. 규약을 같이 말해야 한다.

축 순서는 두 계열로 나뉜다. 첫 축과 셋째 축이 같은 고유 오일러각(proper Euler, ZXZ·ZYZ·XYX 등 6가지)과, 세 축이 모두 다른 테이트-브라이언 각(Tait–Bryan, XYZ·ZYX 등 6가지)이다. 항공우주에서 쓰는 요-피치-롤은 후자이고, 결정학의 집합조직(texture) 해석에서 쓰는 번게(Bunge) 규약 $(\varphi_1, \Phi, \varphi_2)$ 는 전자의 ZXZ다.

여기에 회전축의 기준이 곱해진다.

외재적(extrinsic) — 매번 고정된 월드 축 둘레로 돌린다.
내재적(intrinsic) — 물체에 붙어 함께 돌아가는 축 둘레로 돌린다.

둘은 순서를 뒤집으면 서로 같다. 내재적 Z–Y′–X″ 회전은 외재적 X–Y–Z 회전과 정확히 동일한 결과를 준다. 12가지 축 순서 × 2가지 기준 = 24가지 규약이 존재하고, 소프트웨어마다 다른 것을 기본값으로 쓴다. 서로 다른 도구 사이에서 자세 데이터를 주고받을 때 캐릭터나 위성이 엉뚱한 방향을 보는 사고의 대부분은 여기서 난다.¹

항공 표준인 내재적 Z–Y′–X″(요 $\psi$ , 피치 $\theta$ , 롤 $\phi$ )의 회전행렬은 이렇게 곱해진다.

R = R_z(\psi)\, R_y(\theta)\, R_x(\phi)

행렬 곱은 교환법칙이 성립하지 않으므로, 순서를 바꾸면 완전히 다른 자세가 된다. 오일러각이 직관적이라는 평판은 사실 “각각 하나씩 볼 때만” 직관적이라는 뜻이다.

3. 짐벌락[편집]

세 축 중 가운데 회전이 특정 각에 도달하면 첫 번째 축과 세 번째 축이 공간적으로 일치해 버린다. 테이트-브라이언 계열에서는 피치가 $\pm 90^\circ$ 일 때, 고유 오일러각 계열에서는 가운데 각이 $0$ 또는 $\pi$ 일 때다. 이 순간 첫 각과 셋째 각은 같은 축을 공유하므로 그 합만 의미가 있고, 자유도 하나가 통째로 사라진다. 이것이 짐벌락(gimbal lock)이다.

물리적 짐벌 장치의 은유가 아니라 수학적 사실임을 보려면 각속도 관계식을 보면 된다. 동체 좌표계 각속도 $(p, q, r)$ 에서 오일러각 변화율로 가는 운동학 방정식은 다음과 같다.

\begin{aligned} \dot{\phi} &= p + (q \sin\phi + r \cos\phi)\tan\theta \\ \dot{\theta} &= q \cos\phi - r \sin\phi \\ \dot{\psi} &= \frac{q \sin\phi + r \cos\phi}{\cos\theta} \end{aligned}

$\theta \to \pm 90^\circ$ 에서 $\tan\theta$ 와 $1/\cos\theta$ 가 발산한다. 즉 유한한 물리적 각속도가 무한한 오일러각 변화율을 요구하게 되고, 수치 적분기는 그 근처에서 그냥 터진다. 변환 자코비안이 특이해지는 것이므로 조밀한 자코비안 행렬 관점에서는 조건수가 폭발하는 상황과 같다.

더 근본적인 이유도 있다. $SO(3)$ 은 위상적으로 3차원 실사영공간 $\mathbb{RP}^3$ 이고 세 각이 사는 3차원 원환면 $T^3$ 과 위상동형이 아니다. 따라서 세 개의 매개변수로 $SO(3)$ 전체를 특이점 없이 덮는 전역 좌표계는 존재할 수 없다. 규약을 바꾸면 특이점의 위치가 옮겨갈 뿐 없어지지 않는다. 짐벌락은 구현의 결함이 아니라 3개짜리 표현을 선택한 대가다.

가장 유명한 사례는 아폴로 우주선의 관성항법장치다. 3축 짐벌 구조라 특정 자세에서 잠금이 발생했고, 조종사는 그 영역을 피해 비행해야 했다. 네 번째 짐벌을 넣자는 제안은 무게와 복잡도를 이유로 기각됐다.²

4. 변환[편집]

오일러각 → 사원수는 각 축 회전의 반각 사원수를 순서대로 곱하면 끝이다.

q = q_z(\psi)\, q_y(\theta)\, q_x(\phi), \qquad q_z(\psi) = \left(\cos\tfrac{\psi}{2},\; 0,\, 0,\, \sin\tfrac{\psi}{2}\right)

곱셈 세 번이라 싸고, 짐벌락도 이 방향에서는 문제되지 않는다. 특이점은 추출할 때 나온다. 회전행렬 $R$ 에서 위 규약의 각을 뽑는 표준 절차는 이렇다.

\theta = \arcsin(-R_{31}), \quad \phi = \operatorname{atan2}(R_{32}, R_{33}), \quad \psi = \operatorname{atan2}(R_{21}, R_{11})

$\theta = \pm 90^\circ$ 이면 $R_{32} = R_{33} = 0$ 이 되어 atan2(0, 0)이 된다. 답이 없는 게 아니라 답이 무한히 많은 것이므로, 실무 코드는 이 경우 셋째 각을 0으로 고정하고 나머지 하나에 합을 몰아주는 관례를 쓴다. 그리고 asin 대신 atan2를 쓰는 것이 국룰인 이유는 asin이 $\pm 1$ 근처에서 정밀도가 급격히 나빠지기 때문이다. 인자가 부동소수점 오차로 $1.0000001$ 이 되면 그대로 NaN이다.

보간은 하지 마라. 두 오일러각 세트를 성분별로 선형 보간하면 경로가 회전 공간의 최단 호와 무관해지고, $\pm 180^\circ$ 경계에서 값이 감기며(wrap-around) 캐릭터가 한 바퀴 돌아버린다. 회전 보간은 사원수 slerp로 하고, 오일러각은 표시할 때만 쓰는 것이 애니메이션 블렌딩의 기본 위생 수칙이다.

5. 그래도 오일러각을 쓰는 곳[편집]

이 문서의 8할이 험담이었지만, 오일러각이 정답인 자리도 분명히 있다.

사람이 값을 입력하는 UI — 엔진 인스펙터에 사원수 네 칸을 노출하는 도구는 없다. 아티스트는 “Y로 90도”라고 생각하지, $(0, 0.707, 0, 0.707)$ 이라고 생각하지 않는다. 내부는 사원수, 표시는 오일러각이 표준 구성이다.
비행·차량 동역학 — 받음각·옆미끄럼각 같은 공기역학 변수가 애초에 오일러각으로 정의되어 있다. 여객기가 수직 상승할 일이 없다면 특이점은 실무상 만나지 않는다. 곡예기·미사일 시뮬레이션은 그래서 사원수로 상태를 굴린다.
해석역학 — 팽이나 자이로스코프의 라그랑주 역학 서술에서 세차·장동·자전이 각각 오일러각 하나씩에 대응해 방정식이 물리적으로 읽힌다. 회전체 동역학의 고전 문제들이 ZXZ 규약으로 쓰인 이유다.
재료·결정학 — 다결정 집합조직의 배향 분포 함수는 번게 오일러각 공간에서 정의되고, ODF 등고선도 그 공간에 그린다.

6. 여담[편집]

짐벌락을 처음 배우는 사람이 가장 흔히 하는 오해는 “사원수를 쓰면 짐벌락이 없어진다”이다. 정확히는, 사원수로 상태를 저장하고 오일러각으로 변환하지 않으면 없다. 최종 출력을 오일러각으로 뽑는 순간 특이점은 그대로 따라온다.
서로 다른 두 툴의 오일러각이 안 맞을 때 각도 부호를 하나씩 뒤집어 보는 것은 나쁜 습관이다. 24가지 중 어느 규약인지 문서에서 확인하는 편이 결국 빠르다.³
세 각을 각각 슬라이더로 만들어 두면 QA는 반드시 가운데 슬라이더를 90도에 놓는다. 그 버그 리포트는 재현 가능하고, 원인은 3백 년 전 오일러에게 있다.

7. 관련 문서[편집]

널리 쓰이는 소프트웨어들만 봐도 기본 회전 순서가 제각각이다. 그래서 FBX나 glTF 같은 교환 포맷은 회전을 사원수나 행렬로 실어 나르고, 오일러각은 저작 도구 내부 표현으로만 남긴다. 파이프라인 설계의 오래된 교훈: 애매한 것은 파일에 넣지 않는다. ↩
NASA 엔지니어들 사이에 “크리스마스 선물로 네 번째 짐벌을 달라”는 농담이 돌았다는 일화가 전해진다. 실제 아폴로 11호 임무 중에도 짐벌락 영역 접근 경고가 발생했고, 우주비행사는 별을 다시 조준해 정렬(realign)해야 했다. ↩
부호를 뒤집어서 “맞아 보이게” 만들면 대개 테스트한 한 자세에서만 맞는다. 회전 규약이 틀렸다는 것은 24개 중 하나를 골랐다는 뜻이지 부호가 하나 틀렸다는 뜻이 아니다. 축 순서까지 어긋난 경우는 어떤 부호 조합으로도 복구되지 않는다. ↩