교통 흐름

1. 개요[편집]

교통 흐름 Traffic flow
두 계층	거시(유체 유비) · 미시(차량 한 대씩)
기본 관계	$q = \rho v$ (유량 = 밀도 × 속도)
거시 지배식	LWR 보존식 $\partial_t \rho + \partial_x Q(\rho) = 0$ (1955–56)
기본도	그린실즈 포물선(1935) · 그린버그 로그(1959) · 뉴얼 삼각형(1993)
대표 미시모형	Nagel–Schreckenberg CA(1992) · IDM(2000)
표준 수치해법	고두노프 = 셀 전달 모형(다간조 1994)
대표 현상	충격파 · 희박파 · 팬텀 정체 · 용량 강하

교통 흐름(traffic flow)은 도로 위 차량 집단의 밀도·속도·유량이 시공간에서 어떻게 전파하고 붕괴하는지를 다루는 동역학이다. 차 한 대는 운전자의 변덕이지만 수천 대가 모이면 보존 법칙을 따르는 매질처럼 굴고, 그래서 충격파와 희박파가 나오고, 병목이 하나도 없는 직선 도로에서도 정체가 저절로 태어난다.

이 문서는 흐름 동역학만 다룬다. “어느 경로로 갈 것인가”라는 수요 쪽 질문 — OD 행렬, 사용자 균형, 프랭크-울프 알고리즘 — 은 교통 배정과 워드롭 균형에 있고, 여기서는 경로가 이미 정해진 뒤 그 링크 위에서 벌어지는 일을 본다. 실제 코드에서 두 세계는 이렇게 만난다: 배정이 링크별 수요를 주고, 흐름 모형이 그 수요를 실제 통행시간으로 바꿔 되돌려준다. 정적 배정의 BPR 함수가 물리가 아니라 회귀식인 이유도 여기 있다 — 그 함수는 아래에 나오는 대기행렬 동역학을 통째로 한 점으로 압축해 버린 것이다.

2. 세 변수와 기본도[편집]

거시 교통류의 상태 변수는 셋뿐이다. 밀도 $\rho$ (대/km), 공간평균속도 $v$ (km/h), 유량 $q$ (대/h). 정의상 항상

$$q \;=\; \rho\, v$$

가 성립하고, 여기에 경험적 관계 하나를 더 얹으면 계가 닫힌다. 정상 상태에서 속도가 밀도만의 함수라고 가정하는 것이다 — $v = V(\rho)$, 따라서 $q = Q(\rho) = \rho V(\rho)$. 이 $Q(\rho)$ 곡선이 기본도(fundamental diagram)이며, 교통류 이론의 상태방정식에 해당한다.

• 그린실즈(1935). 속도가 밀도에 선형으로 떨어진다고 본다. $V(\rho) = v_f(1 - \rho/\rho_j)$, 따라서 $Q(\rho) = v_f\rho(1-\rho/\rho_j)$ 인 포물선. 임계밀도는 $\rho_c = \rho_j/2$, 용량은 $q_{\max} = v_f\rho_j/4$ 로 딱 떨어진다. 계산이 쉬워서 교과서와 장난감 코드의 국룰이지만, 실측 산포와는 어긋난다.¹
• 그린버그(1959). $V(\rho) = v_0\ln(\rho_j/\rho)$. 정체 영역 적합은 그린실즈보다 낫고 임계밀도가 $\rho_j/e$ 로 나오지만, $\rho\to 0$ 에서 속도가 발산한다는 치명적 결함이 있다. 자유류에는 못 쓴다.
• 삼각형 기본도(뉴얼 계열). 자유류 가지는 기울기 $v_f$ 의 직선, 정체 가지는 기울기 $-w$ 의 직선으로 꺾인 두 조각. $Q(\rho) = \min\{v_f\rho,\ w(\rho_j-\rho)\}$. 미분불가능한 꼭짓점이 하나 있다는 게 유일한 흠인데, 그 대가로 아래의 수치해가 닫힌 형태로 나온다. 오늘날 실무 표준이다.

기본도의 핵심은 꼭짓점을 기준으로 두 갈래라는 것이다. $\rho < \rho_c$ 인 자유류 가지에서는 차가 늘면 유량도 는다. $\rho > \rho_c$ 인 정체 가지에서는 차가 늘수록 유량이 줄어든다. 같은 유량 $q$ 를 주는 밀도가 두 개 존재한다는 뜻이고, 그래서 “시간당 1800대 통과”라는 숫자만으로는 그 도로가 잘 흐르는지 막혀 있는지 알 수 없다. 검지기 자료를 볼 때 유량이 아니라 점유율이나 속도를 같이 봐야 하는 이유가 이것이다.

실제 검지기 산포도는 이 매끈한 곡선이 아니라 꼭짓점 근처에서 구름처럼 퍼진다. 커너의 3상 이론은 이 산포가 측정 잡음이 아니라 동기류(synchronized flow)라는 별개의 상이라고 주장하고, 반대 진영은 준안정 영역과 이력 현상으로 설명한다. 어느 쪽이든 실무적으로 확인된 사실 하나는 용량 강하(capacity drop)다. 병목이 한 번 붕괴하면 그 뒤의 배출률이 붕괴 전 최대 유량보다 낮아진다. 즉 기본도는 위로 갈 때와 아래로 갈 때가 다르다.

3. LWR 보존식[편집]

차량은 도중에 생기지도 사라지지도 않는다. 그러면 유체와 똑같이 보존식이 선다.

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial q}{\partial x} = 0, \qquad q = Q(\rho)$$

라이트힐·휘덤(1955)과 리처즈(1956)가 독립적으로 제시해 LWR 모형이라 부른다. 스칼라 보존법칙 하나짜리라 버거스 방정식과 형제지간이고, 실제로 그린실즈 기본도를 넣으면 무점성 버거스 방정식의 변형이 된다.

매끄러운 영역에서 연쇄법칙을 쓰면 준선형 형태가 나온다.

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + c(\rho)\frac{\partial \rho}{\partial x} = 0, \qquad c(\rho) \equiv Q'(\rho) = V(\rho) + \rho\,V'(\rho)$$

여기서 $c(\rho)$ 는 운동학적 파의 속도이며, 교통류가 유체와 결정적으로 다른 지점이 바로 이 한 줄에 있다. $V' \le 0$ 이므로 항상 $c(\rho) \le v$ 다. 즉 정보는 차보다 빨리 갈 수 없다. 게다가 정체 가지에서는 $c < 0$ 이라 파가 차량 진행 방향의 반대로 흐른다. 앞차가 브레이크를 밟았다는 정보는 뒤로만 전파되고, 실측된 정체 파의 후진 속도는 도로·나라를 불문하고 대략 시속 15~20 km 라는 놀랍도록 보편적인 값으로 나온다.

3.1. 충격파와 희박파[편집]

$c(\rho)$ 가 상태에 의존하므로 특성선이 교차하고 유한 시간에 해가 꺾인다. 약해를 도입하면 불연속이 허용되고, 그 불연속의 이동 속도는 랭킨-위고니오 조건이 준다.

$$s \;=\; \frac{q_2 - q_1}{\rho_2 - \rho_1}$$

기하학적으로는 기본도 위 두 점을 잇는 현의 기울기다. 이 한 줄로 신호등 앞 풍경이 계산된다.

• 빨간불(충격파). 상류는 자유류 $(\rho_1, q_1)$, 정지선 뒤는 $(\rho_j, 0)$. 현의 기울기가 음수이므로 대기행렬의 꼬리가 상류로 자라 올라간다. 초당 몇 미터씩 뒤로 밀리는 그 경계선이 충격파다.
• 초록불(희박파). 정지 상태 $(\rho_j,0)$ 왼쪽에 텅 빈 도로 $(0,0)$ 이 있으면 특성선이 부채꼴로 벌어진다. 자기유사해 $\rho(x/t)$ 는 $c(\rho) = x/t$ 를 풀어 얻고, 삼각형 기본도에서는 앞차가 출발하는 신호가 뒤로 $-w$ 로 전파된다. 신호가 바뀌어도 뒤에서 열 번째 차는 바로 못 출발하는 그 답답함의 정체가 이것이다.
• 어느 쪽인지는 리만 문제의 엔트로피 조건이 정한다. $Q$ 가 오목이므로 $c(\rho_L) > c(\rho_R)$ 이면 충격파, 반대면 희박파. 이걸 안 걸면 “정체가 저절로 풀려 상류로 달아나는” 비물리적 해가 나온다.

4. 고두노프 격자로 풀기[편집]

LWR 은 고두노프 도식의 교과서적 적용 대상이다. 도로를 셀로 쪼개 셀 평균 밀도 $\rho_i^n$ 을 들고 유한체적법으로 전진한다.

$$\rho_i^{\,n+1} = \rho_i^{\,n} + \frac{\Delta t}{\Delta x}\left(F_{i-1/2} - F_{i+1/2}\right)$$

경계 플럭스 $F$ 는 리만 문제의 정확해에서 오는데, $Q$ 가 오목일 때 그 결과가 기억하기 좋을 만큼 단순하다. 상류 셀의 송출 능력과 하류 셀의 수용 능력 중 작은 쪽이다.

$$F_{i-1/2} = \min\bigl\{\,D(\rho_{i-1}),\ S(\rho_i)\,\bigr\}, \qquad D(\rho) = Q\bigl(\min(\rho,\rho_c)\bigr), \quad S(\rho) = Q\bigl(\max(\rho,\rho_c)\bigr)$$

즉 상류가 자유류면 그 유량만큼 내보내려 하고 정체면 용량까지 내보낼 수 있으며, 하류가 자유류면 용량까지 받고 정체면 그 정체 가지 유량만큼만 받는다. 교통공학에서는 이 형태를 송출-수용(demand–supply) 정식화라 부르며, 다간조가 삼각형 기본도로 특수화해 셀 전달 모형(Cell Transmission Model, CTM, 1994)으로 정리한 것이 사실상의 표준 구현이다.² 셀 하나에 든 대수 $n_i$ 로 쓰면

$$y_i = \min\Bigl\{\, n_{i-1},\ \ q_{\max}\Delta t,\ \ \tfrac{w}{v_f}\bigl(N_i - n_i\bigr) \Bigr\}$$

세 항이 각각 “보낼 차가 그만큼밖에 없다 / 용량이 그만큼이다 / 앞 셀에 빈자리가 그만큼이다”에 대응한다. 세 번째 항이 있기 때문에 대기행렬이 상류로 역전파된다 — 정적 배정이 절대 못 보는 그 spillback 이다.

시간 간격은 CFL 조건을 따른다. 삼각형 기본도의 최대 특성속도는 $\max(v_f, w)$ 이므로 $\Delta t \le \Delta x/\max(v_f,w)$. 셀 길이를 자유류에서 한 스텝에 지나는 거리로 잡으면 CTM 이 CFL 등호에서 돌아가고, 이때 수치 확산이 최소가 된다. 격자를 괜히 촘촘하게 쪼개면 오히려 충격파가 뭉개진다는 뜻이라 처음 접하면 킹받는다.

5. 미시 모형[편집]

거시 모형은 “정체가 어디서 얼마나 자라는가”에는 잘 답하지만 차선변경·합류·개별 운전 성향은 못 본다. 그래서 차 한 대씩 굴리는 계층이 따로 있다.

5.1. 셀룰러 오토마타 — Nagel–Schreckenberg[편집]

나겔과 슈렉켄베르크(1992)가 제안한 CA 모형은 도로를 7.5 m 짜리 칸으로 쪼개고 속도를 정수 $0 \le v \le v_{\max}$ 로 둔다. 모든 차가 매 스텝 동시에 네 규칙을 적용한다(셀룰러 오토마타의 동기 갱신 그대로다).

1. 가속 — $v \leftarrow \min(v+1,\ v_{\max})$
2. 감속 — 앞차까지의 빈 칸 수 $g$ 에 대해 $v \leftarrow \min(v,\ g)$
3. 무작위 감속 — 확률 $p$ 로 $v \leftarrow \max(v-1,\ 0)$
4. 이동 — $x \leftarrow x + v$

규칙 2가 충돌을 원천 봉쇄하고, 규칙 3이 이 모형의 전부다. $p=0$ 이면 흐름이 결국 결정론적 정상 상태로 정착해 정체가 저절로 생기지 않는다. 운전자의 부주의·과잉 브레이크를 뜻하는 $p$ 를 넣는 순간 준안정 자유류가 무너지고 후진하는 정체 클러스터가 태어난다. 정수 산술과 비트 연산만으로 도시 전체를 실시간으로 돌릴 수 있어 1990년대 독일 고속도로 실시간 예보 시스템의 엔진이 됐고, SUMO 에도 NaSch 라는 이름으로 그대로 들어 있다.

5.2. 차량추종 모형 — IDM 계열[편집]

연속 시간·연속 공간 쪽의 표준은 트라이버 등(2000)의 IDM(Intelligent Driver Model, 지능형 운전자 모형)이다. 앞차와의 순간극 $s$, 자기 속도 $v$, 접근 속도차 $\Delta v = v - v_{\text{앞}}$ 에 대해

$$\dot v = a\left[\,1 - \left(\frac{v}{v_0}\right)^{\delta} - \left(\frac{s^{*}(v,\Delta v)}{s}\right)^{2}\right], \qquad s^{*} = s_0 + v\,T + \frac{v\,\Delta v}{2\sqrt{ab}}$$

괄호 안 셋이 각각 “달리고 싶은 마음 / 희망속도 $v_0$ 근처에서의 감속 / 앞차가 가까우면 밟는 브레이크”다. 파라미터가 전부 물리적 의미를 갖는다는 게 강점이다 — $T$ 는 희망 차두시간, $s_0$ 은 정지 시 최소 간격, $a,b$ 는 최대 가·감속도. 충돌이 원리적으로 배제되지 않는다는 게 약점이고, 그래서 강한 감속 상황을 별도로 손봐야 한다.

계보는 더 길다. 기프스(1981)와 크라우스(1998)는 “다음 스텝에 앞차가 급제동해도 안 박는 최대 속도”를 직접 계산해 넣는 안전속도 방식이고, 그래서 구조적으로 충돌이 없다 — SUMO 의 기본 모형이 크라우스인 이유다. 비덴만(1974)은 운전자의 지각 문턱을 넣어 같은 차간거리에서도 접근 중이냐 이탈 중이냐에 따라 다르게 반응하는 심리-생리 모형이고 VISSIM 계열이 쓴다. 반도 등(1995)의 최적속도 모형(OVM)은 $\dot v_n = a\bigl[V(\Delta x_n) - v_n\bigr]$ 이라는 두 항짜리 단순함 덕에 안정성 해석의 표준 장난감이 됐다.

5.3. 끈 불안정성과 팬텀 정체[편집]

미시 모형이 거시 현상을 낳는 다리가 끈 불안정성(string instability)이다. 균질한 대열을 작게 교란시키고 선형화하면, 뒤차로 갈수록 진폭이 커지는 조건이 나온다. OVM 에서는 그 판정이 한 줄로 떨어진다 — 평형 차간거리 $h^{*}$ 에서

$$V'(h^{*}) < \frac{a}{2}$$

이면 안정, 아니면 불안정이다. 해석은 직관적이다. 차간거리 변화에 민감하게 반응할수록($V'$ 이 클수록), 그리고 반응이 굼뜰수록($a$ 가 작을수록) 대열이 깨진다. 이 조건이 깨지는 밀도 구간이 곧 정체가 자생하는 구간이고, 그 결과물이 팬텀 정체(phantom jam) — 사고도 공사도 병목도 없는데 생기는 정체다. 거시 쪽에서 보면 같은 현상이 준안정 자유류의 붕괴이며, 붕괴 직후 배출률이 떨어지는 것이 앞서 말한 용량 강하다.

6. 링 도로 실험[편집]

이론이 이렇게 말해도 “그럴 리가, 앞에 뭔가 있으니까 막히지”라는 반론은 사라지지 않는다. 스기야마 등(2008)이 이걸 실험으로 끝냈다.³ 둘레 230 m 원형 트랙에 차 22대를 균등 배치하고 시속 30 km 를 유지하며 돌라고만 지시했다. 신호도, 합류도, 끼어들기도, 앞을 막는 것도 없다.

결과는 1분이 채 안 걸렸다. 사람이 속도를 정확히 유지하지 못해 생긴 미세한 간격 요동이 뒤로 갈수록 증폭됐고, 곧 완전히 멈춰 서는 차가 나타나는 정체 클러스터가 형성됐다. 그 클러스터는 차들이 앞으로 달리는 동안 뒤로 시속 20 km 남짓으로 흘러갔다. 차량 대수를 임계값 아래로 줄이면 요동이 감쇠해 사라졌다. 정확히 끈 불안정성이 예측한 그림이다.

결론은 이렇게 요약된다. 병목은 정체의 방아쇠일 뿐 원인이 아니다. 정체는 임계밀도를 넘긴 다체계에서 일어나는 동역학적 상전이이며, 그래서 이 분야가 물리학 저널에 실린다. 실용적 따름정리도 하나 나온다 — 대열 안에 차간거리를 넉넉히 유지하는 차가 몇 대만 섞여 있어도 교란의 증폭이 끊긴다. 자율주행·ACC 차량으로 정체파를 소산시키려는 연구가 전부 이 실험의 후손이다.

7. 고차 모형과 그 함정[편집]

LWR 은 속도가 밀도에 즉시 맞춰진다고 가정한다. 관성도 반응 지연도 없으니 정체 파의 시간 구조를 못 낸다. 그래서 속도에 대한 방정식을 하나 더 얹는 2차 모형이 나왔다.

페인(1971)·휘덤(1974)의 PW 모형은 유체의 운동량 방정식을 그대로 베껴 $\partial_t v + v\partial_x v = (V(\rho)-v)/\tau - \frac{c_0^2}{\rho}\partial_x\rho$ 를 쓴다. 그런데 다간조(1995)가 “2차 유체 근사에 바치는 진혼곡”이라는 제목으로 이걸 해체했다.⁴ 두 특성속도 중 하나가 $v + c_0 > v$ 라서 뒤차의 상태가 앞차에 영향을 준다 — 차량은 등방적 기체 분자가 아니라 앞만 보는 입자인데 말이다. 심지어 밀도 충격을 만나면 속도가 음수로 나와 차가 후진한다.

아우-라슬(2000)과 장(2002)이 독립적으로 내놓은 ARZ 모형이 이 결함을 고쳤다. 압력항을 물질도함수 안으로 넣어

$$\partial_t\bigl(v + p(\rho)\bigr) + v\,\partial_x\bigl(v+p(\rho)\bigr) = 0$$

으로 쓰면 두 특성속도가 $v$ 와 $v - \rho p'(\rho) \le v$ 가 되어 정보가 차보다 빨리 갈 수 없다는 성질이 복원된다. 대신 방정식이 2×2 쌍곡계가 되어 MUSCL·근사 리만 해법기 같은 CFD 장비를 그대로 가져와야 한다. 여기서부터는 전산유체역학과 코드가 거의 구분되지 않는다.

8. 실무에서 조심할 것[편집]

• 기본도를 먼저 보정하라. 모든 거시 결과는 $Q(\rho)$ 하나에서 나온다. $v_f$, $q_{\max}$, $w$, $\rho_j$ 를 현장 검지기로 맞추지 않은 시뮬레이션의 통행시간은 소설이다. 특히 $w$(정체파 후진 속도)는 정체 길이를 직접 지배하는데 기본값으로 방치되는 일이 잦다.
• 유량만 보고 판단하지 마라. 같은 $q$ 에 밀도가 둘이다. 속도나 점유율을 함께 보지 않으면 자유류와 정체를 구분할 수 없다.
• CFL 을 등호 근처에서 써라. LWR 의 고두노프 해는 CFL 수가 1 에 가까울 때 충격파가 가장 덜 뭉개진다. $\Delta t$ 를 과하게 줄이는 “안전한” 선택이 여기서는 수치 확산을 키운다.
• 미시 모형의 무작위 시드를 반드시 여러 개 돌려라. NaSch 의 $p$ 든 SUMO 의 운전자 불완전성이든, 단일 실행 결과는 표본 하나다. 몬테카를로 방법의 상식이 여기서도 그대로 적용되는데 보고서에는 자주 실종된다.
• 미시와 거시를 섞을 때 경계를 조심하라. 하이브리드 모형에서 미시→거시 경계는 대개 잘 되지만 거시→미시 경계에서 차량을 생성하는 순간 차두시간 분포를 새로 지어내야 하고, 그 분포가 곧 하류 결과를 결정한다.
• 정체는 국소 현상이 아니다. 대기행렬이 상류 교차로를 넘어가면 그 교차로의 다른 방향까지 막는다(대기행렬 이론의 봉쇄). 해석 구간을 좁게 자르면 이 효과가 통째로 사라져 낙관적인 답이 나온다.

9. 관련 문서[편집]

• 교통 배정 · 워드롭 균형 · 혼잡통행료 · 브라에스 역설
• SUMO · 군중 시뮬레이션 · 셀룰러 오토마타 · 자율주행
• 충격파 · 리만 문제 · 버거스 방정식 · 보존법칙
• 고두노프 도식 · 유한체적법 · CFL 조건 · MUSCL · 전변분 감소 · 특성곡선법
• 상전이 · 분기 이론 · 몬테카를로 방법 · 대기행렬 이론

10. Footnotes[편집]

1. 그린실즈의 1935년 자료는 오하이오의 2차선 도로에서 찍은 사진 몇 장에서 뽑은 것이고, 정체 영역 데이터가 사실상 없었다. 즉 이 분야에서 가장 많이 인용되는 곡선의 절반은 외삽이다. 그럼에도 90년 넘게 살아남은 이유는 포물선이 손으로 적분되기 때문이라는 설이 유력하다. ↩

2. Daganzo, C. F. (1994). “The cell transmission model”, Transportation Research Part B 28(4). 논문 자체는 유한체적법이나 고두노프를 한 번도 언급하지 않고 순전히 교통공학 언어로 유도한다. 나중에 수치해석 쪽 사람들이 읽고 “이거 그냥 고두노프인데요”라고 지적했고, 다간조도 후속 논문에서 인정했다. 같은 것을 두 번 발명하는 데 성공한 흔치 않은 사례. ↩

3. Sugiyama, Y. et al. (2008). New Journal of Physics 10, 033001. 영상이 유튜브에 널려 있고 조회수도 꽤 나온다. 그 영상의 진짜 교훈은 “인간은 정속 주행을 못 한다”이며, 실험 참가자들도 성실히 시속 30 km 를 지키려 했다는 점이 중요하다. 악의도 미숙함도 필요 없다는 뜻이다. ↩

4. Daganzo, C. F. (1995). “Requiem for second-order fluid approximations of traffic flow”, Transportation Research Part B 29(4). 학술 논문 제목에 “진혼곡”을 넣는 배포는 아무나 못 낸다. 정작 그 진혼곡 이후에 ARZ 가 나와 2차 모형이 부활했으니, 장례식이 좀 일렀던 셈이다. ↩