다중기준 방법

최적설계 수치해석 마지막 수정: 2026-07-20 04:20:38

1. 개요[편집]

다중기준 방법 Multi-objective optimization
별칭	다목적 최적화 · 파레토 최적화
핵심 개념	파레토 지배 · 파레토 전선
해	단일 해가 아닌 절충 해집합
대표 기법	가중합 · ε-제약 · NSGA-II
궁합	유전 알고리즘, 형상 최적화

다중기준 방법(multi-objective optimization, 다목적 최적화)은 서로 상충하는 둘 이상의 목적함수를 동시에 최소화(또는 최대화)하는 최적화 문제를 다루는 방법론이다. 목적이 하나뿐인 단일목적 최적화는 “가장 좋은 점 하나”가 답이지만, 목적이 여럿이고 서로 상충하면 모두를 동시에 만족시키는 단일 해가 존재하지 않는다. 대신 “이보다 더 나아지려면 반드시 다른 목적을 희생해야 하는” 절충 해들의 집합, 즉 파레토 전선이 답이 된다.¹

자동차를 예로 들면 가볍게 만들수록 연비는 좋아지지만 충돌 안전성은 나빠진다. 구조물을 설계할 때 무게를 줄이면 강성이 떨어진다. 이런 “하나 얻으면 하나 잃는” 트레이드오프가 공학 설계의 본질이며, 다중기준 방법은 이 트레이드오프의 지형 전체를 그려내 의사결정자가 최종 선택을 하도록 돕는다. 형상 최적화와 위상 최적화, 공정 설계 등 현실의 최적설계 문제는 사실상 전부 다목적이다.

2. 파레토 지배와 파레토 전선[편집]

$k$ 개 목적함수 $\mathbf{f}(\mathbf{x}) = (f_1, \dots, f_k)$ 를 모두 최소화한다고 하자. 해 $\mathbf{x}^{(a)}$ 가 $\mathbf{x}^{(b)}$ 를 **파레토 지배(Pareto dominate)**한다는 것은 다음 두 조건을 동시에 만족하는 것이다.

모든 목적에서 나쁘지 않다: $f_i(\mathbf{x}^{(a)}) \le f_i(\mathbf{x}^{(b)})$ for all $i$
적어도 한 목적에서 확실히 낫다: $f_j(\mathbf{x}^{(a)}) < f_j(\mathbf{x}^{(b)})$ for some $j$

어떤 다른 해에도 지배당하지 않는 해를 파레토 최적(Pareto optimal) 또는 비지배(non-dominated) 해라 부른다. 이런 파레토 최적해 전체가 설계변수 공간에서 이루는 집합을 파레토 집합, 그것을 목적함수 공간으로 사상한 경계면을 **파레토 전선(Pareto front)**이라 한다. 파레토 전선 위에서는 어떤 목적을 개선하려는 순간 반드시 다른 목적이 나빠진다 — 이 지점이 바로 “공짜 점심은 없다”가 수학적으로 각인된 경계선이다.

목적이 두 개면 파레토 전선은 목적 평면 위의 곡선으로 그려지고, 그 모양(볼록/오목/불연속)이 트레이드오프의 성격을 그대로 보여준다. 볼록한 부분은 절충이 완만하고, 급격히 꺾이는 무릎(knee) 지점은 “가성비 최고”의 설계로 자주 채택된다.²

3. 스칼라화 방법 — 여러 목적을 하나로[편집]

가장 고전적인 접근은 여러 목적을 하나의 스칼라 목적으로 합쳐서 단일목적 최적화 도구를 그대로 재활용하는 것이다.

가중합(weighted sum). 가중치 $w_i \ge 0$ , $\sum w_i = 1$ 로

\min_{\mathbf{x}} \; \sum_{i=1}^{k} w_i \, f_i(\mathbf{x})

를 푼다. 가중치를 바꿔가며 여러 번 풀면 파레토 전선 위 여러 점이 나온다. 구현이 쉽고 경사하강법·뉴턴-랩슨법 등 기존 최소자승법 계열 솔버를 그대로 쓸 수 있지만, 치명적 약점이 있다. 파레토 전선의 오목한(non-convex) 부분에 있는 해는 어떤 가중치 조합으로도 절대 얻을 수 없다. 목적들의 스케일이 다르면 정규화도 신경 써야 한다.

ε-제약(ε-constraint). 목적 하나만 최소화하고 나머지는 부등식 제약으로 묶는다.

\min_{\mathbf{x}} \; f_1(\mathbf{x}) \quad \text{s.t.} \quad f_j(\mathbf{x}) \le \varepsilon_j \;\; (j \ne 1)

$\varepsilon_j$ 를 훑으며 여러 번 풀면 오목한 전선 부분까지 포착할 수 있어 가중합의 약점을 보완한다. 제약 최적화라 라그랑주 승수법이나 카루시-쿤-터커 조건이 배후에서 작동한다.

4. 진화 알고리즘 — 전선을 한 방에[편집]

스칼라화는 파레토 전선의 점 하나를 얻으려고 최적화를 통째로 한 번 돌려야 한다. 전선 전체를 훑으려면 수십~수백 번을 반복해야 하니 비싸다. 그래서 모집단(population) 기반 진화 알고리즘이 다목적에서 압도적 인기를 누린다. 한 번의 실행으로 파레토 전선 전체를 근사하는 해집합을 동시에 뽑아내기 때문이다.

대표 주자는 NSGA-II(비지배 정렬 유전 알고리즘 II). 유전 알고리즘의 뼈대 위에, 개체들을 지배 관계로 계층 정렬하고(비지배 정렬), 같은 계층 안에서는 전선을 고르게 덮도록 혼잡거리(crowding distance)로 다양성을 유지한다. 덕분에 파레토 전선이 특정 구간에 쏠리지 않고 넓게 펼쳐진다. 입자 군집 최적화의 다목적 변형(MOPSO)이나 담금질 모사 기반 기법도 같은 목적으로 쓰인다.³

이들 무기울기(gradient-free) 방법은 목적함수가 비선형·불연속·다봉(multi-modal)이어도 잘 돌고, 민감도 해석으로 도함수를 뽑기 어려운 블랙박스 시뮬레이션과 궁합이 좋다. 대신 함수 평가 횟수가 폭증하므로, 비싼 해석에는 대리 모델이나 베이지안 최적화를 얹어 평가 횟수를 줄이는 것이 국룰이다.

5. 의사결정과 실무[편집]

파레토 전선을 구했다고 끝이 아니다. 결국 설계자는 그 위에서 점 하나를 골라야 한다. 이 최종 선택(MCDM, 다기준 의사결정)에는 무릎 지점 선택, 목표점과의 거리 최소화(compromise programming), 가중치 기반 순위화 등이 쓰인다. 어느 목적을 얼마나 중시하느냐는 결국 공학이 아니라 경영·정책의 영역으로 넘어간다.

최적설계의 대부분 실무 문제(무게 vs 강성, 비용 vs 성능, 연비 vs 배출)가 다목적이다.
실험계획법·반응표면법으로 목적함수의 근사면을 만든 뒤 다목적 최적화를 얹는 조합이 흔하다.
불확실성 정량화와 결합하면 강건 다목적 최적화(robust multi-objective)가 되어, 파레토 전선 자체의 불확실성까지 다룬다.

6. 관련 문서[편집]

이름의 파레토는 19세기 이탈리아 경제학자 빌프레도 파레토(Vilfredo Pareto)다. “상위 20%가 부의 80%를 차지한다”는 그 파레토 법칙의 파레토 맞다. 경제학의 자원 배분 효율 개념이 공학 최적화로 넘어와 눌러앉은 사례. ↩
무릎(knee) 지점은 “한쪽 목적을 조금만 양보하면 다른 목적이 크게 좋아지는” 지점이라, 뚜렷한 선호가 없을 때 자연스러운 기본 선택지가 된다. 물론 부장님은 무릎이고 뭐고 “둘 다 최고인 점 없냐”고 물으신다. 그런 점은 정의상 존재하지 않는다. ↩
NSGA-II는 2002년 Deb 등이 발표한 이래 인용 수 수만 회를 찍은 다목적 최적화의 사실상 표준이다. “일단 다목적이면 NSGA-II 돌린다”가 이 바닥의 관성이 될 정도. 후속작 NSGA-III는 목적이 3개를 넘는 many-objective 문제로 영역을 넓혔다. ↩