대와류 모사

편집 역사 토론
시뮬레이션 난류 마지막 수정: 2026-07-09 04:11:20
상위 문서: 난류 모델링
대와류 모사
Large Eddy Simulation
약칭LES
분야난류 모델링 × CFD
핵심 아이디어큰 와류는 직접 풀고, 작은 와류는 모델링
비용 위치RANS < LES < DNS

1. 개요[편집]

대와류 모사(Large Eddy Simulation, LES)는 난류의 큰 와류(large eddy)는 시공간적으로 직접 해상하고, 격자로 못 잡는 작은 와류는 통계적으로 모델링하는 난류 해석 기법이다. 난류 모델링의 스펙트럼에서 시간 평균으로 전부 뭉개버리는 RANS와, 콜모고로프 스케일까지 죄다 푸는 직접수치모사(DNS) 사이에 딱 걸쳐 있는 절충안이다.

핵심 통찰은 이거다. 난류 에너지의 대부분을 실어 나르는 큰 와류는 유동 형상에 강하게 의존해서 모델링이 어렵지만, 크기가 작아질수록 와류는 점점 등방적(isotropic)이고 보편적(universal)이 된다는 것.1 그러니 형상 의존성이 강한 큰 놈들은 성실하게 계산하고, 어차피 다 비슷하게 생긴 작은 놈들은 대충 모델로 때우자는 전략이다. “중요한 건 직접 하고, 귀찮은 건 아웃소싱한다”는 지극히 공학적인 타협.

2. 필터링[편집]

LES의 수학적 출발점은 공간 필터링(spatial filtering)이다. 어떤 물리량 ϕ\phi를 필터 폭 Δ\Delta보다 큰 성분과 작은 성분으로 분리한다.

ϕˉ(x,t)=∫G(x−x′,Δ) ϕ(x′,t) dx′\bar{\phi}(\mathbf{x}, t) = \int G(\mathbf{x} - \mathbf{x}', \Delta)\, \phi(\mathbf{x}', t)\, d\mathbf{x}'

여기서 GG는 필터 커널이고, 오버바 ϕˉ\bar{\phi}는 필터링된(즉 해상되는) 성분이다. 실무에서는 대개 격자 자체가 필터 역할을 한다(implicit filtering) — 격자보다 작은 건 어차피 못 담으니까. 필터 폭은 보통 격자 간격의 함수, 예컨대 Δ=(ΔxΔyΔz)1/3\Delta = (\Delta x \Delta y \Delta z)^{1/3}로 잡는다.

이 필터를 나비에-스토크스 방정식에 적용하면 필터링된 방정식이 나오는데, 여기서 골치 아픈 항이 튀어나온다. 바로 서브그리드 스케일 응력(subgrid-scale stress, SGS stress):

τij=uiuj‾−uˉiuˉj\tau_{ij} = \overline{u_i u_j} - \bar{u}_i \bar{u}_j

필터링된 속도들의 곱과 곱들의 필터링이 같지 않기 때문에 생기는 미지항이다. 이 항을 어떻게 모델링하느냐가 LES의 전부라고 해도 과언이 아니다.2

3. 서브그리드 스케일 모델[편집]

3.1. 스마고린스키 모델[편집]

가장 고전적이고 널리 쓰이는 SGS 모델. 조지프 스마고린스키(Joseph Smagorinsky)가 1963년 기상 모델링을 하다 제안했다. 와점성(eddy viscosity) 가정을 써서 SGS 응력을 해상된 변형률과 연결한다.

τij−13δijτkk=−2νtSˉij,νt=(CsΔ)2∣Sˉ∣\tau_{ij} - \frac{1}{3}\delta_{ij}\tau_{kk} = -2\nu_t \bar{S}_{ij}, \qquad \nu_t = (C_s \Delta)^2 |\bar{S}|

여기서 Sˉij\bar{S}_{ij}는 해상된 변형률 텐서, CsC_s는 스마고린스키 상수(대략 0.1~0.2)다. 단순하고 튼튼하지만 문제가 있다. CsC_s가 상수라서 유동 전체에 획일적으로 적용되고, 벽 근처나 층류 영역에서 과도하게 소산(dissipation)을 먹여버린다. 벽에서는 SGS 점성이 0으로 가야 하는데 이 모델은 그걸 모른다.3

3.2. 동적 모델[편집]

1991년 저메이노(Germano) 등이 제안한 동적 스마고린스키 모델(dynamic model)은 위 문제를 우아하게 해결했다. CsC_s를 상수로 고정하지 말고, 두 개의 서로 다른 필터(격자 필터와 그보다 넓은 테스트 필터)에서 얻은 정보를 저메이노 항등식으로 비교해 국소적으로 계산하자는 발상이다. 그러면 벽 근처에서 자동으로 Cs→0C_s \to 0이 되고, 층류 구간에서도 알아서 소산이 꺼진다. 튜닝 파라미터 없이 계수가 스스로 조정되니 그야말로 “격자가 알아서 다 한다”. 다만 동적으로 계산된 계수가 음수로 튀어 수치적으로 불안정해지는 경우가 있어, 국소 평균이나 클리핑으로 달래줘야 한다.

이 밖에도 WALE, Vreman, Sigma 모델 등 벽 거동을 개선한 SGS 모델이 계속 나오고 있다.

4. 비용과 정확도에서의 위치[편집]

LES가 어디쯤 서 있는지는 표 하나로 정리된다.

기법해상 범위비용정상성
RANS평균장만저정상해 가능
LES큰 와류 직접 + 작은 와류 모델중~고본질적으로 비정상
DNS모든 스케일극고비정상

LES는 RANS보다 수십~수백 배 비싸지만 DNS보다는 훨씬 싸다. 비정상 유동, 유동박리, 음향, 연소처럼 RANS가 구조적으로 약한 문제에서 진가를 발휘한다. 유동박리나 카르만 와열 같은 대규모 비정상 구조를 잡아내는 데 특히 강하다.

5. 벽 근처 문제[편집]

LES의 아킬레스건은 벽이다. 벽에 가까워질수록 에너지를 나르는 와류의 크기가 점점 작아져서, 이걸 다 해상하려면 격자를 미친 듯이 촘촘하게 깔아야 한다. 이 비용은 사실상 DNS에 육박한다. 그래서 벽 처리 방식에 따라 두 갈래로 나뉜다.

  • WRLES(Wall-Resolved LES): 벽 근처 작은 와류까지 격자로 직접 해상. 정확하지만 격자수가 대략 Re1.8Re^{1.8}에 육박해 폭발한다.
  • WMLES(Wall-Modeled LES): 벽 근처는 벽함수 비슷한 벽 모델로 때우고, 바깥의 큰 와류만 LES로 푼다. 격자수가 대략 ReRe에 선형적으로 줄어들어 훨씬 현실적이다.4

산업 현장에서 고레이놀즈수 유동에 LES를 쓴다면 사실상 WMLES라고 보면 된다. WRLES는 아직 대부분 학술 영역이다. 이 벽 문제 때문에 RANS와 LES를 지역별로 섞어 쓰는 DES(Detached Eddy Simulation) 같은 하이브리드 기법도 널리 쓰인다.

6. 관련 문서[편집]

7. Footnotes[편집]

  1. 이게 콜모고로프의 국소 등방성 가설(local isotropy hypothesis)이다. 큰 스케일에서 주입된 에너지가 관성 영역을 거쳐 작은 스케일로 캐스케이드되면서 방향성을 잃어버린다는 것. LES의 존재 근거 그 자체다. ↩

  2. SGS 모델은 대부분 “역방향 산란(backscatter)”, 즉 작은 와류가 큰 와류에 에너지를 되돌려주는 현상을 잘 못 잡는다. 대다수 모델이 순수 소산만 표현하기 때문. 그래서 LES는 은근히 “필요 이상으로 얌전한” 난류를 뱉기도 한다. ↩

  3. 그래서 옛날 사람들은 벽 근처에서 반 드리스트(Van Driest) 감쇠 함수를 손으로 곱해주곤 했다. 동적 모델이 나오면서 이 수작업은 역사의 뒤안길로. ↩

  4. Choi & Moin(2012)의 유명한 추정치. WRLES는 ReLx13/7Re_{L_x}^{13/7}, WMLES는 ReLxRe_{L_x} 스케일링. 이 하나의 지수 차이가 “학술이냐 산업이냐”를 가른다. ↩