루이스 수

유체역학 전산유체역학 계산화학 마지막 수정: 2026-08-31 04:23:41

1. 개요[편집]

루이스 수 Lewis Number
기호	Le
정의	Le = α / D = 열확산도 / 물질확산도
다른 무차원수와	Le = Sc / Pr
기체 전형값	0.3 (H₂) ~ 3 (무거운 탄화수소)
액체	10² 이상
실무 기본값	Le = 1 (단위 루이스 수 가정)
깨지는 곳	수소·희박 예혼합·미분확산

열이 먼저 도착하는가, 연료가 먼저 도착하는가. 화염이 매끄러울지 갈라질지가 이 경주 하나로 갈린다.

루이스 수 $\mathrm{Le}$ 는 **열이 확산되는 속도와 물질이 확산되는 속도의 비를 나타내는 무차원수**다.

\mathrm{Le} = \frac{\alpha}{D} = \frac{\lambda / \rho c_p}{D}

여기서 $\alpha$ 는 열확산도, $D$ 는 관심 화학종의 확산계수다. 정의를 보면 점성이 빠져 있는데, 그 덕에 유동과 무관하게 매질과 화학종만으로 정해지는 물성이 된다. 다른 두 무차원수와의 관계는 나눗셈 한 번이면 나온다.

\mathrm{Le} = \frac{\mathrm{Sc}}{\mathrm{Pr}} = \frac{\nu/D}{\nu/\alpha}

즉 슈미트 수와 프란틀 수를 알면 루이스 수는 자동으로 결정된다. 셋 중 둘만 독립이다.¹

이 숫자가 특별대우를 받는 곳은 연소다. 예혼합 화염의 구조 자체가 “열이 앞으로 새어 나가 미연 혼합기를 데우고, 반응물이 뒤로 확산해 들어와 반응층을 먹여 살리는” 두 확산의 균형인데, $\mathrm{Le}$ 가 정확히 그 균형의 저울이기 때문이다. 그래서 화염이 안정한지 셀 구조로 갈라지는지, 신장을 받으면 빨라지는지 느려지는지가 전부 $\mathrm{Le}-1$ 의 부호 하나로 정리된다.

2. 왜 기체에서는 1 근처인가[편집]

기체의 $\mathrm{Le}$ 가 대체로 $\mathcal{O}(1)$ 이라는 사실은 우연이 아니라 기체운동론의 결과다. 희박 기체에서 열도 물질도 같은 분자의 같은 무작위 운동이 운반한다. 초등적인 운동론 추정에서

\alpha \sim \frac{1}{3}\bar{c}\,\ell, \qquad D \sim \frac{1}{3}\bar{c}\,\ell

로 둘 다 평균 분자속도 $\bar{c}$ 와 평균자유행로 $\ell$ 의 곱 규모가 되고, 따라서 $\mathrm{Le} \approx 1$ 이다. 실제 기체에서 1에서 벗어나는 것은 분자량 차이와 내부 자유도(회전·진동) 때문이며, 그래서 벗어남의 방향을 손으로 예측할 수 있다.

가벼운 종은 빨리 확산한다 → $D$ 가 커지고 $\mathrm{Le}$ 가 작아진다. 수소가 극단이다.
무거운 종은 느리게 확산한다 → $\mathrm{Le}$ 가 1보다 커진다.

대표값을 적어 두면(공기 중, 상온·상압 기준의 대략적 규모다):

화학종	Le 규모	비고
H₂	0.3 안팎	희박 수소 화염의 결핍종
CH₄	1 근처	단위 Le 가정이 잘 먹히는 이유
O₂	1.1 안팎	과농 화염의 결핍종
C₃H₈ 이상의 알케인	1.8 이상	무거울수록 커진다

액체는 사정이 완전히 다르다. 물의 $\alpha \approx 1.4\times10^{-7}\ \mathrm{m^2/s}$ 인데 용질의 $D$ 는 $10^{-9}\ \mathrm{m^2/s}$ 규모라 $\mathrm{Le} \sim 10^2$ 다. 액체 안에서는 열이 물질보다 압도적으로 빨리 퍼진다는 뜻이고, 용액의 대류 불안정이나 결정 성장에서 온도장과 농도장을 전혀 다른 시간척도로 다뤄야 하는 이유가 여기 있다.

3. 화염에서 부호가 결정하는 것[편집]

예혼합 화염면에 볼록한 요철이 생겼다고 하자. 요철의 미연 쪽 볼록부는 넓은 각도로 열을 잃는 동시에 넓은 각도에서 반응물을 끌어모은다. 어느 쪽이 이기느냐가 $\mathrm{Le}$ 다.

$\mathrm{Le} > 1$ — 열손실이 이긴다. 볼록부가 식어 느려지고 요철이 펴진다. 화염면이 안정하며, 대신 맥동·줄무늬 같은 진동 불안정이 $\mathrm{Le}$ 가 충분히 크면 나타난다.
$\mathrm{Le} < 1$ — 반응물 공급이 이긴다. 볼록부가 더 빨라져 요철이 커진다. 열-확산 불안정이 발동해 셀 구조의 주름진 화염이 된다.

희박 수소-공기가 교과서적 사례다. 결핍 반응물이 H₂ 이고 $\mathrm{Le}\approx0.3$ 이라 구형으로 자라야 할 화염이 갈라진 셀 덩어리가 되고, 겉보기 소모율이 1차원 평면 계산값을 크게 웃돈다. 자세한 현상론은 층류 화염 속도 문서가 다룬다.

신장에 대한 민감도를 정량화하는 것이 마크스타인 길이 $\mathcal{L}$ 이고, $S_L = S_L^0 - \mathcal{L}K$ 라는 선형 관계로 쓴다. 큰 활성화 에너지 점근 해석이 주는 결론의 요지는 $\mathcal{L}$ 이 두 조각의 합이라는 것이다.

열팽창(밀도 도약)에서 오는 항 — 부호가 고정이고 $\mathrm{Le}$ 와 무관하다.
확산 불균형에서 오는 항 — 대략 $\beta(\mathrm{Le}-1)/2$ 에 비례한다.

여기서 $\beta$ 는 젤도비치 수(탄화수소 화염에서 8~12)다. $\mathrm{Le}-1$ 이 작아도 $\beta$ 가 곱해지므로 효과가 증폭된다는 점이 중요하다. $\mathrm{Le}=1.1$ 이면 “거의 1”처럼 보이지만 $\beta(\mathrm{Le}-1)/2 \approx 0.5$ 라 무시할 수 없다. 단위 루이스 수 가정이 생각보다 자주 배신하는 구조적 이유가 이것이다.²

4. ”결핍 반응물의 루이스 수”라는 말썽[편집]

정의를 실제 혼합물에 적용하려는 순간 문제가 생긴다. 화학종이 수십 개인데 $\mathrm{Le}$ 는 종마다 다르다. 어느 값을 써야 하나?

관행은 결핍 반응물(deficient reactant), 즉 먼저 고갈되는 쪽의 $\mathrm{Le}$ 를 쓰는 것이다. 희박 조건이면 연료, 과농 조건이면 산소. 그래서 같은 수소-공기라도 희박이면 $\mathrm{Le}\approx0.3$ , 과농이면 결핍종이 O₂ 라 $\mathrm{Le}>1$ 이 되어 당량비를 넘나드는 순간 불안정 성향이 통째로 뒤집힌다.

혼합 연료(예: 천연가스에 수소를 섞는 경우)에서는 이마저 애매해서 유효 루이스 수(effective Lewis number)를 정의해 쓰는데, 정의가 하나가 아니다. 몰분율로 가중하는 것, 각 성분의 발열 기여로 가중하는 것, 확산 플럭스로 가중하는 것이 모두 문헌에 있고 서로 다른 값을 준다. 수소 혼소 가스터빈 논문에서 “유효 $\mathrm{Le}$ ” 숫자를 인용할 때 어느 정의인지 확인하지 않으면 비교가 성립하지 않는다. 이건 이 무차원수의 알려진 약점이고, 그래서 최근 연구는 유효 $\mathrm{Le}$ 대신 상세 수송으로 직접 계산하는 쪽으로 옮겨가는 추세다.

5. 단위 루이스 수 가정 — 왜 국룰이고 언제 깨지는가[편집]

$\mathrm{Le}=1$ 을 가정하면 연소 시뮬레이션에서 벌어지는 일은 다음과 같다.

에너지 방정식과 화학종 방정식이 같은 꼴이 된다. 확산 계수가 같아지므로 엔탈피와 화학종 질량분율의 적절한 선형 결합(슈밥-젤도비치 변수)이 화학 소스항 없이 순수 대류-확산 방정식을 만족한다. 이 성질이 없으면 다음 것들이 전부 무너진다.

혼합 분율 정식화. 비예혼합 연소의 표준 도구인 보존 스칼라 $Z$ 는 ” $\mathrm{Le}=1$ 이면 소스항이 0”이라는 사실 위에 세워져 있다. $\mathrm{Le}\ne1$ 이면 $Z$ 가 종마다 달라져서 “혼합 분율”이라는 단일 변수가 정의되지 않는다.
화염면·화염렛 표 작성. FGM/FPI 계열은 상태공간을 소수의 제어변수로 파라미터화하는데, 미분확산이 있으면 같은 $(Z,c)$ 에서 조성이 하나로 정해지지 않아 표가 다가(多價)가 된다.
수치적 편의. 모든 종이 같은 확산계수를 쓰면 라플라시안 하나만 조립하면 되고, 확산 플럭스 합이 0이라는 제약( $\sum_i \mathbf{J}_i = 0$ )이 자동으로 만족된다. 종마다 $D_i$ 가 다르면 이 제약이 깨져서 보정 속도를 따로 도입해야 한다(아래).

여기에 하나 더 있다. 난류에서는 $\mathrm{Le}=1$ 이 근사가 아니라 거의 사실이 된다. 난류 수송이 분자 수송을 압도하는 영역에서는 난류 와류가 열과 물질을 구별 없이 실어 나르므로 유효 루이스 수가 1로 수렴한다. 고 레이놀즈수 산업 버너에서 단위 $\mathrm{Le}$ 가정이 그럭저럭 통하는 진짜 이유는 화학이 아니라 이것이다.

그렇다면 언제 깨지는가.

수소. $\mathrm{Le}\approx0.3$ 은 1과 근사적으로도 같지 않다. 희박 수소 예혼합 화염에서 단위 $\mathrm{Le}$ 계산은 화염 속도와 소염 한계를 모두 틀리게 준다.
희박 예혼합 연소기. 저 NOx 를 위해 당량비를 계속 낮추는데, 희박할수록 결핍종이 연료이고 연료가 가벼울수록 $\mathrm{Le}$ 가 작다. 최신 연소기가 가장 민감한 영역으로 스스로 걸어 들어가고 있는 셈이다.
분자 수송이 살아 있는 영역. 벽 근처, 소염 직전, 층류화된 얇은 반응층. 카를로비츠 수가 커져 난류 와류가 반응층 안까지 침투하면 오히려 상황이 복잡해진다.
저 레이놀즈수 제트. 미분확산이 실험과 DNS 모두에서 뚜렷하게 관측되는 조건이다.

그럼에도 이 가정이 좀처럼 버려지지 않는 데에는 물리 바깥의 사정도 있다.³

6. 상세 수송 — Le 를 안 쓰고 계산하기[편집]

$\mathrm{Le}$ 를 하나의 숫자로 뭉치는 것 자체가 근사다. 상세 계산은 세 단계의 사다리를 갖는다.

1. 혼합평균(커티스-허쉬펠더). 종 $i$ 의 유효 확산계수를 이항 확산계수 $D_{ij}$ 로부터

D_{i,\mathrm{mix}} = \frac{1 - X_i}{\sum_{j\ne i} X_j / D_{ij}}

로 근사하고 픽 법칙을 쓴다. 계산이 싸서 실무 표준이다. 단점은 $\sum_i \mathbf{J}_i = 0$ 이 보장되지 않는다는 것이고, 그래서 모든 종에 공통으로 더해 주는 보정 속도(correction velocity)로 질량 보존을 강제로 맞춘다. 이 보정을 빼먹으면 총질량이 조용히 새면서 장시간 계산에서 조성이 표류한다.

2. 완전 다성분(스테판-맥스웰). 종 사이의 결합을 모두 유지한 확산 행렬을 푼다. 정확하지만 종 수 $N_s$ 에 대해 행렬 풀이가 $\mathcal{O}(N_s^3)$ 이라 셀마다 매 스텝 돌리기엔 비싸다.

3. 소레 효과(열확산). 온도 구배가 만드는 질량 플럭스다. 가벼운 종(H, H₂, He)에서만 유의미하지만, 하필 그 종들이 화염 화학을 지배해서 희박 수소 화염 속도가 켜고 끄는 것만으로 눈에 띄게 바뀐다. 수소 계열 계산에서 소레를 켜는 것이 국룰이 된 이유다.

Cantera 나 CHEMKIN 계열 코드는 이 세 모드를 옵션으로 제공하고, 논문에 어느 모드를 썼는지 밝히지 않으면 재현이 불가능하다. 탄화수소에서는 1과 2의 차이가 몇 % 지만 수소·헬륨이 끼면 10 % 대까지 벌어진다.

여기서 흔히 채택되는 실무적 중간 지점이 **“종별 상수 루이스 수”**다. 상세 수송으로 미리 1차원 화염을 풀어 종마다 대표 $\mathrm{Le}_i$ 를 뽑아 두고, 3차원 계산에서는 $D_i = \alpha/\mathrm{Le}_i$ 로 고정해 쓴다. 완전 다성분의 비용 없이 미분확산의 1차 효과는 잡는 절충이며, 화염렛 표에 $\mathrm{Le}_i$ 를 구워 넣는 방식도 같은 발상이다.

7. 연소 밖에서[편집]

열·물질 동시 전달. 습공기의 습구온도 이론에서 대류 열전달계수와 물질전달계수의 비가 $\mathrm{Le}^{2/3}$ 규모로 정리된다(칠튼-콜번 유사성 계열의 결과). 공기-수증기계에서 $\mathrm{Le}$ 가 1에 가까워 습구온도와 단열포화온도가 거의 같아지는 것이 냉각탑·공조 설계의 오래된 편의다.
이중확산 대류. 온도와 염분처럼 확산도가 크게 다른 두 성분이 함께 밀도를 결정하면, 각각으로는 안정한 성층이 함께 있을 때 불안정해진다. 바다의 소금손가락(salt fingering)이 대표 사례이고, 여기서 $\mathrm{Le}$ 는 $10^2$ 규모다.
결정 성장·응고. 용질 확산이 열 확산보다 훨씬 느려서 고액 계면 앞에 용질 경계층이 쌓이고, 이것이 조성적 과냉각과 수지상(dendrite) 성장을 만든다. $\mathrm{Le}$ 가 크다는 사실 자체가 형상 불안정의 원인이다.

8. 관련 문서[편집]

정의의 역수를 쓰는 문헌이 있다. 일부 물질전달·공조 계열 교재가 $\mathrm{Le} = D/\alpha$ 로 적어 놓아서, 값이 100인지 0.01인지로만 판별해야 하는 상황이 벌어진다. 연소 문헌은 예외 없이 $\alpha/D$ 이니 이 바닥에서는 안심해도 되지만, 학제간 논문을 읽을 때는 정의부터 찾는 게 안전하다. ↩
반대 방향의 함정도 있다. ” $\mathrm{Le}$ 가 1.05니까 1로 봐도 되겠지”라고 판단한 뒤 소염 한계가 실험과 안 맞아서 몇 달을 메커니즘 탓으로 돌리는 것. 화염 속도처럼 완만한 양은 $\mathrm{Le}$ 에 둔감하지만, 소염이나 불안정 개시처럼 임계 현상은 $\beta(\mathrm{Le}-1)$ 에 직접 걸린다. 어떤 양을 보느냐에 따라 같은 근사가 무해하기도 하고 치명적이기도 하다. ↩
$\mathrm{Le}=1$ 가정이 지금도 살아남은 진짜 이유를 냉정하게 말하면 정확해서가 아니라 그걸 버리는 순간 모델 체계 전체를 다시 짜야 하기 때문이다. 혼합 분율도, 화염렛 표도, 조건부 모먼트 닫힘도 전부 보존 스칼라의 존재를 전제로 세워져 있다. 편의가 오래되면 물리인 척하게 된다. ↩