르베그 적분

1. 개요[편집]

르베그 적분 Lebesgue Integral
정립	Henri Lebesgue (1902, 박사논문 Intégrale, longueur, aire)
발상	정의역이 아니라 치역을 자른다
재료	측도 · 가측함수 · 단순함수
간판 정리	단조수렴 · 파투 · 지배수렴 · 푸비니-토넬리
결과물	Lp 공간의 완비성(리스-피셔)
수치해석에서	약해 · 변분형식 · 수렴 증명이 사는 언어

르베그 적분은 함수의 정의역을 잘게 쪼개는 대신 치역을 잘게 쪼개고, 각 값 구간에 대응하는 정의역 부분집합의 “크기”(측도)를 재서 곱해 더하는 적분이다. 리만 적분이

$$\sum_i f(\xi_i)\,\bigl(x_i - x_{i-1}\bigr)$$

처럼 $x$ 축을 자른다면, 르베그 적분은

$$\sum_k y_k \cdot m\bigl(\{x : y_k \le f(x) < y_{k+1}\}\bigr)$$

처럼 $y$ 축을 자른다. 르베그 본인이 남긴 비유가 유명하다 — 주머니 속 동전을 세는데, 꺼낸 순서대로 액면가를 더해 나가는 것이 리만이고, 먼저 100원짜리끼리 500원짜리끼리 쌓아 놓고 “액면 × 개수”를 더하는 것이 르베그다.¹

이 사소해 보이는 순서 바꾸기가 왜 20세기 해석학 전체를 갈아엎었는가. 답은 극한과 적분을 바꿔치기할 수 있는 조건이 압도적으로 헐거워지기 때문이다. 리만 적분에서 $\int \lim f_n = \lim \int f_n$ 을 보장받으려면 사실상 균등수렴이 필요한데, 실제 수치해석과 확률론에서 나오는 수열은 거의 균등수렴하지 않는다. 르베그 적분은 이 자리를 단조수렴·파투·지배수렴이라는 세 정리로 대체했고, 그 결과 $L^p$ 공간이 완비가 되며, 그 완비성 위에 소볼레프 공간과 유한요소법의 오차 이론이 통째로 얹힌다. 정의는 곁가지고 수렴정리가 본체라고 봐도 된다.

2. 리만이 막히는 지점[편집]

리만 적분이 나쁜 적분이라서 폐기된 것이 아니다. 문제는 리만 적분 가능한 함수들의 모임이 극한에 대해 닫혀 있지 않다는 구조적 결함이다.

가장 유명한 표본이 디리클레 함수다.

$$D(x) = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}$$

$[0,1]$ 위에서 어떤 분할을 잡아도 모든 소구간이 유리수와 무리수를 동시에 품으므로 상합은 항상 1, 하합은 항상 0이다. 리만 적분은 존재하지 않는다. 반면 르베그의 눈으로 보면 $D$ 는 값이 두 개뿐인 단순함수이고, $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ 은 가산집합이라 측도 0이므로

$$\int_0^1 D \,dm = 1 \cdot m(\mathbb{Q}\cap[0,1]) + 0 \cdot m([0,1]\setminus\mathbb{Q}) = 0$$

으로 즉시 끝난다. 더 아픈 것은 $D$ 가 리만 적분 가능한 함수들의 점별 극한이라는 사실이다. 유리수를 $q_1,q_2,\dots$ 로 번호 매기고 $D_n = \mathbf{1}_{\{q_1,\dots,q_n\}}$ 으로 두면 각 $D_n$ 은 유한개 점만 불연속이라 리만 적분 가능($\int D_n = 0$)인데 극한이 리만 밖으로 튀어나간다. 즉 리만 적분 가능 함수의 공간은 극한 연산에 대해 새는 그릇이고, 이 결함은 $L^1$ 노름에서의 완비성 실패로 그대로 이어진다.

3. 측도 → 가측함수 → 단순함수 → 적분[편집]

르베그 적분의 구성은 네 단계로 굳어져 있다. 순서를 지키는 것이 요점이다.

1. 측도. 먼저 “집합의 크기”를 정의한다. $\mathbb{R}^n$ 의 부분집합 $E$ 에 대해 열린 상자로 덮는 외측도

$$m^*(E) = \inf\Bigl\{ \sum_k \operatorname{vol}(R_k) \ :\ E \subset \bigcup_k R_k \Bigr\}$$

를 잡고, 카라테오도리 조건 — 모든 $A$ 에 대해 $m^*(A) = m^*(A\cap E) + m^*(A\cap E^c)$ — 을 만족하는 $E$ 만 “가측”으로 인정한다. 이렇게 살아남은 집합들이 $\sigma$-대수를 이루고 그 위에서 $m^*$ 가 가산가법적 측도가 된다. 모든 집합을 재려는 시도는 선택공리 때문에 실패한다(비탈리 집합).²

2. 가측함수. $f$ 가 가측이라는 것은 모든 $\alpha$ 에 대해 $\{x : f(x) > \alpha\}$ 가 가측집합이라는 뜻이다. 정의부터가 “치역을 자른 뒤 정의역 쪽을 본다”는 발상 그대로다. 연속함수는 물론 가측이고, 가측함수열의 점별 극한·상극한·하극한도 전부 가측이다 — 이 닫힘성이 리만에는 없던 것이다.

3. 단순함수 근사. $f \ge 0$ 가측이면 단순함수(유한개 값만 갖는 가측함수) $s_n$ 의 증가열이 존재해 $s_n \uparrow f$ 로 점별수렴한다. 표준 구성은 치역을 $2^{-n}$ 간격으로 자르는 것이다.

$$s_n(x) = \sum_{k=0}^{n2^n - 1} \frac{k}{2^n}\,\mathbf{1}_{\{k/2^n \,\le\, f \,<\, (k+1)/2^n\}}(x) \;+\; n\,\mathbf{1}_{\{f \ge n\}}(x)$$

4. 적분. 단순함수에 대해서는 $\int \sum_k c_k \mathbf{1}_{E_k} = \sum_k c_k\, m(E_k)$ 로 자명하게 정의하고, 음이 아닌 가측함수에 대해서는

$$\int f \,dm = \sup\Bigl\{ \int s\,dm \ :\ 0 \le s \le f,\ s \text{ 단순} \Bigr\}$$

로, 일반 함수는 $f = f^+ - f^-$ 로 쪼개 $\int f^\pm$ 이 둘 다 유한할 때 $\int f = \int f^+ - \int f^-$ 로 정의한다. 여기서 이미 르베그 적분의 성격이 드러난다 — $f$ 가 적분 가능하다는 것은 곧 $|f|$ 가 적분 가능하다는 것과 같다. 절대적분 가능성이 정의에 내장되어 있고, 이것이 뒤에 나올 리만과의 결정적 차이를 만든다.

이 뼈대는 르베그 측도에만 매인 것이 아니다. $\sigma$-대수와 가산가법 측도만 있으면 그대로 굴러가므로, 확률측도를 넣으면 기댓값 이론이 되고(확률 공간), 정칙성을 요구하면 라돈 측도 위의 적분이 되며, 카운팅 측도를 넣으면 급수가 된다. “적분”과 “기댓값”과 “급수”가 같은 정리 하나로 처리되는 것이 이 추상화의 배당금이다.

4. 언제 리만과 같고, 어디서 갈라지는가[편집]

수치해석 실무자가 실제로 알아야 할 대조표는 이것이다.

상황	리만	르베그
유계 구간 위의 유계함수, 불연속점이 측도 0	적분 가능	같은 값
디리클레 함수	불가능	0
$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx$	이상적분으로 $\pi/2$	적분 불가능
점별수렴하는 함수열의 극한	밖으로 샌다	안에 남는다

첫 줄이 르베그 판정법이다. $[a,b]$ 위의 유계함수 $f$ 가 리만 적분 가능할 필요충분조건은 불연속점의 집합이 르베그 측도 0인 것이고, 이때 두 적분값은 일치한다. 즉 르베그 적분은 리만 적분의 진짜 확장이며, 대학 1학년 때 계산한 적분들은 전부 그대로 살아 있다. 리만 적분 가능성의 정확한 특성화가 르베그 측도로만 서술된다는 것 자체가 이 이론의 필요성을 말해 준다.

세 번째 줄은 반대 방향의 반례라서 꼭 짚어야 한다. $\int_0^\infty \sin x / x\,dx$ 는 이상적분으로는 $\pi/2$ 로 수렴하지만 $\int_0^\infty |\sin x|/x\,dx = \infty$ 이므로 르베그 의미로는 적분 가능하지 않다. 조건수렴하는 급수를 르베그가 못 다루는 것과 같은 사정이며, 절대적분 가능성이 정의에 박혀 있는 대가다. 이런 적분은 이상적분(리만) 또는 코시 주값으로 따로 정의한다. “르베그가 리만을 완전히 포함한다”는 흔한 요약은 유계 구간 위의 고유적분에 한해서만 맞다.

5. 세 수렴정리 — 이 이론의 진짜 상품[편집]

정의를 다 잊어도 이 셋만 남으면 된다. 셋 다 “점별수렴만 가정하고 적분의 수렴을 결론짓는다”는 공통 구조를 갖는다.

단조수렴정리(MCT, 베포 레비). $0 \le f_1 \le f_2 \le \cdots$ 이고 $f_n \to f$ 점별(거의 어디서나)이면

$$\lim_{n\to\infty}\int f_n \,dm = \int f \,dm$$

가정이 “증가한다”뿐이다. 극한이 무한대여도 등식이 성립한다. 급수와 적분의 교환($\int\sum = \sum\int$, 항이 음이 아닐 때)이 여기서 공짜로 나온다.

파투 보조정리. $f_n \ge 0$ 가측이면

$$\int \liminf_{n\to\infty} f_n \,dm \;\le\; \liminf_{n\to\infty} \int f_n \,dm$$

수렴을 아예 가정하지 않는다는 것이 강점이다. 부등식 방향이 말해 주는 바는 질량은 새어 나갈 수는 있어도 갑자기 생겨나지는 않는다는 것이고, 변분문제에서 “최소화 수열의 극한이 진짜 최소를 달성한다”를 보일 때 쓰는 하반연속성이 대개 파투의 변형이다.

지배수렴정리(DCT). $f_n \to f$ 점별이고 모든 $n$ 에 대해 $|f_n| \le g$ 인 적분 가능한 $g$ 가 하나 있으면

$$\lim_{n\to\infty}\int f_n\,dm = \int f\,dm, \qquad \text{나아가}\quad \|f_n - f\|_{L^1} \to 0$$

지배함수 $g$ 가 왜 필요한지는 반례가 즉시 보여 준다. $f_n = n\,\mathbf{1}_{(0,1/n)}$ 은 모든 점에서 0으로 수렴하지만 $\int f_n = 1$ 로 고정이다. 질량 1이 점점 좁고 높은 봉우리에 갇힌 채 원점으로 탈출하는 것이고, 이 탈출을 막는 뚜껑이 $g$ 다. (질량이 탈출하는 대신 디랙 델타로 살아남게 하려면 함수 공간을 떠나 라돈 측도로 가야 한다.)

DCT가 실무에서 어떤 얼굴로 나타나는지 셋만 꼽자.

• 적분기호 아래 미분. $\partial_\theta \int f(x,\theta)\,dx = \int \partial_\theta f(x,\theta)\,dx$ 를 정당화하는 표준 도구가 DCT다. 차분몫을 지배하는 함수를 평균값 정리로 만든 뒤 DCT를 때린다. 형상 민감도, 수반(adjoint) 유도, 우도함수 미분이 전부 이 한 줄에 의존한다.
• 큰 수의 법칙과 몬테카를로 방법. 표본평균이 기댓값으로 간다는 문장 자체가 측도론적 명제이고, 증명의 뼈대에 DCT/파투가 들어간다. 적분 대상이 불연속이어도 몬테카를로가 멀쩡히 수렴하는 근거가 여기다.
• 푸비니-토넬리 정리. 중적분의 순서 교환. 토넬리는 음이 아니면 무조건, 푸비니는 절대적분 가능하면 순서를 바꿔도 된다고 말한다. 커널 적분·합성곱·이중 적분 항의 재배열이 전부 이 정리에 기대고 있으며, 반례(“$\sigma$-유한이 아니면 깨진다”)도 실재한다.

6. L^p 공간과 리스-피셔 — 완비성이라는 배당금[편집]

$1 \le p < \infty$ 에 대해

$$L^p(\Omega) = \Bigl\{ f \ \text{가측} \ :\ \|f\|_{L^p} = \Bigl(\int_\Omega |f|^p\,dm\Bigr)^{1/p} < \infty \Bigr\}$$

를 정의한다(거의 어디서나 같은 함수는 동일시한다). 리스-피셔 정리(1907)가 말하는 것은 딱 한 줄이다.

$L^p$ 는 완비다. 즉 코시 수열이 반드시 $L^p$ 안의 원소로 수렴한다.

원래 형태는 $p=2$ 에 대한 것으로, $L^2$ 가 $\ell^2$ 와 동형인 힐베르트 공간이라는 진술이었다. 리스와 피셔가 각자 독립적으로 같은 해에 발표했고, 이 정리가 사실상 푸리에 변환의 $L^2$ 이론(파세발 등식, 급수의 $L^2$ 수렴)을 가능하게 했다.

완비성이 없으면 무슨 일이 벌어지는지가 중요하다. 리만 적분으로 같은 노름을 정의하면 완비가 아니다 — 코시 수열의 극한이 리만 적분 불가능한 함수로 튀어 나간다. 그 그릇에서는

• 최소화 수열에서 극한을 뽑아 해의 존재를 말할 수 없고,
• 직교사영(최선근사)의 존재가 보장되지 않으며,
• 리스 표현정리도, 락스-밀그램도 성립하지 않는다.

완비성은 그러니까 취향이 아니라 존재 정리의 전제조건이다. $L^2$ 가 완비 내적공간(힐베르트 공간)이라야 그 위에 약도함수를 얹어 $H^1$ 을 만들 수 있고, 그래야 갤러킨 방법이 “부분공간 위의 직교사영”이라는 기하학적 해석을 얻는다. 소볼레프 공간 문서가 ”$L^p$ 가 완비이므로 $W^{k,p}$ 도 완비다”라고 한 줄로 넘어가는 그 한 줄이 여기서 나온다.

덤으로 딸려 오는 것들: 횔더 부등식 $\|fg\|_1 \le \|f\|_p\|g\|_q$, 민코프스키 부등식(삼각부등식), $L^p$ 의 쌍대가 $L^q$ ($1<p<\infty$), 유계 영역에서의 포함관계 $L^q \subset L^p$ ($p<q$), 그리고 젠센 부등식의 적분판. 볼록성과 적분이 만나는 지점의 도구 상자가 전부 이 위에 세워져 있다.

7. 「어차피 구적법 쓰는데 왜 배우나」[편집]

정직하게 인정하고 시작하자. 르베그 적분은 알고리즘이 아니다. 컴퓨터에 실제로 구현되는 것은 수치적분의 구적법이고, 그 구적법은 구조상 리만합의 후손이다. 가우스-르장드르든 롬베르그 적분이든 정의역을 자른다. 르베그의 방식대로 “치역을 자르고 등위집합의 측도를 잰다”를 곧이곧대로 구현하는 수치기법은 사실상 없다.³ 그러면 왜 배우는가. 세 가지다.

1. 근사하려는 대상이 존재한다는 보장. 구적법은 “적분값에 수렴하는 수열”을 만드는 절차인데, 그 적분값이 애초에 정의되지 않으면 절차는 무의미하다. 유한요소법의 오차 $\|u-u_h\|_{L^2}$ 을 재려면 $u$ 가 매끄럽지 않아도 $\int|u-u_h|^2$ 이 의미를 가져야 하고, 물성이 점프하는 복합재나 재진입 모서리를 가진 영역의 참해는 실제로 매끄럽지 않다.

2. 약해와 변분형식의 문법. 약도함수의 정의 $\int u\,D^\alpha\varphi = (-1)^{|\alpha|}\int (D^\alpha u)\varphi$ 는 “거의 어디서나”와 "$L^1_{loc}$" 이라는 르베그의 어휘 없이는 쓸 수조차 없다. 약해가 유일하다는 문장도 “측도 0 집합을 무시하고 유일”이라는 뜻이며, 이 관용구는 르베그 적분 안에서만 말이 된다. 갤러킨 방법의 잔차 직교성 $\int R\,\phi_i = 0$ 도, 유한체적법의 검사체적 적분도 형식은 적분이지만 정당성은 측도론에서 온다.

3. 수렴 증명의 전 과정. 이산해가 참해로 수렴한다는 정리들의 증명은 예외 없이 이렇게 굴러간다 — 이산해열의 유계성을 확보하고, 콤팩트성으로 부분수열을 뽑고, 극한이 약형식을 만족함을 보인다. 이 세 걸음이 각각 노름 추정, 렐리히-콘드라쇼프, 그리고 DCT/파투를 쓴다. 비선형 항의 극한 통과가 필요한 자리에서 지배수렴정리 없이 논증을 끝낼 방법이 없다.

여기에 실무적으로 물리는 함정 하나가 더 있다. $L^2$ 의 원소는 함수가 아니라 거의 어디서나 같은 함수들의 동치류라서, 원칙적으로 “점 $x_0$ 에서의 값”을 물을 수 없다. 그런데 유한요소 코드는 절점값을 아무렇지 않게 읽는다. 이것이 정당한 이유는 이산해가 조각별 다항식이라 연속 대표원이 있기 때문이고, 참해 $u \in H^1$ 의 경계값을 읽는 것이 정당한 이유는 자취 정리라는 별도의 정리가 있기 때문이다. “값을 읽어도 되는가”가 매번 정리를 요구하는 질문이라는 감각이 르베그 적분을 배운 사람과 안 배운 사람을 가른다.⁴

8. 관련 문서[편집]

• 소볼레프 공간 · 푸앵카레 부등식 · 유계 변동 함수
• 라돈 측도 · 측도론 · 확률 공간
• 수치적분 · 롬베르그 적분 · 몬테카를로 방법
• 갤러킨 방법 · 유한요소법 · 유한체적법 · 변분법
• 힐베르트 공간 · 푸리에 변환 · 젠센 부등식
• 중심극한정리 · 이토 적분

9. Footnotes[편집]

1. 르베그가 1926년 편지에서 쓴 비유다. 원문은 채권자에게 돈을 갚는 상인 이야기로, 지폐를 꺼내는 순서대로 세느냐 액면별로 분류해서 세느냐의 차이였다. 액수가 큰 경우 후자가 압도적으로 빠르다는 점까지 비유가 맞아떨어지는데, 실제로 르베그 적분이 “빠른” 것은 계산이 아니라 증명이라는 점만 다르다. ↩

2. 비탈리 집합은 $[0,1]$ 을 유리수 평행이동 관계로 나눈 뒤 각 동치류에서 대표원을 하나씩 고른 것이고, “고른다”에 선택공리가 들어간다. 이 집합에 측도를 매기려 하면 가산가법성과 평행이동 불변성이 정면충돌한다. 여기서 한 발 더 나가면 바나흐-타르스키 역설이 나오고, 반대로 솔로베이는 선택공리를 종속선택으로 약화하면 “모든 집합이 가측”인 모형을 만들 수 있음을 보였다. 즉 비가측 집합은 실수의 성질이라기보다 선택공리의 부작용에 가깝다. ↩

3. 완전히 없지는 않다. 등위집합의 측도를 재는 계산은 레벨셋 기반 부피 계산이나 초과확률 적분 $\int_0^\infty m(\{f>t\})\,dt$ 형태(층 케이크 표현)로 실제로 등장하고, 신뢰성 해석의 파괴확률 추정이 딱 그 모양이다. 다만 이건 르베그 적분을 “구현”한 것이 아니라 르베그식 항등식을 도구로 쓴 것이다. ↩

4. 리만·르베그 말고 세 번째 후보도 있었다. 헨스톡-쿠르츠바일 적분(게이지 적분)은 정의역을 자르되 분할의 조밀도를 위치에 따라 조절해서, 미분 가능한 함수의 도함수를 항상 적분해 원함수를 복원한다(르베그는 이게 안 된다). 조건수렴 적분도 직접 다룬다. 그런데 실무에서 안 쓰는 이유가 명확하다 — 절대적분 가능성이 없어 노름 공간이 안 서고, 추상 측도공간으로 확장되지 않으며, 따라서 $L^p$ 도 확률론도 못 얻는다. 적분의 세계에서도 “정리를 더 많이 낳는 쪽”이 이긴다. ↩