압축성 유동

유체역학 전산유체역학 마지막 수정: 2026-07-05 04:09:31

압축성 유동 Compressible Flow
핵심 무차원수	마하수 $Ma$
지배 방정식	오일러 / 나비에-스토크스 방정식
대표 현상	충격파, 팽창파, 초킹
주요 기법	리만 솔버 (Roe, HLLC)
분야	초음속 항공, 로켓, 터빈

1. 개요[편집]

마하 0.3까지는 공기도 물처럼 굴었는데, 그 위로는 갑자기 성격이 바뀐다.

압축성 유동(compressible flow)은 유체의 밀도 변화가 무시할 수 없을 만큼 커지는 유동으로, 밀도가 압력·온도와 함께 미지수로 움직이는 흐름을 말한다. 저속 유동에서는 밀도를 상수로 놓는 비압축성 가정이 잘 먹히지만, 속도가 음속에 가까워지면 이 가정이 통째로 무너진다. 대략적인 기준은 마하수가 0.3을 넘는지 여부다.¹

압축성이 개입하는 순간 유동에는 저속에서 볼 수 없던 손님들이 등장한다. 충격파(shock wave), 팽창 부채(expansion fan), 초킹(choking) 같은 것들이다. 이들은 하나같이 불연속이거나 급격한 변화를 동반해서, 전산유체역학으로 다룰 때 비압축성과는 완전히 다른 수치 기법을 요구한다. 초음속 항공기, 로켓 노즐, 가스터빈, 재진입체 — 빠른 것들의 유동은 죄다 압축성 문제다.

2. 마하수와 유동 영역[편집]

압축성 유동의 성격을 통보하는 성적표는 마하수 $Ma = u / a$ 다. 여기서 $a$ 는 국소 음속으로, 이상기체에서는 다음과 같다.

a = \sqrt{\gamma R T}

$\gamma$ 는 비열비(공기는 약 1.4), $R$ 은 기체상수, $T$ 는 절대온도다. 음속이 온도의 함수라는 점이 핵심 — 같은 비행기라도 고고도의 찬 공기에서는 음속이 낮아 같은 속도로도 마하수가 높아진다. 마하수에 따라 유동은 대략 이렇게 나뉜다.

영역	마하수 범위	특징
비압축성 근사	$Ma < 0.3$	밀도 변화 1% 이하, 상수로 취급
아음속	$0.3 \sim 0.8$	밀도 변화 유의, 충격파 없음
천음속	$0.8 \sim 1.2$	국소 초음속 + 충격파 공존
초음속	$1.2 \sim 5$	경사·수직 충격파 지배
극초음속	$Ma > 5$	실제기체 효과, 해리·전리

천음속 영역이 특히 악명 높다. 물체 전체는 아음속인데 표면 일부만 국소적으로 초음속이 되어 그 뒤에 충격파가 매달리는 상황이라, 항력이 폭증하는 “음속 장벽”의 정체가 여기 있다.²

3. 오일러 방정식[편집]

압축성 유동의 지배 방정식은 점성을 무시한 오일러(Euler) 방정식이 뼈대다. 질량·운동량·에너지 보존을 보존형(conservative form)으로 묶으면 다음과 같은 쌍곡형 방정식계가 된다.

\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{F}(\mathbf{U})}{\partial x} = 0

여기서 보존 변수 벡터 $\mathbf{U} = [\rho,\ \rho u,\ \rho E]^T$ 이고 $\mathbf{F}$ 는 플럭스 벡터다. 여기에 점성·열전도를 되살리면 압축성 나비에-스토크스 방정식이 된다. 비압축성과 결정적으로 다른 점은, 이 방정식계가 쌍곡형(hyperbolic) 이라 정보가 유한한 속도(특성 속도 $u,\ u \pm a$ )로 전파된다는 것이다. 이 특성 구조가 곧 충격파라는 불연속을 허용하고, 동시에 수치 기법의 방향성(상류화)을 결정한다.

4. 충격파와 랭킨-위고니오[편집]

충격파는 압축성 유동의 시그니처다. 초음속 흐름이 장애물을 만나면 두께가 분자 자유행정 수준(수백 나노미터)에 불과한 얇은 층에서 압력·밀도·온도가 계단처럼 뛴다. 이 불연속 양쪽을 잇는 관계가 랭킨-위고니오(Rankine-Hugoniot) 조건이다. 수직 충격파를 지나면 유동은 반드시 초음속에서 아음속으로 떨어지며( $Ma_1 > 1 \Rightarrow Ma_2 < 1$ ), 엔트로피가 증가한다. 이 엔트로피 조건이 물리적으로 허용되는 충격파와 허용되지 않는 “팽창 충격파”를 걸러내는 심판 역할을 한다.³

수치적으로 충격파가 골치 아픈 이유는 명확하다. 해 자체에 불연속이 존재하니, 매끄러움을 전제로 하는 고차 이산화는 충격파 근처에서 진동(깁스 현상, wiggle)을 일으킨다. 그래서 압축성 CFD는 TVD·WENO 같은 진동 억제 도식과 리만 솔버라는 특수 병기를 동원한다.

5. 리만 솔버 — Roe와 HLLC[편집]

압축성 CFD의 심장은 셀 경계에서의 플럭스 계산이고, 그 표준 도구가 리만 솔버(Riemann solver)다. 유한체적법에서 인접한 두 셀은 각자 다른 상태값을 갖는데, 그 경계에서 벌어지는 국소 불연속 문제(리만 문제)를 풀어 정확한 방향으로 정보를 전달하는 것이 리만 솔버의 임무다.

Roe 솔버 (1981): 비선형 방정식을 국소적으로 선형화한 “Roe 평균” 행렬로 근사해 각 특성파(충격파·접촉 불연속·팽창파)를 분해한다. 정확하고 날카롭지만, 엔트로피 조건을 위반해 비물리적 팽창 충격파를 만드는 고질병이 있어 엔트로피 픽스(entropy fix)를 덧대야 한다.⁴
HLLC 솔버: HLL 솔버에 접촉 불연속(Contact)을 복원한 개량형. Roe만큼 화려하진 않지만 견고(robust)하고 양의 밀도·압력을 잘 보존해서, 강한 충격파나 극초음속처럼 험한 문제에서 실무자들이 더 선호하는 경향이 있다.

둘 중 무엇을 쓰느냐는 결국 “정확도냐 강건성이냐”의 오래된 저울질이다. 문제가 얌전하면 Roe, 격자가 터질 것 같으면 HLLC — 이것이 압축성 하는 사람들의 국룰이다.

6. 압축성 CFD의 현실[편집]

초킹(choking): 수축 노즐의 목에서 마하수가 1에 도달하면, 하류 압력을 아무리 낮춰도 질량유량이 더는 늘지 않는다. 로켓·제트 엔진 설계의 기본 상식이자, 초보자가 “왜 유량이 안 늘죠?”라며 처음 부딪히는 벽이다.
시간 전진의 비용: 압축성 명시적 솔버는 CFL 조건이 음속 기준( $u+a$ )이라 시간 간격이 잘게 쪼개진다. 저마하수에서는 음속이 유속보다 훨씬 커서 강성(stiffness)이 심해지고, 이 때문에 저마하 영역은 오히려 비압축성 솔버로 푸는 게 낫다는 아이러니가 있다.
극초음속에서는 공기가 이상기체이길 포기한다. 산소·질소가 해리·전리되며 화학 반응과 복사 열전달이 개입해, 방정식 자체가 더 무거워진다.

7. 관련 문서[편집]

$Ma = 0.3$ 에서 이상기체의 밀도 변화율은 약 5% 안팎이다. “0.3”이라는 숫자는 밀도 변화 1~2%를 무시 가능으로 볼 것이냐, 5%까지 봐줄 것이냐에 따라 교과서마다 조금씩 다르다. 자연이 그은 선이 아니라 공학자의 타협선이라는 뜻. ↩
2차 대전기 조종사들은 급강하 시 기체가 마구 떨리며 조종면이 먹통이 되는 현상을 겪었는데, 이것이 천음속 충격파에 의한 것임을 당시엔 몰라 “음속 장벽(sound barrier)“이라 불렀다. 벽이 실재하는 줄 알았던 시절이 있었다. ↩
팽창 충격파는 엔트로피를 감소시켜 열역학 제2법칙을 위반한다. 즉 자연은 압축은 계단처럼 하지만, 팽창은 반드시 매끄러운 부채(팽창파)로 한다. 수학적으로는 두 해가 다 나오지만 우주는 하나만 허락한다. ↩
Roe 솔버가 특정 조건(변환점, sonic point)에서 0에 가까운 수치 점성을 갖는 바람에 생기는 문제다. 이론적으로 완벽에 가깝던 솔버가 현실의 노즐 목에서 발산하는 걸 보며 많은 대학원생이 겸손을 배웠다. ↩