응력집중

구조해석 고체역학 마지막 수정: 2026-07-10 06:52:58

응력집중 Stress Concentration
분야	고체역학 / 구조해석
핵심 지표	응력집중계수 $K_t$
고전 이론해	키르쉬 해(무한판 원공)
주요 관심사	피로, 파괴

1. 개요[편집]

응력집중(Stress Concentration)은 구멍·노치·필렛·급격한 단면 변화 같은 기하학적 불연속 주변에서 응력이 국소적으로 크게 치솟는 현상이다. 매끈한 부재라면 하중을 단면 전체가 고르게 나눠 지지하지만, 구멍이나 홈이 있으면 힘의 흐름(load path)이 그 주변으로 몰리면서 국소 응력이 공칭응력의 몇 배까지 뛴다. 이 국소 피크가 피로 해석의 균열 시작점이자 파괴역학의 주무대가 되기 때문에, 설계자에게는 절대 무시할 수 없는 현상이다.¹

핵심 직관은 “힘도 물처럼 흐른다”는 것이다. 응력의 흐름선을 상상하면, 구멍 앞에서 흐름선이 좁은 통로로 억지로 밀려들며 밀도가 높아진다. 강물이 다리 교각 사이에서 빨라지듯, 응력도 장애물 옆에서 국소적으로 진해진다.

2. 응력집중계수 $K_t$ [편집]

응력집중을 정량화하는 지표가 이론 응력집중계수(theoretical stress concentration factor) $K_t$ 다. 정의는 단순하다.

K_t = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\text{nom}}}

여기서 $\sigma_{\max}$ 는 불연속부의 최대 국소 응력, $\sigma_{\text{nom}}$ 은 그 위치의 공칭응력(순단면 기준으로 하중을 면적으로 나눈 값)이다. $K_t$ 는 오직 형상과 하중 유형에만 의존하는 무차원량으로, 재료가 탄성 영역에 있는 한 재료 종류와 무관하다.² 예컨대 $K_t = 3$ 이면 그 지점 응력이 공칭값의 3배라는 뜻.

실무에서는 필렛 반경, 구멍 지름, 노치 깊이 같은 형상 파라미터에 대해 $K_t$ 를 정리한 도표(피터슨의 응력집중계수 도표가 유명)를 참고한다. 요즘은 유한요소법으로 직접 뽑는 경우가 많지만, 설계 초기 감을 잡는 데는 여전히 도표가 빠르다.

3. 키르쉬 해 — 고전 이론해[편집]

응력집중의 교과서적 이론해가 키르쉬 해(Kirsch solution, 1898)다. 무한히 넓은 평판에 반경 $a$ 의 원형 구멍이 있고, 멀리서 균일한 단축 인장 $\sigma$ 가 걸릴 때 구멍 주변 응력장을 극좌표 $(r, \theta)$ 로 정확히 준다. 원주 방향 응력 $\sigma_{\theta\theta}$ 의 표현은 다음과 같다.

\sigma_{\theta\theta} = \frac{\sigma}{2}\left(1 + \frac{a^2}{r^2}\right) - \frac{\sigma}{2}\left(1 + \frac{3a^4}{r^4}\right)\cos 2\theta

여기서 구멍 가장자리( $r = a$ )이면서 하중에 수직인 지점( $\theta = 90°$ )을 대입하면 그 유명한 결과가 나온다.

\sigma_{\theta\theta}\big|_{r=a,\,\theta=90°} = 3\sigma \quad\Rightarrow\quad K_t = 3

즉 무한판 원공의 응력집중계수는 정확히 3이다. 구멍이 아무리 작아도 3배는 확정이라는 게 이 해의 무서운 통찰이다. 크기가 아니라 형상이 문제인 것.³ 반대로 하중과 나란한 지점( $\theta = 0°$ )에서는 $\sigma_{\theta\theta} = -\sigma$ 로 오히려 압축이 걸린다.

4. 형상이 좌우한다 — 뾰족할수록 위험[편집]

원공의 $K_t=3$ 은 그나마 얌전한 축에 속한다. 구멍이 타원으로 길쭉해지면 상황은 급격히 나빠진다. 장반경 $a$ , 단반경 $b$ 인 타원공에서 장축 끝의 응력집중계수는

K_t = 1 + 2\frac{a}{b} = 1 + 2\sqrt{\frac{a}{\rho}}

으로, 곡률반경 $\rho = b^2/a$ 가 작아질수록(끝이 뾰족할수록) $K_t$ 가 무한정 커진다. 극한으로 $\rho \to 0$ 이면 이건 사실상 균열이고, $K_t$ 가 발산하면서 파괴역학의 응력확대계수 $K$ 개념으로 넘어가야 한다. 설계에서 “날카로운 모서리를 피하고 필렛(둥근 모서리)을 넉넉히 주라”는 철칙이 여기서 나온다.⁴

5. 피로와의 관계[편집]

응력집중이 정말 무서운 이유는 정적 파손보다 피로 해석 때문이다. 반복 하중을 받는 부재에서 균열은 거의 항상 응력집중부에서 시작한다. 다만 피로에서는 $K_t$ 를 그대로 쓰지 않고, 재료의 노치 민감도(notch sensitivity) $q$ 를 반영한 피로 노치계수 $K_f$ 를 쓴다.

K_f = 1 + q(K_t - 1), \qquad 0 \le q \le 1

연성 재료는 국소 항복으로 응력 피크가 완화되어 $q$ 가 낮고( $K_f < K_t$ ), 취성 재료나 고강도 재료는 $q$ 가 1에 가까워 $K_t$ 를 거의 그대로 받는다. 그래서 고강도 강일수록 노치에 예민하다는 역설이 생긴다. 자세한 건 피로 해석 참고.

6. 유한요소 해석에서의 함정[편집]

실무에서는 $K_t$ 를 유한요소법으로 뽑는데, 여기엔 초심자를 잡는 함정이 하나 있다. 응력이 급변하는 노치 끝에서는 격자를 충분히 조밀하게 만들지 않으면 최대 응력이 과소평가된다. 요소가 크면 피크를 놓치고, 이론적으로 특이점(sharp corner)에서는 격자를 줄일수록 응력이 발산해 수렴하지 않는다.

그래서 실무 지침은 이렇다.

노치·필렛부는 국소적으로 격자를 조밀화하고, 곡률을 따라 여러 층의 요소를 배치한다.
응력과 변형률 값이 격자를 줄여도 수렴하는지 격자 수렴성을 반드시 확인한다. 안 하면 격자가 결과를 지어낸다.
응력 평가는 보통 폰 미제스 응력 같은 등가응력으로 하되, 응력 특이점이 의심되면 값 자체보다 수렴 경향을 본다.

날카로운 내부 모서리에서 응력이 발산하는 건 물리가 아니라 모델링의 이상화 탓이다. 현실의 모서리엔 항상 유한한 필렛 반경이 있고, 그걸 모델에 반영하는 순간 응력은 얌전히 수렴한다.

7. 관련 문서[편집]

실제 구조물 파손의 상당수가 볼트 구멍, 용접 토우, 키홈 같은 응력집중부에서 시작한다. “약한 고리”라는 표현이 여기만큼 문자 그대로인 곳도 드물다. 항공기 정비에서 리벳 구멍 주변을 강박적으로 검사하는 이유도 이것. ↩
여기엔 중요한 단서가 붙는다. $K_t$ 가 재료 무관인 것은 재료가 선형 탄성 영역에 있을 때뿐이다. 국소 응력이 항복을 넘겨 소성이 개입하면, 재료가 국소적으로 늘어나 응력 피크가 재분배되고 실제 집중은 $K_t$ 보다 낮아진다. 연성 재료의 자기치유 능력이다. ↩
이 “크기 무관, 형상 의존”이라는 사실은 학부생을 매번 놀라게 한다. 지름 1mm 구멍이든 1m 구멍이든 무한판이라면 $K_t=3$ 으로 똑같다. 물론 유한한 판에서는 구멍이 판 폭에 비해 커지면 보정계수가 붙는다. ↩
자연은 이걸 오래전부터 알고 있었다. 나뭇가지가 줄기에 붙는 부위, 뼈의 관절 연결부는 모두 매끄러운 필렛 형태다. 진화가 유한요소 해석 없이도 응력집중을 회피하도록 설계한 셈. 반면 인간이 만든 정사각 창문의 날카로운 모서리는 여객선 리버티호를 반토막 낸 전과가 있다. ↩