이토 적분

1. 개요

이토 적분 Itô Integral
고안	이토 기요시 (伊藤清, 1944)
평가점	구간 왼쪽 끝점 (비예견적)
핵심 성질	마팅게일, 이토 등거리
미분 규칙	이토 보조정리 ((dW)² = dt)
경쟁 정의	스트라토노비치 적분 (중점 평가)

리만 적분은 직사각형을 어디서 재든 답이 같다. 브라운 운동 위에서는 어디서 재느냐가 답을 바꾼다. 그래서 미적분학이 두 개가 됐다.

이토 적분(Itô integral)은 브라운 운동 같은 마팅게일에 대한 확률적분 $\int_0^T H_s\,dW_s$ 을, 각 소구간의 왼쪽 끝점에서 피적분함수를 평가한 리만 합의 $L^2$ 극한으로 정의한 것이다. 1944년 이토 기요시가 세운 이 정의는 확률미분방정식이라는 개념 자체를 성립시켰고, 오늘날 금융공학·통계물리·필터링 이론의 공용어가 되었다.

이 문서는 왜 통상적인 적분으로는 안 되는가, 왼쪽 끝점이 왜 특별한가, 그리고 스트라토노비치와 무엇이 다른가에 집중한다. 브라운 운동 자체의 물리와 통계는 브라운 운동이, 관성이 있는 물리 모형과 그 적분기는 랑주뱅 동역학이, 수치 도식과 수렴 차수는 확률미분방정식이 맡는다.

2. 왜 리만-스틸티어스로는 안 되는가

$\int H\,dW$ 를 경로별로 리만-스틸티어스 적분처럼 정의하려면 적분자 $W$ 가 유계변동(bounded variation)이어야 한다. 그런데 브라운 운동은 거의 확실히 어떤 구간에서도 총변동이 무한대다. 대신 이차변동이 살아 있어서, 구간 $[0,t]$ 의 분할을 잘게 할 때

$$\sum_i \left(W_{t_{i+1}} - W_{t_i}\right)^2 \longrightarrow t$$

로 수렴한다. 일반적인 매끄러운 함수라면 이 값이 0으로 사라져야 하는데, 브라운 운동은 사라지지 않고 $t$ 를 남긴다. 이 “남는 $t$“가 뒤에 나올 $(dW)^2 = dt$ 의 정체이며, 동시에 경로별 정의를 망가뜨리는 주범이다.

망가진다는 것을 가장 선명하게 보여 주는 계산이 $\int_0^T W\,dW$ 다. 각 소구간에서 평가점을 $t_i^{*} = t_i + \lambda(t_{i+1}-t_i)$ 로 잡으면 리만 합의 극한은

$$\tfrac{1}{2}W_T^2 + \left(\lambda - \tfrac{1}{2}\right)T$$

가 된다. 평가점 위치 $\lambda$ 가 답에 그대로 남는다. 유계변동 적분자에서라면 $\lambda$ 는 극한에서 사라져야 하는 무의미한 선택인데, 여기서는 아니다. 그래서 “확률적분”은 하나가 아니라, 어떤 $\lambda$ 를 규약으로 삼느냐에 따라 서로 다른 적분이 된다. $\lambda = 0$ 이 이토, $\lambda = 1/2$ 이 스트라토노비치다.

3. 왼쪽 끝점, 비예견성, 마팅게일

이토가 $\lambda = 0$ 을 고른 것은 계산 편의가 아니라 확률론적 의미 때문이다. 왼쪽 끝점에서 평가하면 피적분함수 $H_{t_i}$ 가 그 시각까지의 정보(여과 $\mathcal{F}_{t_i}$)만으로 결정되는 반면, 곱해지는 증분 $W_{t_{i+1}} - W_{t_i}$ 는 그 정보와 독립이고 평균이 0이다. 즉 각 항의 조건부 기댓값이 0이라서, 적분 전체가 마팅게일이 된다.

$$\mathbb{E}\left[\int_0^t H_s\,dW_s \;\middle|\; \mathcal{F}_s\right] = \int_0^s H_u\,dW_u$$

직관적으로는 “미래를 보지 않는다”는 성질이다. 도박 전략으로 비유하면, 다음 판 결과를 본 뒤 베팅액을 정하는 것이 아니라 결과를 보기 전에 정해야 한다는 규칙이다. 스트라토노비치처럼 중점을 쓰면 $H$ 가 증분과 상관을 갖게 되어 이 성질이 깨진다.

마팅게일성과 한 세트로 따라오는 것이 이토 등거리(Itô isometry)다.

$$\mathbb{E}\left[\left(\int_0^T H_s\,dW_s\right)^{\!2}\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^T H_s^2\,ds\right]$$

확률적분의 분산을 평범한 시간 적분으로 바꿔 주는 이 등식이 실무에서 하는 일은 명확하다. 확률적분의 이차 적률을 손으로 계산할 수 있게 해 주고, 몬테카를로 방법으로 얻은 추정량의 분산에 대한 해석적 기준선을 준다. 이론적으로는 단순 예측가능 과정에서 일반 과정으로 적분을 확장하는 완비성 논증의 엔진이기도 하다.

4. 이토 보조정리

이토 적분이 진짜 강력해지는 지점은 연쇄법칙이다. $dX = a\,dt + b\,dW$ 이고 $f(x,t)$ 가 충분히 매끄러우면

$$df = \left(f_t + a f_x + \tfrac{1}{2}b^2 f_{xx}\right)dt + b f_x\,dW$$

이며, 이것이 이토 보조정리(Itô’s lemma)다. 결정론적 연쇄법칙과 비교하면 $\tfrac12 b^2 f_{xx}$ 라는 항이 하나 더 있다. 유도는 테일러 급수 2차까지 전개한 뒤 $(dW)^2 = dt$, $dt\,dW = 0$, $(dt)^2 = 0$ 을 대입하면 끝인데, $(dW)^2$ 가 $dt$ 와 같은 차수로 살아남는 것이 앞 절의 이차변동 이야기 그대로다. 잡음이 있으면 2차 항을 버릴 수 없다 — 이토 미적분의 한 줄 요약이다.¹

가장 유명한 응용이 기하 브라운 운동 $dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$ 다. $f = \ln S$ 에 보조정리를 적용하면 $d(\ln S) = (\mu - \tfrac12\sigma^2)dt + \sigma\,dW$ 이므로

$$S_t = S_0 \exp\!\left[\left(\mu - \tfrac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t\right]$$

가 나온다. 지수 안의 $-\sigma^2/2$ 는 손으로 상미분방정식처럼 풀면 절대 나오지 않는 항이고, 정확히 이토 보정항이다. 이것 때문에 $\mathbb{E}[S_t] = S_0 e^{\mu t}$ 이면서도 중앙값과 거의 확실한 장기 성장률은 $\mu - \sigma^2/2$ 로 낮아진다. 변동성이 기대수익을 갉아먹는다는 유명한 현상이 수식 한 줄에 들어 있는 셈.

5. 스트라토노비치와의 관계

$\lambda = 1/2$ 인 스트라토노비치 적분($\circ\,dW$ 로 표기)은 마팅게일성을 포기하는 대신 보통의 연쇄법칙을 그대로 돌려받는다. 즉 $df(X) = f'(X)\circ dX$ 로 끝이다. 두 적분의 변환 관계는

$$\int_0^T b(X_s)\circ dW_s = \int_0^T b(X_s)\,dW_s + \frac{1}{2}\int_0^T b(X_s)b'(X_s)\,ds$$

이며, 곧 이토 SDE $dX = a\,dt + b\,dW$ 는 스트라토노비치 SDE $dX = (a - \tfrac12 bb')dt + b\circ dW$ 와 같은 해를 준다. 드리프트 보정 $\tfrac12 bb'$ 이 두 세계를 잇는 유일한 다리다. 잡음이 가법적($b$ 가 상수)이면 $b' = 0$ 이라 두 적분이 일치한다.

여기서 반드시 짚어야 할 것: 둘 중 무엇을 쓸지는 수학이 아니라 모형화 문제다. 같은 기호로 쓰인 SDE라도 어느 규약인지 명시하지 않으면 방정식이 미완성이며, 답이 실제로 달라진다.² 관례적으로는

• 이토 — 금융과 필터링. 비예견성이 “내부 정보 없음”과 정확히 대응하고, 마팅게일 구조가 가격결정·칼만 필터 계열 추정 이론의 뼈대다.
• 스트라토노비치 — 물리와 기하. 좌표 변환에 대해 공변이라 다양체 위에서 자연스럽고, 무엇보다 웡-자카이(Wong–Zakai) 정리가 있다. 유한한 상관시간을 갖는 매끄러운 유색잡음으로 구동되는 ODE에서 상관시간을 0으로 보내면, 극한은 이토가 아니라 스트라토노비치 해로 간다. 물리적 잡음을 백색으로 이상화한 모형이라면 스트라토노비치가 기본값이라는 뜻이다.

6. 수치해석에서의 함의

이 구분은 코드에서도 그대로 나타난다. 이산화 도식이 확산 계수를 어디서 평가하느냐가 곧 규약 선택이다. 왼쪽 끝점에서 평가하는 오일러-마루야마는 이토 해로, 중점이나 예측-수정 형태로 평가하는 도식은 스트라토노비치 해로 수렴한다. 물리 코드에서 “안정성을 위해” 중점 평가로 바꿨더니 정상상태 분포가 미묘하게 달라지는 사건은 이 메커니즘으로 설명된다 — 버그가 아니라 방정식이 바뀐 것이다.³

또한 밀슈타인 도식의 보정항 $\tfrac12 bb'[(\Delta W)^2 - \Delta t]$ 는 이토-테일러 전개의 이중 확률적분을 되살린 것이고, 스트라토노비치 형식으로 쓰면 그 도식이 오히려 더 단순해진다. 곱셈 잡음을 다루는 확률적 룽게-쿠타 계열이 대체로 스트라토노비치 형식에서 설계되는 이유도 같다. 자세한 차수 논의는 확률미분방정식 문서에 있다.

7. 관련 문서

• 브라운 운동
• 확률미분방정식
• 랑주뱅 동역학
• 수치적분
• 테일러 급수
• 몬테카를로 방법
• 허스트 지수
• 칼만 필터
• 편미분방정식
• 스트라토노비치 적분
• 마팅게일
• 이차변동

8. Footnotes

1. 처음 배울 때 ”$dW$ 는 $\sqrt{dt}$ 크기다”라는 한마디만 새겨도 절반은 이해한 것이다. 나머지 절반은 그걸 잊었다가 계산에서 항 하나를 날려 먹으면서 배운다. ↩

2. 논문 방법론에 “Langevin equation was integrated”만 써 놓고 규약을 안 밝히는 사례가 아직도 있다. 곱셈 잡음이 있다면 그 논문은 재현 불가능하다. ↩

3. 반대로 가법 잡음만 쓰는 코드라면 이 논쟁은 애초에 발생하지 않는다. 규약 논쟁이 안 보이는 분야는 대개 잡음이 가법적인 분야다. ↩