인공점성

1. 개요

인공점성 Artificial Viscosity
고안	존 폰 노이만 · 로버트 리히트마이어 (1950)
목적	충격파를 격자 몇 칸 폭의 매끄러운 천이층으로 펴서 포착
형태	압축 시에만 켜지는 점성 압력 q (2차항 + 선형항)
주 무대	라그랑주 하이드로코드, SPH, 고차 FEM/DG의 충격 포착
알려진 부작용	벽 가열, 전단 유동의 과도 소산, 계수 튜닝

충격파는 두께가 분자 평균 자유 경로 몇 개다. 격자로는 절대 못 푼다. 그러니 일부러 두껍게 만들어 버리자.

인공점성(人工粘性, artificial viscosity)은 압축성 유동의 충격파를 수치적으로 포착하기 위해, 실제 유체 점성과 무관하게 압축되는 곳에서만 작동하는 가상의 점성 압력을 운동량·에너지 방정식에 더하는 기법이다. 충격을 격자 몇 칸 폭의 매끄러운 천이층으로 펴서, 불연속을 직접 다루지 않고도 충격 전후 상태와 충격 속도를 올바르게 얻는다. 1950년 존 폰 노이만과 로버트 리히트마이어가 로스앨러모스의 하이드로코드 계산을 위해 고안했고, 지금도 라그랑주 충격 코드와 SPH의 기본 장치다.

수치확산 문서는 “도식이 의도치 않게 만드는 확산”을 다루며 인공점성을 그 반대편(일부러 넣는 확산)으로 짧게 언급한다. 하이드로코드·SPH 문서도 각자 한 절씩 소개한다. 이 문서는 인공점성을 주인공으로 놓고 왜 충격 관계가 맞게 나오는지, 2차항과 선형항이 각자 무엇을 하는지, 다차원과 입자법에서 무엇이 달라지는지를 판다.

2. 원리 — 점성이 충격을 펴는 이유

실제 기체에서도 충격파는 수학적 불연속이 아니라 점성과 열전도가 만드는 아주 얇은 천이층이다. 나비에-스토크스 방정식으로 풀면 그 두께는 대략 평균 자유 경로 몇 개 수준이다. 비점성 오일러 방정식 (비점성 유동)은 이 두께를 0으로 보내 불연속을 만들고, 격자 기반 도식은 0 두께를 표현할 수 없어 깁스 현상식 진동을 낸다.

폰 노이만–리히트마이어의 착상은 점성을 키워 천이층 두께를 격자 간격 수준까지 늘리는 것이다. 핵심은 이것이 충격 전후 관계를 망치지 않는다는 점이다. 랭킨-위고니오 조건은 질량·운동량·에너지 보존에서만 나오고 천이층 내부의 소산 메커니즘에 무관하다. 그래서 점성이 무엇이든 보존형으로 넣기만 하면 충격 전후 상태와 속도는 정확하고, 천이층 내부 모양만 인공적이다. 또 점성은 엔트로피를 생성하는 방향으로만 작동하므로, 팽창 충격 같은 비물리적 해를 걸러내는 엔트로피 조건도 자연스럽게 만족한다. 점성해 개념이 정확히 이 논리를 수학적으로 정식화한 것이다.

3. 폰 노이만–리히트마이어 q와 선형항

1차원 라그랑주 형태에서 압력 $p$ 를 $p + q$ 로 바꾼다. 원래 제안은 속도 기울기의 제곱에 비례하는 2차 인공점성이다.

$$q = \begin{cases} c_2\,\rho\,(\Delta x)^2 \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 & \dfrac{\partial u}{\partial x} < 0 \ (\text{압축}) \\[2mm] 0 & \text{팽창} \end{cases}$$

이산화하면 $(\Delta x\,\partial u/\partial x)^2$ 는 셀 양끝의 속도 차 $(\Delta u)^2$ 가 된다. 이 형태의 장점이 셋이다.

• 충격 폭이 강도와 무관하다. 정상 충격 프로파일을 풀어 보면 천이층이 격자 칸 수로 일정한 폭을 갖는다. 약한 충격도 강한 충격도 같은 칸 수에 펴진다.
• 매끄러운 영역에서는 고차 무한소다. $(\Delta u)^2 = O(\Delta x^2)$ 이므로 매끄러운 압축에서는 $q = O(\Delta x^2)$ 로 사라진다.
• 팽창에서는 꺼진다. 희박파를 쓸데없이 뭉개지 않는다.

약점은 충격 바로 뒤의 진동이다. 2차항은 속도 기울기가 작아지면 급격히 약해져 충격 뒤에 남는 작은 진동을 잘 못 죽인다. 그래서 1955년 란즈호프가 음속 $c_s$ 에 비례하는 선형항을 더했다.

$$q = \rho\left[c_2\,(\Delta u)^2 + c_1\,c_s\,\lvert\Delta u\rvert\right], \qquad \Delta u < 0.$$

선형항은 충격 뒤 진동을 감쇠시키지만 매끄러운 영역에서도 $O(\Delta x)$ 로 남아 정확도를 1차로 낮춘다. 그래서 $c_1$ 은 대개 $c_2$ 보다 훨씬 작게 잡는다. 이 두 항짜리 형태가 이후 반세기 동안 라그랑주 하이드로코드의 국룰이 됐다.¹

인공점성은 시간 간격도 제한한다. $q$ 가 사실상 확산 항이라 CFL 조건에 음속 대신 $c_s$ 와 $q$ 가 만드는 유효 신호 속도의 합이 들어간다. 계수를 크게 잡을수록 시간 간격이 줄어든다.

4. 검산 — 소드 충격파관에서 계수 돌려 보기

1차원 라그랑주 엇갈림 격자 코드(속도는 절점, 밀도·내부에너지는 셀)로 충격파관의 소드 문제($\rho_L = 1, p_L = 1$ / $\rho_R = 0.125, p_R = 0.1$, $\gamma = 1.4$, $t = 0.2$)를 400셀로 풀고 충격 뒤 평탄 구간을 봤다. 정확해의 충격 뒤 밀도는 0.26557, 압력은 0.30313이다.

$c_2$	$c_1$	평탄부 밀도 (평균 ± 표준편차)	최대 밀도	평탄부 압력
0	0	음의 내부에너지로 붕괴	—	—
0.25	0	0.2758 ± 0.0072	0.3076	0.2968
1.0	0	0.2673 ± 0.0017	0.2699	0.3024
2.0	0	0.2666 ± 0.0007	0.2698	0.3026
1.0	0.3	0.2665 ± 0.0001	0.2673	0.3027

인공점성이 없으면 충격에서 운동에너지가 열로 바뀔 통로가 없어 계산이 몇 스텝 만에 터졌다. $c_2 = 0.25$ 는 너무 약해서 16% 오버슈트와 큰 진동이 남았다. $c_2$ 를 키우면 진동이 줄고, 선형항을 더하면 표준편차가 0.0001까지 떨어져 란즈호프 항의 존재 이유가 그대로 보인다. 평탄부 밀도가 정확해보다 0.3~0.4% 높은 건 1차 정확도 에너지 갱신과 초기 불연속의 시동 오차 탓이다.

충격 폭도 쟀다. 밀도가 10%에서 90%로 오르는 구간의 셀 수는 200·400·800셀 모두 2~4칸으로, 격자를 세분해도 칸 수는 그대로였다. 물리적 폭은 $\Delta x$ 에 비례해 줄어든다는 뜻이고, 이론이 말한 “격자 몇 칸에 고정된 충격 폭”이 그대로 재현됐다.

5. 다차원과 입자법

다차원 라그랑주. 1차원 공식을 셀 부피 변화율 $\nabla\cdot\mathbf u$ 로 그대로 옮기면 두 문제가 생긴다. 회전·전단처럼 압축이 아닌 운동에도 반응해 전단 유동을 과도하게 소산시키고, 격자 방향에 따라 충격 반응이 달라진다. 윌킨스(1980)는 방향 정보를 넣은 판을, 카라마나·샤시코프·웨일런(1998)은 셀의 각 변(edge)마다 속도 차를 따로 보는 변 인공점성과 텐서형 공식을 제안해 이 문제를 크게 줄였다.

SPH. 몬해건·깅골드(1983) 이후 입자쌍 $(i, j)$ 사이에 다가오는 경우에만 작용하는 점성 항이 표준이다.²

$$\Pi_{ij} = \frac{-\alpha\,\bar c_{ij}\,\mu_{ij} + \beta\,\mu_{ij}^2}{\bar\rho_{ij}}, \qquad \mu_{ij} = \frac{h\,\mathbf v_{ij}\cdot\mathbf r_{ij}}{r_{ij}^2 + 0.01h^2} \quad (\mathbf v_{ij}\cdot\mathbf r_{ij} < 0).$$

$\alpha$ 가 선형항, $\beta$ 가 2차항이다. 구조가 폰 노이만–리히트마이어+란즈호프와 똑같다. 흔한 기본값은 $\alpha = 1$, $\beta = 2$ 이다. 전단 유동에서 과소산이 심해 회전 성분을 감지해 끄는 발사라 스위치(1995), 시간에 따라 $\alpha$ 를 입자별로 바꾸는 모리스·몬해건(1997) 방식이 뒤따랐다.

고차 FEM·DG. 불연속 갤러킨법이나 스펙트럴 요소법은 제한자를 걸기 까다로워서, 충격을 감지한 요소에만 인공점성을 켜는 방식이 쓰인다. 해의 고차 모드 에너지로 충격을 감지하는 페르손·페레르(2006)의 부요소 충격 포착, 엔트로피 잔차에 비례하는 점성을 넣는 게르몽 등(2011)의 엔트로피 점성이 대표적이다. 매끄러운 곳에서는 거의 0이 되도록 설계해 고차 정확도를 지킨다는 점에서, 폰 노이만–리히트마이어의 원래 철학을 그대로 잇는다.

6. 부작용 — 벽 가열과 튜닝 지옥

벽 가열(wall heating). 노(1987)는 기체가 벽에 충돌해 반사 충격이 생기는 문제에서, 인공점성이 벽 근처 셀에 엔트로피를 과도하게 쌓아 밀도는 너무 낮고 온도는 너무 높게 나온다는 것을 보였다.³ 원인은 충격이 처음 생길 때 천이층이 형성되는 과정의 오차가 벽 셀에 갇혀 사라지지 않기 때문이다. 노는 인공 열전도를 함께 넣어 이 엔트로피를 퍼뜨리는 처방을 냈다. 지금도 노 문제는 충격 코드의 표준 스트레스 테스트다.

계수 튜닝. $c_2$, $c_1$ 은 문제마다 최적값이 다르다. 작으면 진동, 크면 충격이 뭉개지고 시간 간격이 줄어든다. 위 검산에서도 $c_2 = 0.25$ 와 $2.0$ 이 전혀 다른 그림을 보였다. 그래서 현대 유한체적 코드는 대부분 인공점성 대신 리만 솔버와 전변분 감소·MUSCL·조각포물선법 같은 비선형 제한 재구성으로 같은 일을 한다. 리만 솔버의 상류 차분 자체가 “필요한 만큼만 자동으로 넣는 인공점성”으로 해석될 수 있다는 점에서, 두 계보는 생각보다 가깝다.

7. 관련 문서

• 충격파 · 충격파관 · 랭킨-위고니오 조건 · 엔트로피 조건
• 하이드로코드 · SPH · LS-DYNA · 불연속 갤러킨법
• 수치확산 · 수치 소산과 분산 · 점성해 · 버거스 방정식
• 리만 솔버 · 고두노프 도식 · 조각포물선법 · 노 문제

8. Footnotes

1. 이름 표기가 제각각이다. 리히트마이어(Richtmyer)는 리흐트마이어·릭트마이어로도 적히고, 란즈호프(Landshoff)의 선형항 보고서는 로스앨러모스 내부 보고서라 원문을 본 사람이 드물다. 인용은 많은데 원문 열람률은 낮은, 이 바닥 흔한 고전이다. ↩

2. SPH 사람들은 이걸 “인공점성”이라 부르지만 실제로는 압력 항에 더해지는 쌍 힘이라, 유한체적 사람과 대화하면 같은 단어로 다른 걸 가리키다 서로 킹받는 일이 생긴다. ↩

3. 노 문제는 원점(벽)으로 일정 속도로 몰려드는 차가운 기체가 반사 충격을 만드는 단순한 설정이라 정확해가 해석적으로 나오는데도, 거의 모든 코드가 원점 근처 밀도를 틀린다. 쉬워 보이는데 다 틀리는 시험 문제의 정석이다. ↩