지도 투영

수치해석 컴퓨터 그래픽스 계산물리 마지막 수정: 2026-09-04 04:49:41

1. 개요[편집]

지도 투영 Map projection
정의	구면·타원체면 → 평면의 사상
불가능성의 근거	가우스의 뛰어난 정리 (1827)
왜곡 측정	티소 지시원 — 주 스케일 인자 $a, b$
세 가족	등각 · 등적 · 절충
웹 표준	EPSG:3857 (웹 메르카토르)
실무 사고 1위	좌표계·datum 혼동

모든 지도는 거짓말이다. 다만 어떤 지도는 자기가 무슨 거짓말을 하는지 정확히 알고 있다.

지도 투영(map projection)은 구 또는 회전타원체 위의 점을 평면 좌표로 보내는 사상이며, 그 사상이 거리·각도·면적을 동시에 보존하는 것은 원리적으로 불가능하다는 것이 이 주제의 전부이자 시작이다. 이름은 “투영”이지만 대부분의 투영은 광선을 쏘는 기하학적 사영이 아니라, 원하는 보존 성질에서 역산해 얻은 해석적 공식이다.

이 불가능성은 취향이나 기술의 문제가 아니라 미분기하의 정리다. 그래서 실무의 질문은 언제나 “왜곡 없는 지도를 어떻게 만드나”가 아니라 **“어떤 왜곡을 감수할 것인가”**이며, 이 문서는 그 선택지의 구조를 정리한다.

2. 왜 완벽한 지도가 없는가 — 뛰어난 정리[편집]

곡면 위에서 길이와 각도만으로 측정 가능한 양을 내재적(intrinsic)이라 부른다. 두 곡면 사이의 사상이 모든 곡선의 길이를 보존하면 등거리사상(isometry)이고, 등거리사상은 정의상 제1기본형식(계량)을 보존한다.

가우스의 뛰어난 정리(theorema egregium, 1827)가 여기에 결정타를 놓는다 — 가우스 곡률 $K$ 는 제1기본형식과 그 도함수만으로 계산된다. 곡률은 곡면이 3차원 공간에 어떻게 놓였는지가 아니라 곡면 자체의 성질이라는 뜻이고, 따라서 등거리사상은 $K$ 를 보존한다.

이제 산수는 두 줄로 끝난다.

K_{\text{구}} = \frac{1}{R^2} > 0, \qquad K_{\text{평면}} = 0

곡률이 다르므로 구면의 어떤 조각도 평면으로 등거리사상될 수 없다. 아무리 작은 영역이라도 그렇다. 판금 전개도나 종이 접기가 되는 곡면( $K = 0$ 인 전개 가능 곡면 — 원기둥, 원뿔)과 구가 갈리는 지점이 정확히 여기다.¹

여담이지만 이 논증은 “원통 도법은 종이를 원통으로 말아 붙인 것”이라는 흔한 설명이 왜 반쯤만 맞는지도 설명한다. 원통과 원뿔은 실제로 평면으로 펼 수 있지만, 구에서 원통으로 가는 단계에서 이미 왜곡이 다 발생하고, 게다가 메르카토르 도법은 어떤 광원을 놓아도 얻어지지 않는 순수 해석적 공식이다.

3. 왜곡을 재는 법 — 티소 지시원[편집]

정성적인 “왜곡이 있다”로는 설계를 못 한다. 티소(1881)의 처방은 미분이다. 투영을 국소적으로 선형화하면 사상의 야코비 행렬이 나오고, 곡면 위의 무한소 원이 평면 위의 타원으로 간다. 이 타원이 티소 지시원(Tissot’s indicatrix)이고, 그 반축 $a \ge b$ 가 야코비 행렬의 특이값 — 즉 주 스케일 인자다.

실무에서는 방향을 지정한 스케일 인자를 함께 쓴다. $h$ 는 자오선 방향, $k$ 는 위선(평행권) 방향의 국소 스케일이고, 투영된 자오선과 위선이 이루는 각을 $\theta'$ 라 하면 세 가지 왜곡량이 전부 여기서 나온다.

\text{면적비} \; s = ab = hk\sin\theta', \qquad \sin\frac{\omega}{2} = \frac{a - b}{a + b}

$\omega$ 는 그 점에서 발생 가능한 최대 각 왜곡이다. 이 두 식이 투영 분류를 곧바로 정의한다.

등각(conformal): 모든 점에서 $a = b$ . 지시원이 원이므로 각이 보존되고 $\omega = 0$ . 대신 그 원의 크기가 위치마다 달라져 면적이 망가진다.
등적(equal-area): 모든 점에서 $ab = 1$ . 지시원의 면적이 일정하다. 대신 납작해지므로 각이 망가진다.
등거리(equidistant): 전역적으로는 불가능하다. 이 말이 붙은 도법들은 특정한 선 집합(중심점에서 뻗은 방사선, 또는 자오선)에 한해서만 스케일이 1이다.

그리고 두 조건이 동시에 성립할 수 없다는 것이 한 줄로 나온다. $a = b$ 이고 $ab = 1$ 이면 $a = b = 1$ 이고, 이는 지시원이 어디서나 단위원이라는 뜻 — 즉 등거리사상이다. 뛰어난 정리가 그것을 금지했다. 등각이면서 등적인 지도는 존재하지 않는다.

4. 세 가족[편집]

4.1. 등각 — 각을 지킨다[편집]

각도를 지키므로 국소적인 모양이 살아 있고, 방위 측정과 대축척 측량에 쓰인다. 복소해석의 등각사상과 같은 대상이며, 실제로 이 계열의 공식들은 복소함수로 훨씬 깔끔하게 적힌다.

메르카토르 도법(1569)의 설계 논리는 목적이 먼저다. 항해자는 나침반 방위를 일정하게 유지하는 항정선(rhumb line)이 지도에서 직선이길 원했다. 그러려면 모든 점에서 각이 보존돼야 하고( $h = k$ ), 원통 도법에서 위선 방향 스케일은 위도 $\varphi$ 에서 $k = \sec\varphi$ 로 강제되므로 자오선 방향도 같아야 한다. $dy/d\varphi = R\sec\varphi$ 를 적분하면

x = R\lambda, \qquad y = R\ln\tan\!\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2}\right)

가 나온다. 면적 왜곡은 $\sec^2\varphi$ 로 커져 극에서 발산하고, 그래서 그린란드가 아프리카만 해 보인다. 항해용 도구를 세계지도로 쓴 것이 문제였지 도법이 틀린 게 아니다.

횡축 메르카토르는 원통을 90° 돌려 자오선에 접하게 한 것으로, 남북으로 긴 좁은 띠에서 왜곡이 극히 작다. UTM은 이를 경도 6° 폭의 60개 존으로 잘라 표준화하고 중앙자오선 축척계수를 0.9996으로 잡아 존 전체의 최대 오차를 균형 맞춘 체계다. 국가 기본도와 측량 좌표계의 절대다수가 이 계열이다. 람베르트 등각원뿔(LCC)은 동서로 긴 중위도 지역에 유리해 항공도와 미국 주(州) 평면좌표계에 널리 쓰인다.

4.2. 등적 — 면적을 지킨다[편집]

통계 지도에서는 선택의 여지가 없다. 면적이 왜곡된 지도 위에 밀도를 칠하면 그 지도는 데이터가 아니라 도법을 보여 준다. 코로플레스, 인구·토지피복·배출량 지도가 전부 여기 속한다.

람베르트 정적 원통: 위선 방향으로 $\sec\varphi$ 배 늘어나는 것을 자오선 방향 $\cos\varphi$ 로 정확히 상쇄한다. 가장 단순한 등적 도법이자 발상의 원형.
알버스 정적 원뿔: 표준위선 두 개를 잡는 원뿔 도법. 중위도 국가 전도의 표준 선택.
시뉴소이달: 각 위선의 길이를 실제 비율 $\cos\varphi$ 로 그대로 그린다. 정직한 대신 고위도에서 모양이 심하게 기운다.
몰바이데(1805): 세계를 2:1 타원 안에 담는다. 전지구 통계 지도의 단골.

시뉴소이달과 몰바이데를 위도대별로 이어 붙이고 대양에서 잘라 낸 굿 호몰로사인처럼, 등적을 유지한 채 모양 왜곡을 분산시키려 지도를 찢는 계열도 있다. 연속성을 포기하는 것도 하나의 설계 선택이라는 점이 재미있는 부분이다.

한 가지 오해는 미리 끊어 두자. 등적이라고 왜곡이 없는 것이 아니다. 등적 도법은 면적을 지키는 대가로 각을 통째로 내주므로, 저위도 대륙이 세로로 길쭉하게 늘어나는 등 모양 왜곡이 오히려 눈에 잘 띈다.²

4.3. 절충 — 아무것도 지키지 않는다[편집]

전지구 벽지도에서는 등각도 등적도 보기 흉하다. 그래서 어느 성질도 만족하지 않되 왜곡의 총량을 눈에 덜 거슬리게 분산시키는 계열이 있다. 로빈슨(1963)은 아예 왜곡 측도를 최소화한 것이 아니라 보기 좋은 모양을 표로 정의한 도법이고, 빈켈 트리펠(1921)은 등거리 원통 도법과 아이토프 도법의 산술 평균으로 정의된다. 내셔널 지오그래픽이 1988년부터 로빈슨을, 1998년부터 빈켈 트리펠을 세계지도 표준으로 삼았다.

4.4. 방위 — 중심점에서 본다[편집]

심사도법(gnomonic): 구의 중심에서 접평면으로 쏜다. 모든 대원이 직선으로 나오는 유일한 도법이라 대권 항로 작도에 쓰였다. 측지선 문서가 이 성질을 항법 맥락에서 다룬다.
극 스테레오 도법: 등각이면서 모든 원을 원으로 보낸다. 극지방 해석·결정학·복소해석의 리만 구면이 전부 같은 사상이다.
정거방위: 중심점에서의 거리와 방위가 모두 정확하다. 유엔 휘장이 북극 중심 정거방위도법이다.

5. 웹 메르카토르 — 정확도를 팔아 타일을 산다[편집]

지금 화면에서 보는 지도의 대부분은 웹 메르카토르(EPSG:3857)다. 이 도법의 정의에는 남들이 잘 언급하지 않는 이상한 구석이 하나 있다. 입력 좌표는 WGS84 회전타원체 위의 위경도인데, 투영 공식에는 구(球) 메르카토르 공식을 그대로 쓴다. 두 모델을 섞은 것이다.

결과는 이렇다.

엄밀히는 등각이 아니다. 타원체 위경도에 구 공식을 먹였으므로 자오선 방향과 위선 방향 스케일이 미세하게 어긋난다. 그래서 이 도법은 측량·측지 용도로는 쓰지 않는다.
타원체 메르카토르와 위치가 어긋난다. 중위도에서 남북 방향으로 수십 킬로미터 규모의 차이가 난다. 배경 타일과 정밀 측량 성과를 같은 좌표계로 착각해 겹치면 사고가 난다.
대신 타일이 완벽하게 맞아떨어진다. 위도를 $\pm 85.05113^\circ$ ( $\arctan(\sinh\pi)$ 에 해당)에서 잘라 내면 세계가 정확히 정사각형이 되고, 이 정사각형을 4등분씩 재귀 분할하면 줌 레벨 $z$ 에서 $2^z \times 2^z$ 개의 정사각 타일이 나온다. 이것은 정확히 쿼드트리이며, 타일 좌표 $(z, x, y)$ 가 곧 그 쿼드트리의 노드 주소다.

즉 웹 메르카토르는 측지 정확도를 버리는 대가로 정수 산술만으로 되는 계층 타일 색인과 등각에 가까운 국소 모양을 산 실무적 타협이다. 화면에서 확대·축소·팬을 하는 용도에는 이 거래가 압도적으로 남는 장사였고, 그래서 표준이 됐다.³

6. 투영과 좌표계는 다른 층이다[편집]

실무 사고의 대부분은 도법 선택이 아니라 층을 혼동해서 난다. 위경도에서 화면 픽셀까지는 최소 세 층이다.

층	정하는 것	예
준거 타원체	지구의 수학적 형상(장반경·편평률)	GRS80, WGS84
datum(측지 기준계)	그 타원체를 실제 지구에 어떻게 고정할지	WGS84, ITRF, 한국 세계측지계
투영	타원체면 → 평면 좌표	UTM, TM, 웹 메르카토르

여기에 지오이드가 하나 더 붙는다. 타원체는 수평 위치의 기준이고, 높이의 기준은 지오이드(평균해수면)다. GPS가 주는 타원체고와 지도에 적힌 표고는 우리나라 부근에서 수십 미터 차이가 나므로, 둘을 섞으면 침수 해석이나 배수 설계가 조용히 틀린다.

datum을 틀리는 사고는 특히 아프다. 같은 위경도 숫자라도 옛 지역측지계와 현행 세계측지계는 수백 미터 어긋나며, 이건 재투영으로 고쳐지지 않고 datum 변환(7-파라미터 헬머트 변환이나 격자 보정)을 거쳐야 한다. 실무는 이 조합 전체에 번호를 붙인 EPSG 코드로 소통한다 — 4326(WGS84 경위도), 3857(웹 메르카토르), 5179(한국 통합 UTM-K) 같은 식이다. 코드 없이 “위경도 데이터입니다”라고 오는 파일은 좌표계가 없는 것과 같다.

가장 악명 높은 함정 하나만 짚자. EPSG:4326의 공식 축 순서는 (위도, 경도)인데, GeoJSON과 대부분의 소프트웨어는 (경도, 위도)로 쓴다. 값이 뒤바뀌면 대한민국 좌표가 남극해 한복판으로 간다. 다행히도 이 버그는 조용히 틀리지 않고 아주 요란하게 틀린다는 점에서 자비롭다.

7. 수치 시뮬레이션 쪽 — 격자를 고르는 문제[편집]

구면 위에서 편미분방정식을 푸는 순간, 지도 투영과 같은 기하가 격자 설계 문제로 되돌아온다.

위경도 격자의 극 특이점. 균등 위경도 격자에서 물리적 격자 간격은 $\Delta x = R\cos\varphi\,\Delta\lambda$ 이므로 극에 가까울수록 0으로 수렴한다. 그러면 CFL 조건이 극점의 미세 격자에 맞춰 전 지구의 시간 간격을 묶어 버리고, 극점 자체는 좌표 특이점이라 벡터장의 성분이 정의되지 않는다. 고전적 대응은 극 근처 고파수 성분을 걸러 내는 푸리에 필터인데, 이는 전역 통신을 요구해 병렬 확장성을 갉아먹는다. 스펙트럴 변환 모델이 구면조화 함수로 이 문제를 우회하는 대신 매 스텝 전역 변환 비용을 치르는 것도 같은 거래다.

그래서 현대 전지구 모델은 준균일 격자로 옮겨 갔다.

큐브드 스피어. 정육면체를 구에 씌우고 각 면을 심사도법으로 펴서 여섯 장의 준직교 격자를 만든다. 격자 간격 비가 대략 2배 이내로 묶여 시간 간격 제약이 완화되고, 각 면이 논리적으로 사각형이라 기존 코드와 병렬 분할을 재활용하기 좋다. 대가는 면이 만나는 8개 모서리와 꼭짓점의 처리다 — 좌표계가 불연속이라 그 자리에서 플럭스와 미분 연산자를 특별히 다뤄야 한다.
정이십면체 격자. 정이십면체를 재귀 세분해 얻는 삼각형 격자, 또는 그 쌍대인 육각형 격자를 쓴다. 가장 균일하지만 육각형만으로 구를 덮을 수는 없다 — 오일러 지표 $V - E + F = 2$ 가 오각형 12개를 강제하고, 그 12개의 결함점이 국소 수치 오차의 원인이 된다. 축구공에 오각형이 정확히 12개인 것과 같은 이유다.

유한체적법의 요구는 더 엄격하다. 셀 면적과 면 플럭스를 구면 기하로 계산해야 보존이 성립한다. 곡면 셀을 평면으로 투영해 놓고 평면 공식으로 면적을 재면 질량이 새고, 그 오차가 장기 적분에서 누적된다. 격자 자체가 곡면 기하학이라는 사실을 코드가 잊는 순간 보존성이 조용히 사라지는 것이다.

후처리와 데이터 파이프라인도 같은 함정을 공유한다.

면적 가중을 잊지 않는다. 위경도 격자 자료의 전지구 평균을 단순 산술평균으로 내면 극지방 격자점이 과대 대표된다. 반드시 $\cos\varphi$ 로 가중해야 하고, 이 한 줄을 빠뜨린 기후 지표 계산은 놀랄 만큼 흔하다.
재격자화 방법을 물리량에 맞춘다. 온도처럼 매끄러운 장은 쌍선형·스플라인 보간으로 충분하지만, 강수량·인구·배출량처럼 총량이 의미를 갖는 양은 반드시 면적 가중 보존 재격자화(conservative remapping)를 써야 한다. 보간으로 처리하면 총량이 보존되지 않는다.
투영된 좌표에서 거리를 재지 않는다. 화면 좌표에서 유클리드 거리를 계산해 놓고 미터로 부르는 코드가 GIS 파이프라인의 고전적 버그다. 정확한 거리는 타원체 위 측지선 길이이며, 빈센티 알고리즘 같은 반복법으로 푼다.

8. 관련 문서[편집]

귤껍질을 벗겨 책상에 눌러 붙이려 하면 반드시 찢어지거나 겹친다는 흔한 비유는, 사실 뛰어난 정리의 아주 정직한 물리적 실연이다. 종이(원기둥)는 되고 귤껍질(구)은 안 되는 이유가 곡률 하나로 갈린다. ↩
등적 도법 중에는 정치적 논쟁의 주인공이 된 것도 있다. 1973년 아르노 페터스가 메르카토르를 “유럽 중심적”이라 공격하며 내놓은 도법이 그것인데, 하필 1855년 골(James Gall)이 이미 발표한 도법과 사실상 같아서 지도학계는 표절 시비와 “등적이라고 왜곡이 없는 것은 아니다”(이 도법은 모양을 심하게 잡아 늘인다)라는 반론을 동시에 제기했다. 도법 선택이 순수한 공학 결정이 아니라는 것을 가장 시끄럽게 보여 준 사례. ↩
EPSG가 이 도법에 한동안 코드를 안 줬다. 두 지구 모델을 섞은 물건이라 측지학적으로 정당화가 안 됐기 때문이다. 그동안 업계는 900913이라는 비공식 코드를 돌려 썼는데, 이건 계산기 뒤집기 시절의 감성으로 GOOGLE을 읽은 것이다. 결국 현실을 인정하고 3857이 부여됐다. ↩