측지선

1. 개요[편집]

측지선 Geodesic
정의 (변분)	길이(또는 에너지) 범함수를 정류로 만드는 곡선
정의 (접속)	자기 접벡터를 평행이동하는 곡선 — 가속도의 접성분이 0
방정식	$\ddot x^k + \Gamma^k_{ij}\,\dot x^i \dot x^j = 0$
편차	야코비 방정식 — 곡률이 이웃 측지선을 모으거나 벌린다
대표 예	구면의 대원, 자유낙하 세계선, 메시 위 최단경로
계산	초기값(슈팅·지수사상) vs 경계값(고속 행진법·MMP·열 방법)

직선이 뭐냐고 물으면 “가장 짧은 것”이라고 답하고 싶겠지만, 휜 공간에서 옳은 답은 “휘지 않는 것”이다. 그리고 두 답은 놀랍게도 대체로 일치한다.

측지선(geodesic)은 곡면이나 다양체 위에서 「가능한 한 곧게」 가는 곡선이다. 정의가 두 개인데,

• 변분적 정의 — 길이 범함수 $L(\gamma)=\int\sqrt{g_{ij}\dot x^i\dot x^j}\,dt$ 를 정류로 만드는 곡선.
• 접속적 정의 — 곡선을 따라 자기 접벡터를 평행이동하는 곡선, 즉 공변가속도가 0인 곡선.

리만 계량에 레비-치비타 접속을 붙이면 이 둘이 일치한다. 앞의 것은 “최단”이라는 직관을, 뒤의 것은 “관성 운동”이라는 직관을 준다. 뒷 정의가 더 근본적인데, 최단이 아닌 측지선은 있어도 곧지 않은 측지선은 없기 때문이다.

이 문서는 곡면·곡률 쪽에 무게를 둔다. 계량이 최적화 알고리즘을 어떻게 바꾸는지는 리만 다양체가, 작용을 정류화한다는 원리 자체는 최소작용 원리와 해밀턴 원리가 맡는다. 여기서는 방정식, 곡률이 이웃 측지선에 하는 일, 그리고 그걸 실제로 계산하는 법을 본다.

2. 길이 대신 에너지를 변분한다[편집]

길이 범함수를 그대로 오일러-라그랑주 방정식에 넣으면 성가신 일이 생긴다. 길이는 재매개변수화에 불변이라 같은 곡선을 어떻게 훑든 값이 같고, 그래서 정류점이 곡선 하나가 아니라 “곡선 + 임의의 속도 프로파일”이라는 무한 차원 가족으로 나온다. 방정식이 퇴화하는 것이다.

그래서 실전에서는 에너지 범함수

$$E(\gamma) \;=\; \frac{1}{2}\int_a^b g_{ij}\bigl(x(t)\bigr)\,\dot x^i \dot x^j \,dt$$

를 변분한다. 코시-슈바르츠에 의해 $L^2 \le 2(b-a)E$ 이고 등호는 $\lVert\dot\gamma\rVert$ 가 상수일 때만 성립하므로, $E$ 의 정류점은 $L$ 의 정류점 중에서 등속(아핀) 매개변수를 갖는 것과 정확히 대응한다. 퇴화가 사라지고, 덤으로 라그랑지언이 이차형식이라 계산도 훨씬 깔끔해진다.

이 라그랑지언 $L = \tfrac12 g_{ij}\dot x^i\dot x^j$ 를 오일러-라그랑주 식에 넣고 정리하면(유도는 오일러-라그랑주 방정식 문서의 기계를 그대로 돌린 것이다) 측지선 방정식

$$\frac{d^2 x^k}{ds^2} \;+\; \Gamma^k_{ij}\,\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds} \;=\; 0$$

가 나온다. 여기서 $\Gamma^k_{ij}$ 가 크리스토펠 기호이며 계량의 1계 도함수로만 만들어진다.

$$\Gamma^k_{ij} = \tfrac12 g^{kl}\bigl(\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij}\bigr)$$

주의할 점 하나. $\Gamma$ 는 텐서가 아니다. 좌표 변환에서 비선형 항이 붙기 때문에, 임의의 한 점에서 $\Gamma$ 를 전부 0으로 만드는 좌표(측지 정규좌표)를 항상 잡을 수 있다. “중력은 국소적으로 없앨 수 있다”는 등가원리의 수학적 알맹이가 정확히 이것이다. 반면 뒤에 나올 곡률 텐서는 진짜 텐서라서 좌표를 아무리 바꿔도 0으로 만들 수 없다.

3. 평행이동과 공변미분[편집]

측지선의 두 번째 정의를 제대로 쓰려면 “다른 점의 벡터를 비교하는 규칙”이 필요하다. 곡면 위 서로 다른 점의 접평면은 애초에 다른 평면이라 벡터를 그냥 뺄 수 없기 때문이다. 그 규칙이 공변미분이다.

$$\nabla_j V^k = \partial_j V^k + \Gamma^k_{ji} V^i$$

$\partial_j V^k$ 만으로는 좌표계가 휘어서 생긴 변화와 벡터장 자체의 변화가 뒤섞이는데, $\Gamma$ 항이 그 좌표 효과를 정확히 상쇄한다. 곡선 $\gamma$ 를 따라 $\nabla_{\dot\gamma}V = 0$ 이면 $V$ 를 평행이동한다고 한다. 이 정의로 측지선을 다시 쓰면 $\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma = 0$ — 자기 자신의 접벡터를 평행이동하는 곡선이다. 곡선을 따라 걸어가면서 앞을 보고 핸들을 안 꺾는 것.

평행이동은 경로에 의존한다. 같은 시작점과 끝점이라도 다른 경로로 옮기면 벡터의 방향이 달라지고, 폐곡선을 한 바퀴 돌면 원래 벡터로 안 돌아온다. 어긋난 각도가 둘러싼 넓이 곱하기 곡률이다 — 구면 위에서 적도를 따라 90° 가고, 북극까지 올라가고, 다시 내려오는 삼각형을 돌면 벡터가 정확히 90° 회전해 있다. 경로 의존성 = 곡률이라는 이 한 줄이 미분기하에서 실무자가 알아야 할 거의 전부다.

4. 구면의 대원[편집]

가장 손에 잡히는 예. 반지름 $R$ 인 구면의 계량은 $ds^2 = R^2(d\theta^2 + \sin^2\!\theta\,d\varphi^2)$ 이고, 여기서 측지선 방정식을 풀면 답은 대원(great circle) — 구의 중심을 지나는 평면과 구면의 교선이다. 위도선은 적도만 빼면 측지선이 아니다.

회전면에서는 방정식을 다 풀지 않아도 되는 보존량이 있다. $\varphi$ 가 순환 좌표라 대응하는 운동량이 보존되고(뇌터 정리), 그 결과가 클레로 관계식

$$r(s)\,\sin\psi(s) \;=\; \text{const}$$

다. $r$ 은 회전축까지의 거리, $\psi$ 는 측지선이 자오선과 이루는 각. 이 한 줄이 “구면 위 대원 항로는 출발할 때 동쪽으로 가더라도 점점 북쪽으로 휜다”는 항해 상식과, “가는 실을 원뿔에 감으면 어디까지 올라갈 수 있는가”를 동시에 설명한다.

그리고 대원은 최단이 아닐 수 있다. 두 점을 잇는 대원은 짧은 호와 긴 호 두 개인데, 둘 다 측지선 방정식을 만족하지만 최단인 것은 하나뿐이다. 긴 쪽은 길이 범함수의 정류점이되 최소가 아니다. 최소작용 원리에서 “정류이지 최소가 아니다”라고 한 그 이야기가 여기서 눈에 보이는 형태로 나타난다.

5. 측지선 편차와 켤레점[편집]

한 측지선 옆에 아주 가까운 측지선을 하나 더 놓고, 둘 사이의 간격 벡터 $J$ 가 어떻게 변하는지를 보자. 답이 야코비 방정식이다.

$$\frac{D^2 J}{ds^2} + R\bigl(J,\dot\gamma\bigr)\dot\gamma = 0$$

$R$ 은 리만 곡률 텐서. 2차원에서 가우스 곡률 $K$ 를 쓰면 이 식이 $\ddot j + K\,j = 0$ 이라는 익숙한 꼴로 축약된다. 읽는 법이 명쾌하다.

• $K > 0$ (구면류): 해가 $\sin(\sqrt{K}s)$ 라 이웃 측지선이 모인다. 벌어졌다가 다시 만난다.
• $K = 0$ (평면): $j$ 가 선형으로 벌어진다. 유클리드 직선 두 개.
• $K < 0$ (쌍곡면류): 해가 $\sinh$ 라 지수적으로 벌어진다. 음의 곡률 위의 측지 흐름이 카오스적인 이유이며, 이것이 카오스 이론의 고전적 예제인 아다마르의 당구다.

$J(0)=0$ 이었던 것이 다시 $J(s_c)=0$ 이 되는 점 $s_c$ 를 켤레점(conjugate point)이라 한다. 구면에서는 북극에서 출발한 모든 측지선이 남극에서 다시 만나므로 켤레점이 $s_c = \pi R$ 이고, 이는 초점(focal point)이라는 이름으로 광학에도 그대로 등장한다.

켤레점이 중요한 이유는 그 지점을 지나면 측지선이 더 이상 최단이 아니기 때문이다. 2차 변분이 음의 방향을 하나 얻고, 지나칠 때마다 하나씩 더 얻는다(모스 지표). 정리하면 이렇다.

측지선 = 정류점. 켤레점 이전 = 국소 최소. 켤레점 이후 = 안장점.

$K \le 0$ 이고 단순연결이면 켤레점이 아예 없어서 임의의 두 점을 잇는 측지선이 유일하고 항상 최단이다(카르탕-아다마르). 최적화에서 음의 곡률 다양체가 유난히 얌전한 이유이고, 반대로 SPD 행렬 같은 양의 곡률 성분이 있는 공간에서 프레셰 평균의 유일성이 조건부인 이유다(리만 다양체).

6. 계산 — IVP와 BVP는 완전히 다른 문제다[편집]

초기값 문제(IVP). 점 $p$ 와 방향 $v$ 가 주어졌을 때 측지선을 앞으로 뻗는 것. 측지선 방정식은 그냥 2계 ODE 연립이므로 룽게-쿠타법이든 뭐든 넣고 돌리면 된다. 이 사상이 지수사상 $\exp_p(v)$ 다. 실무에서는 계량 성분을 수치 미분해 $\Gamma$ 를 만들거나, 라그랑지언 $\tfrac12 g_{ij}\dot x^i\dot x^j$ 를 자동 미분에 통과시켜 $\Gamma$ 를 아예 안 쓰고 오일러-라그랑주 잔차를 직접 만드는 쪽이 코드가 짧다. 그리고 이건 해밀턴계이므로 심플렉틱 적분기를 쓰면 $\lVert\dot\gamma\rVert$ 가 장기적으로 보존된다 — 측지선을 명시적 오일러로 오래 적분하면 속도가 슬금슬금 커져 결과가 망가진다.

경계값 문제(BVP). 두 점을 주고 잇는 측지선을 찾는 것. 이쪽이 진짜 어렵다. 답이 없을 수도 여러 개일 수도 있고, 켤레점 근처에서는 야코비 행렬이 특이해져 뉴턴류가 무너진다. 방법은 셋이다.

• 측지선 슈팅: 초기 방향 $v$ 를 미지수로 두고 $\exp_p(v)=q$ 를 뉴턴으로 푼다. 짧은 거리에서는 최고, 멀면 발산.
• 경로 완화: 곡선을 절점으로 이산화하고 이산 에너지 $\sum \lVert x_{k+1}-x_k\rVert^2_g$ 를 직접 최소화한다. 견고하지만 국소해에 갇힌다.
• 거리장부터 구하기: 아래 참조.

메시 위에서. 삼각 메시 같은 조각별 평면 곡면에서는 사정이 또 다르다. 측지선은 삼각형 내부에서는 직선이고 모서리를 지날 때 “펼쳐서 직선”인 조건으로 이어지며, 꼭짓점에서는 각결손 때문에 유일성이 깨진다.¹ 대표 알고리즘 셋을 구분해 두면 좋다.

• MMP (Mitchell–Mount–Papadimitriou, 1987) — 모서리 위에 “창(window)“을 전파해 정확한 측지 거리를 준다. 최악 $O(n^2\log n)$. Chen–Han(1990)이 $O(n^2)$ 로 개선. 정확하지만 구현이 지옥이고 수치적으로 예민하다.
• 고속 행진법 — 아이코날 방정식 $\lVert\nabla u\rVert = 1$ 을 상류 차분으로 풀어 거리장을 $O(n\log n)$ 에 얻는다(Kimmel–Sethian, 1998). 근사지만 압도적으로 실용적이고, 거리장의 경사를 역추적하면 경로가 나온다.
• 열 방법(heat method) — 열을 아주 짧은 시간 확산시킨 뒤 그 기울기를 정규화해 방향장을 얻고, 포아송 방정식 한 번으로 거리를 복원한다(Crane 외, 2013). 라플라시안을 한 번만 인수분해해 두면 시작점을 바꿔도 재사용할 수 있어서, 수천 개 출발점의 거리장이 필요한 응용에서 압도적으로 빠르다.²

셋의 선택 기준은 단순하다. 정확도가 논문 수준으로 필요하면 MMP, 한 번 쓰고 버릴 거리장이면 고속 행진법, 같은 메시에서 계속 물어볼 거면 열 방법.

7. 응용[편집]

일반상대성이론. 중력장 속 자유낙하하는 물체의 세계선이 시공간 계량의 측지선이다. 힘이 사라지고 기하만 남는 것 — 지구가 태양 주위를 도는 이유는 당기는 힘 때문이 아니라 그것이 휜 시공간에서 가장 곧은 길이기 때문이라는 서술이 여기서 나온다. 다만 부호에 주의할 것: 로런츠 계량에서 시간꼴 측지선은 고유시간을 국소적으로 최대화한다. “쌍둥이 역설에서 계속 자유낙하한 쪽이 더 늙는다”가 그 결과다.³ 자세한 것은 일반 상대성 이론 문서로.

항법과 지도. 지구를 구로 근사하면 두 공항을 잇는 최단 항로는 대원 항로다. 그런데 지도 투영에 따라 이게 직선으로 보일 수도 아닐 수도 있다. 메르카토르 도법에서 직선은 항정선(rhumb line, 나침반 방위를 일정하게 유지하는 선)이지 대원이 아니라서, 인천-뉴욕 항로가 지도상에서 북극 쪽으로 크게 휘어 보이는 것이다. 반대로 심사도법(gnomonic)에서는 모든 대원이 직선으로 나와서 항로 작도용으로 쓰인다. 실제 지구는 회전타원체라 측지선이 대원이 아니고 닫히지도 않으며, GPS·측지 실무에서는 빈센티 알고리즘 같은 반복법으로 푼다.

컴퓨터 그래픽스. 메시 위 측지 거리는 텍스처 매핑과 메시 파라미터화, 리메싱, 분할(segmentation), 스키닝 가중치 계산, 캐릭터 위의 물체 배치, 표면을 따라 퍼지는 이펙트까지 거의 모든 곳에 들어간다. 유클리드 거리로 대충 하면 손과 몸통이 붙어 있는 캐릭터에서 손을 움직였는데 옆구리 살이 따라오는 재앙이 발생한다. 표면을 따라 잰 거리가 필요한 모든 자리가 측지선의 자리다.

최적화와 통계. 다양체 위의 최적화는 갱신을 $x_{k+1}=\exp_{x_k}(-\alpha\,\mathrm{grad}f)$ 로 하는데, 지수사상이 비싸므로 실무에서는 1차로 일치하는 싼 레트랙션(QR 분해, 정규화)으로 갈아탄다(리만 다양체). 다양체 학습의 Isomap은 데이터 그래프 위의 최단경로로 측지 거리를 근사해 고전 MDS에 먹이는 방법이고, 정보 기하에서는 피셔 정보를 계량으로 삼은 측지선이 확률분포 사이의 “자연스러운 보간”이 된다.

8. 관련 문서[편집]

• 리만 다양체 · 미분기하 · 정보 기하
• 최소작용 원리 · 해밀턴 원리 · 오일러-라그랑주 방정식 · 뇌터 정리
• 고속 행진법 · 아이코날 방정식 · 레벨셋 방법
• 다익스트라 알고리즘 · A* 알고리즘 · 경로 계획
• 심플렉틱 적분기 · 룽게-쿠타법 · 자동 미분
• 다양체 학습 · 자연경사법 · 최적수송
• 일반 상대성 이론 · 지도 투영 · 메시 파라미터화 · 관성항법
• 카오스 이론 · 궤도 역학

9. Footnotes[편집]

1. 삼각 메시의 꼭짓점에서는 주변 각의 합이 $2\pi$ 가 아니라 각결손이 생기고, 그래서 원뿔점이 된다. 각결손이 양수(원뿔처럼 뾰족)면 측지선이 그 점을 지나갈 수 없고 옆으로 피해 간다. 이산 가우스-보네 정리는 각결손의 총합이 오일러 지표에 비례한다고 말하는데, 도넛 모양 메시의 각결손을 다 더하면 정확히 0이 나오는 것을 코드로 확인해 보면 미분기하가 갑자기 실감난다. ↩

2. 열 방법의 원논문 제목이 Geodesics in Heat 인데, 아이디어의 뿌리는 바레(Varadhan)의 1967년 공식 — 짧은 시간 극한에서 열핵의 로그가 거리의 제곱에 수렴한다 — 이다. 이론적으로는 $t\to 0$ 이어야 하지만 실제로 그렇게 하면 수치가 무너져서, 논문은 ”$t = h^2$ 정도로 두고 대신 기울기를 정규화하면 된다”는 실용적 타협을 한다. 이론을 정직하게 구현하면 안 되고 반쯤 배신해야 잘 되는, 그래픽스다운 논문. ↩

3. 이게 헷갈리는 이유는 로런츠 계량의 부호수가 $(-,+,+,+)$ 라서다. 공간꼴 방향으로는 여전히 “짧은 것”이 측지선이고 시간꼴 방향으로는 “긴 것”이 측지선이다. 즉 시공간의 측지선은 최소도 최대도 아니고 정류라고 말하는 것이 언제나 안전하다. 상대론 강의에서 “직선이 두 점 사이의 가장 긴 경로”라는 문장이 나와 학생들이 멍해지는 순간이 매 학기 재현된다. ↩