파워 스펙트럼

통계 계산물리 수치해석 마지막 수정: 2026-08-30 04:47:53

1. 개요[편집]

파워 스펙트럼 Power Spectrum
정의	요동장 푸리에 계수의 분산 밀도
짝	2점 상관함수의 푸리에 변환 (위너–힌친)
무차원 꼴	Δ²(k) = k³P(k) / 2π²
우주론 형태	큰 스케일 k^n_s, 작은 스케일 k^n_s−4ln²k
꺾임 위치	물질-복사 동등 시점의 지평선 크기
측정 도구	질량 할당 → FFT → 산탄잡음 제거 → k 구간 평균
같은 뿌리	신호처리의 PSD, CMB의 C_ℓ, 난류의 E(k)

무작위해 보이는 장에서 뽑아낼 수 있는 가장 값싼 정보는 “어느 스케일에 얼마나 흔들리는가” 하나다. 놀랍게도 우주론의 정밀도 대부분이 이 하나에서 나온다.

파워 스펙트럼은 통계적으로 균질한 무작위장의 푸리에 모드가 갖는 분산의 밀도이며, 요동장 $\delta(\mathbf x)$ 에 대해

\left\langle \delta(\mathbf k)\,\delta^*(\mathbf k')\right\rangle = (2\pi)^3 P(k)\,\delta_D(\mathbf k-\mathbf k')

로 정의된다. 오른쪽의 델타 함수는 가정이 아니라 결과다. 장이 병진 불변이면 서로 다른 파수의 모드는 상관이 없어야 하고, 그 사실이 델타 함수로 나타난다. 등방성까지 가정하면 $P$ 가 방향에 무관해져 $P(k)$ 가 된다.

이 문서는 하나의 관점을 밀고 간다. 우주 거대구조의 $P(k)$ , 우주배경복사의 $C_\ell$ , 오실로스코프가 그려 주는 PSD, 난류의 에너지 스펙트럼 $E(k)$ 는 전부 같은 대상이다. 다른 것은 무대와 측정 실무뿐이고, 그 실무가 이 문서 분량의 절반을 차지한다.

2. 위너–힌친 — 상관함수와 같은 정보[편집]

2점 상관함수는 실공간에서 정의된다.

\xi(r) = \left\langle \delta(\mathbf x)\,\delta(\mathbf x+\mathbf r)\right\rangle

균질·등방인 장에서 이 둘은 푸리에 변환 쌍이다. 위너(1930)와 힌친(1934)의 정리로, 등방 3차원에서는 각도 적분이 정리되어

\xi(r) = \int_0^\infty \frac{k^2\,dk}{2\pi^2}\,P(k)\,\frac{\sin kr}{kr}

가 된다. 즉 $P(k)$ 와 $\xi(r)$ 은 같은 정보를 담고 있다. 그런데 실무에서 둘은 전혀 다르게 행동한다.

	파워 스펙트럼	상관함수
계산 비용	FFT 로 $O(N\log N)$	쌍 세기, 트리로 가속해도 비쌈
잡음 구조	모드별 거의 독립 (가우스 장)	이웃 구간끼리 강하게 상관
산탄잡음	상수 $1/\bar n$ 로 더해짐	자기쌍 제외로 처리
서베이 창	모델을 창과 합성곱해야 함	랜덤 카탈로그로 비교적 자연스럽게
좁은 특징	BAO 가 여러 개의 잔물결로 퍼짐	BAO 가 한 개의 봉우리로 집중

그래서 현대 서베이는 둘 다 측정하고 서로 검산한다. 같은 데이터의 같은 정보인데 계통 오차가 다른 방식으로 들어오기 때문이다.

파워 스펙트럼의 차원은 부피이므로 값만 보고는 크기를 가늠하기 어렵다. 로그 구간당 분산 기여를 주는 무차원 꼴

\Delta^2(k) = \frac{k^3 P(k)}{2\pi^2}, \qquad \sigma^2 = \int \Delta^2(k)\,d\ln k

이 실무 표준이고, $\Delta^2\sim1$ 이 되는 스케일이 곧 비선형성이 시작되는 곳이라는 직관을 준다. 우주론에서 진폭을 부르는 이름 $\sigma_8$ 은 반지름 $8\,h^{-1}$ Mpc 구형 톱햇으로 평활화한 밀도 대비의 표준편차이며, 결국 $P(k)$ 를 창함수로 적분한 값이다.

3. 우주론의 P(k) — 원시 스펙트럼과 전달함수[편집]

우주의 물질 파워 스펙트럼은 세 조각의 곱으로 적힌다.

P(k,z) = A\,k^{n_s}\;T^2(k)\;D_+^2(z)

원시 스펙트럼 $A k^{n_s}$ 는 인플레이션이 남긴 초기 조건이다. $n_s=1$ 이면 지평선 진입 시점의 요동 진폭이 스케일에 무관한 해리슨-젤도비치 스펙트럼이고, 실제 관측은 $n_s\approx0.965$ 로 아주 살짝 기울어져 있다. 이 작은 편차가 인플레이션 모형 판별의 핵심 관측량이다.

전달함수 $T(k)$ 가 초기 조건에서 재결합 이후까지의 선형 진화를 전부 담는다. 여기서 스펙트럼의 꺾임이 생긴다. 논리는 이렇다.

어떤 모드가 지평선 안으로 들어오는 시점이 파장에 따라 다르다. 짧은 파장일수록 일찍 들어온다.
복사 우세기에 지평선 안으로 들어온 암흑물질 요동은 거의 자라지 못한다. 팽창률이 복사에 의해 결정되어 요동의 자기중력이 따라가지 못하기 때문이고, 이것이 메사로시 억제다(로그로만 자란다).
물질-복사 동등 시점( $z_{\rm eq}\approx3400$ ) 이후에 들어온 긴 파장 모드는 이 정체를 겪지 않는다.

결과적으로 동등 시점의 지평선 크기에 해당하는 파수 $k_{\rm eq}\sim0.01\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 에서 스펙트럼이 꺾인다. $k<k_{\rm eq}$ 에서는 $P\propto k^{n_s}$ 를 유지하고, $k>k_{\rm eq}$ 에서는 억제를 받아 $P\propto k^{n_s-4}\ln^2 k$ 로 기울어진다. 꺾임 위치가 곧 $\Omega_m h^2$ 의 측정이라는 점이 중요하다 — 모양 하나가 우주론 매개변수를 잰다.

BAO. 재결합 이전 광자-바리온 유체에서는 음파가 달린다. 재결합 순간 광자가 풀려나면서 음파가 멈추고, 그때까지 음파가 이동한 거리(끌림 시기의 음향 지평선, $r_d\approx147$ Mpc)가 물질 분포에 각인된다. 실공간에서는 $\xi(r)$ 의 $r\approx100\,h^{-1}$ Mpc 부근 봉우리 하나, 푸리에 공간에서는 $P(k)$ 에 얹힌 주기 $\Delta k\approx2\pi/r_d$ 의 잔물결로 나타난다. 2005년 SDSS 와 2dFGRS 가 각각 독립적으로 검출했고, 이후 표준자로서 적색편이 대비 거리를 재는 우주론의 주력 도구가 됐다.

$D_+(z)$ 는 선형 성장인자다. 여기까지가 선형 이론이고, $k\gtrsim0.1\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 부터는 비선형 결합이 지배해 해석적으로 못 푼다. 그 영역은 우주론 시뮬레이션 결과에 피팅한 공식이나 에뮬레이터가 담당한다.

4. 측정 실무 (1) — 격자에 얹고 FFT 돌리기[편집]

여기서부터가 실제로 코드를 짜는 사람이 만나는 이야기다. 입력은 입자(또는 은하) 목록, 출력은 $\hat P(k)$ 다.

1단계, 질량 할당. 점 분포를 격자 밀도장으로 바꿔야 FFT 를 쓸 수 있다. 표준 처방은 셋이다.

방식	관여 셀	커널 차수	성질
NGP (최근접 격자점)	1	0차	계단, 앨리어싱 최악
CIC (구름-격자)	2³ = 8	1차 선형	가장 흔한 기본값
TSC (삼각형 구름)	3³ = 27	2차	매끄러움, 비용 3배
PCS (조각별 3차)	4³ = 64	3차	인터레이싱과 조합해 나이퀴스트까지

이건 결국 FLIP-PIC 유체나 플라스마 PIC 코드가 쓰는 입자-격자 보간과 정확히 같은 커널이다. 차수가 높을수록 격자 잡음이 줄고 비용이 는다.

2단계, 대비장과 FFT. 평균 밀도로 나눠 $\delta(\mathbf x) = \rho(\mathbf x)/\bar\rho - 1$ 을 만들고 고속 푸리에 변환을 돌린다. 규약이 지옥이다. 이산 계수 $\delta_{\mathbf k}$ 를 셀 개수 $N_c$ 로 나눈 평균 규격화로 쓰면 추정량은

\hat P(\mathbf k) = V\left|\delta_{\mathbf k}\right|^2

가 되는데, FFT 라이브러리의 정규화, $2\pi$ 를 지수에 넣는지, 부피를 어디서 곱하는지에 따라 계수가 통째로 어긋난다. 이 분야 신입이 가장 오래 헤매는 버그가 예외 없이 여기서 나온다. 검산법은 하나뿐이다 — 알려진 $P(k)$ 로 만든 가우스 랜덤장을 넣어 되돌아오는지 본다.

5. 측정 실무 (2) — 산탄잡음, 디콘볼루션, 앨리어싱[편집]

산탄잡음. 유한한 개수의 점으로 연속 장을 표본추출했으므로 푸아송 잡음이 얹힌다. 균일 무작위 점 분포조차 $\hat P = 1/\bar n$ 을 준다. 따라서

\hat P_{\rm signal}(k) = \hat P_{\rm raw}(k) - \frac{1}{\bar n}

로 빼야 한다. 함정 몇 가지. 이 항은 $k$ 에 무관한 상수라 큰 $k$ 로 갈수록 신호 대비 지배적이 되어, 결국 측정 가능한 최소 스케일을 정하는 것이 입자 밀도다. 그리고 은하 서베이처럼 가중치가 붙으면 $1/\bar n$ 이 아니라 가중치 제곱합으로 계산해야 한다. 시뮬레이션 입자가 격자에서 출발한 경우에는 초기 배치가 푸아송이 아니라 격자보다 규칙적이라 산탄잡음이 푸아송보다 작으며, 그걸 모르고 $1/\bar n$ 을 빼면 큰 $k$ 에서 음수 파워가 나온다.

할당창 디콘볼루션. 격자 할당은 밀도장을 커널과 합성곱한 것이므로, 푸리에 공간에서는 창함수의 곱이 된다.

W(\mathbf k) = \prod_{i=x,y,z} \left[\frac{\sin\!\left(\pi k_i/2k_{\rm Ny}\right)}{\pi k_i/2k_{\rm Ny}}\right]^{p}

$p$ 는 NGP 1, CIC 2, TSC 3, PCS 4다. 측정값을 $|W|^2$ 으로 나눠 되돌린다. 나이퀴스트 근처에서 $W$ 가 0에 가까워지므로 나누기 자체가 잡음을 증폭한다. 그래서 보통 $k<0.5\,k_{\rm Ny}$ 만 신뢰한다.

앨리어싱. 진짜 문제는 이쪽이다. 격자에 얹는 순간 나이퀴스트를 넘는 모드가 접혀 들어온다. 표본화 정리의 정직한 대가이며, 측정된 것은

\left\langle\left|\delta^{\rm grid}_{\mathbf k}\right|^2\right\rangle = \sum_{\mathbf n}\left|W(\mathbf k+2k_{\rm Ny}\mathbf n)\right|^2 P(\mathbf k+2k_{\rm Ny}\mathbf n) + \text{산탄}

처럼 무한 합이 된다. 대응책은 셋이다.

격자를 키운다. 가장 단순하고 가장 비싸다. 메모리가 $N_c^3$ 로 는다.
접힘 항을 계산해 뺀다. 창함수의 합을 해석적으로 정리해 보정하는 고전적 방법(징의 보정). $P(k)$ 를 모르는 상태에서 보정해야 해서 반복이 필요하다.
인터레이싱. 반 셀만큼 어긋난 두 격자에 각각 할당하고 푸리에 공간에서 위상을 맞춰 평균한다. 홀수 차수의 앨리어싱 항이 정확히 상쇄된다. PCS + 인터레이싱 조합이면 나이퀴스트 근처까지 오차를 극히 작게 유지할 수 있어, 지금은 이게 사실상 표준이다.¹

인터레이싱이 왜 통하는지는 안티앨리어싱의 슈퍼샘플링과 같은 논리다. 어긋난 표본격자의 접힘 성분은 부호가 반대라 평균에서 죽는다.

6. 측정 실무 (3) — 구간 평균과 유한 부피[편집]

$k$ 구간 평균. 모드 하나하나의 $|\delta_{\mathbf k}|^2$ 은 자유도 2의 카이제곱 분포를 따르므로 상대 오차가 100%다. 아무리 격자를 키워도 개별 모드의 잡음은 줄지 않는다. 그래서 구껍질 $k\in[k-\Delta k/2,\,k+\Delta k/2]$ 안의 모드를 평균한다.

\hat P(k) = \frac{1}{N_{\rm modes}}\sum_{\mathbf k \in \rm shell}\left|\delta_{\mathbf k}\right|^2 V, \qquad \frac{\sigma_P}{P} \simeq \sqrt{\frac{2}{N_{\rm modes}}}

껍질 안의 모드 수는 $N_{\rm modes}\approx 4\pi k^2\Delta k\,V/(2\pi)^3$ 정도이므로 큰 스케일일수록 모드가 적어 오차가 크다. 이것이 우주 분산의 정체이고, 돈으로도 못 사는 종류의 오차다. 구간 폭을 넓히면 오차가 줄지만 BAO 잔물결이 뭉개지므로, $\Delta k$ 선택 자체가 분해능과 분산의 맞교환이다. 주기도를 구간 평균하는 것과 완전히 같은 맞교환이며, 이 점은 뒤에서 다시 나온다.

유한 부피. 한 변 $L$ 인 상자에서 표현 가능한 최소 파수는 기본 모드 $k_f = 2\pi/L$ 이다. 그보다 긴 파장은 아예 없다. 없다는 사실 자체가 결과를 왜곡한다 — 큰 모드가 빠지면 작은 스케일의 비선형 성장도 체계적으로 어긋나며, 이를 슈퍼샘플 공분산이라 부른다.

실제 서베이에는 더 나쁜 사정이 있다. 관측 영역이 상자가 아니라 마스크가 뚫린 이상한 모양이므로, 측정된 것은 진짜 스펙트럼이 서베이 창함수와 합성곱된 것이다. 여기서 실무의 철칙 하나.

창을 데이터에서 디콘볼루션하지 말고, 모델을 창과 합성곱해서 비교하라. 디콘볼루션은 전형적인 부정치 역문제라 잡음을 증폭한다.

그리고 적분 구속. 평균 밀도 $\bar n$ 을 외부에서 알지 못하고 데이터 자체에서 추정하면, 정의상 $\delta$ 의 전체 평균이 0으로 강제되어 $\hat P(k\to0)$ 이 인위적으로 눌린다. 가장 큰 스케일의 측정값이 조용히 편향되는 이 효과는 모델 쪽에 같은 조작을 가해서 처리한다.

가중치도 최적화 대상이다. 밀도가 높은 곳은 산탄잡음이 작아 정보가 많지만 부피가 좁다. 이 상충을 정리한 FKP 가중치 $w \propto 1/(1+\bar n P_0)$ 가 1994년 이래 표준이며, 신호가 잡음보다 큰 영역에서는 부피 가중, 작은 영역에서는 개수 가중으로 자연스럽게 넘어간다.

마지막으로 실제 은하 서베이는 적색편이 공간에서 관측한다. 특이속도가 시선 방향 위치를 왜곡해 $P$ 가 등방이 아니게 되므로, 시선 방향 코사인 $\mu$ 에 대해 르장드르 다항식으로 전개한 다중극( $P_0, P_2, P_4$ )을 측정한다. 이 다중극들을 FFT 로 빠르게 뽑는 추정량이 따로 개발돼 있으며, 왜곡의 세기가 구조 성장률을 재는 관측량이 된다.

7. CMB 의 각 파워 스펙트럼[편집]

우주 마이크로파 배경은 3차원 부피가 아니라 하늘이라는 구면 위의 장이다. 그래서 푸리에 모드 대신 구면조화 함수로 전개한다.

\frac{\Delta T}{T}(\hat n) = \sum_{\ell m} a_{\ell m} Y_{\ell m}(\hat n), \qquad \left\langle a_{\ell m} a^*_{\ell' m'}\right\rangle = C_\ell\,\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}

구조가 정확히 같다. 회전 불변성이 서로 다른 $(\ell,m)$ 의 무상관을 강제하고, 남는 것이 $\ell$ 만의 함수 $C_\ell$ 이다. 관례적으로 $\ell(\ell+1)C_\ell/2\pi$ 를 그리는데, 이렇게 하면 스케일 불변 스펙트럼이 평평해져 봉우리가 눈에 잘 띈다.

여기서도 같은 실무 문제가 그대로 반복된다.

우주 분산. 각 $\ell$ 에는 $2\ell+1$ 개의 $m$ 모드뿐이라 $\Delta C_\ell/C_\ell=\sqrt{2/(2\ell+1)}$ 이 원리적 하한이다. 저- $\ell$ 이 항상 지저분한 이유.
부분 하늘. 은하수를 가려야 하므로 하늘의 일부만 쓰고, 그러면 서로 다른 $\ell$ 이 섞인다(모드-모드 결합). 유사- $C_\ell$ 추정량과 결합 행렬 역산이 표준 처리다. 서베이 창함수 문제의 구면판이다.
빔과 화소 창. 망원경 빔과 화소화가 곱해지는 창함수를 만들고, 이것도 나눠 줘야 한다. 격자 할당창 디콘볼루션과 같은 절차.

봉우리 구조 자체는 음향 진동에서 온다. 첫 봉우리( $\ell\approx220$ )의 위치가 음향 지평선의 각크기를 재어 공간 곡률을 제약하고, 봉우리들의 상대 높이가 바리온과 암흑물질 밀도를 나눠 준다. 그 논리는 암흑 물질 문서에 정리돼 있다.

8. 신호처리의 PSD — 같은 함정, 같은 해법[편집]

시간 신호 $x(t)$ 의 전력 스펙트럼 밀도도 정확히 같은 대상이다. 가장 소박한 추정량이 주기도다.

\hat S(f) = \frac{1}{N}\left|\sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-2\pi i f n}\right|^2

그리고 여기에 이 분야에서 가장 자주 인용되는 반직관적 사실이 있다. 주기도는 일치추정량이 아니다. 표본 수 $N$ 을 아무리 늘려도 각 주파수에서의 분산이 줄지 않는다. 늘어나는 것은 주파수 분해능일 뿐이라, 스펙트럼이 매끄러워지는 게 아니라 더 촘촘하게 지저분해진다. 앞 절에서 본 “모드 하나의 상대 오차 100%“와 같은 이야기다.

해법도 같다. 평균 내라.

바틀릿법 — 신호를 겹치지 않는 $K$ 개 구간으로 잘라 각각의 주기도를 평균. 분산이 $1/K$ 로 준다.
웰치법 — 구간을 절반쯤 겹치게 잡고 각 구간에 창(해닝 등)을 씌운 뒤 평균. 겹침으로 자료를 재활용해 같은 길이에서 더 많은 구간을 얻고, 창으로 스펙트럼 누설을 억제한다. 오늘날 사실상 기본값.
다중테이퍼 — 서로 직교하는 여러 개의 최적 테이퍼(이산 프롤레이트 구면파)를 같은 자료에 씌워 얻은 스펙트럼들을 평균. 자료를 자르지 않고도 독립 추정치를 만든다.
블랙먼-투키 — 자기상관함수를 창으로 잘라 변환. 위너–힌친을 문자 그대로 구현한 방식.

우주론의 $k$ 구간 평균, CMB의 $\ell$ 구간(밴드파워) 평균, 웰치의 구간 평균은 전부 “분해능을 팔아 분산을 산다”는 같은 거래다. 창 누설·안티앨리어싱·표본화 문제도 그대로 대응한다. 스펙트럼 누설과 창함수 일반론은 푸리에 변환 문서에 정리돼 있다.

난류 쪽 $E(k)$ 도 같은 계보다. 콜모고로프의 $E(k)\propto\varepsilon^{2/3}k^{-5/3}$ 는 관성영역의 파워 스펙트럼 예측이고, 실공간 대응물인 구조함수와의 관계가 곧 위너–힌친이다. 직접수치모사에서 스펙트럼을 뽑는 절차 역시 FFT + 껍질 평균으로 동일하며, 유한 상자와 유한 분해능이 각각 저파수·고파수 끝을 오염시킨다는 것까지 판박이다.

9. 여담[편집]

파워 스펙트럼은 가우스 장의 정보를 전부 담는다. 이것이 CMB 분석이 압도적으로 $C_\ell$ 중심인 이유다. 반대로 거대구조는 중력 성장으로 심하게 비가우스해져서, $P(k)$ 만 보면 정보를 흘린다. 그래서 요즘은 3점 상관의 푸리에 짝인 바이스펙트럼, 개수 세기 통계, 심지어 신경망으로 뽑은 요약 통계까지 동원된다.
$P(k)$ 는 위상 정보를 통째로 버린다. 진폭만 남기고 위상을 무작위로 섞은 장을 만들어 보면 필라멘트와 보이드가 사라지고 밋밋한 얼룩만 남는다. “거대구조의 눈에 보이는 아름다움은 전부 위상에 있다”는 말은 과장이 아니라 실험으로 확인되는 사실이다.
어느 분야 코드든 스펙트럼 측정 루틴에는 주석이 유난히 많이 달려 있다. $2\pi$ , 부피, 셀 개수, 실수 FFT 의 반쪽 저장이 곱해지고 나눠지는 지점이 다섯 군데쯤 되고, 그중 하나만 틀려도 결과가 상수배로 어긋나는데 그래프 모양은 멀쩡해 보인다. 모양이 맞으니 됐다고 넘어가면 그 상수가 논문까지 간다.²
우주론에서 $\sigma_8$ 대신 $S_8 = \sigma_8\sqrt{\Omega_m/0.3}$ 을 쓰는 이유도 스펙트럼 측정의 사정에서 나온다. 약중력렌즈가 실제로 제약하는 조합이 그것이라, 진폭과 물질 밀도를 따로 떼기 어렵기 때문이다.³

10. 관련 문서[편집]

인터레이싱은 사실 플라스마 PIC 코드에서 옛날부터 쓰던 트릭이고, 우주론 쪽에는 뒤늦게 수입됐다. 분야가 갈리면 같은 문제를 각자 다시 푼다는 사실의 흔한 사례다. 반대 방향 수입도 있다 — 우주론의 P³M 분리 발상은 에발트 합산에서 왔다. ↩
그래서 이 바닥의 통과의례가 “알려진 $P(k)$ 로 가우스 랜덤장을 만들어 다시 측정해 되돌아오는지 본다”이다. 검증 및 확인의 제조된 해 방법(MMS)을 스펙트럼 코드에 적용한 것이고, 부끄러워할 일이 전혀 아니다. 이걸 안 하고 논문 쓰다가 계수 2를 놓치는 쪽이 부끄러운 일이다. ↩
이 조합이 유명해진 계기는 약중력렌즈 서베이가 준 $S_8$ 이 CMB 가 준 값보다 조금 낮게 나오는 이른바 $S_8$ 긴장이었다. 한때 신물리 이야기가 나왔지만, 최근 자료가 쌓이면서 유의도가 줄어드는 추세이고 바리온 되먹임과 광도적색편이 교정 같은 계통 오차 후보가 유력하게 남아 있다. 스펙트럼 진폭 하나를 재는 데 이렇게 많은 계통이 얽힌다는 점 자체가 이 절 전체의 요약이다. ↩