피로 해석

구조해석 고체역학 마지막 수정: 2026-07-06 04:12:38

피로 해석 Fatigue Analysis
분야	고체역학 × 구조해석
핵심 개념	S-N 선도, 마이너 법칙, 균열 진전
대표 파라미터	응력진폭, 평균응력, 반복 횟수 N
관련 법칙	바스킨 법칙, 파리 법칙, 굿맨 선도

1. 개요[편집]

한 번에 부러뜨릴 힘이 없으면, 여러 번 흔들면 된다. — 피로 파괴의 본질

피로 해석(Fatigue Analysis)은 재료가 정적 파괴 강도보다 훨씬 낮은 반복 하중을 받을 때, 누적된 손상으로 결국 파괴에 이르는 현상을 예측·평가하는 구조해석의 한 분야이다. 여기서 핵심은 하중의 크기가 아니라 반복이라는 점이다. 항복강도의 절반도 안 되는 응력이라도, 수백만 번 왕복하면 부품은 조용히 균열을 키우다가 어느 날 갑자기 뚝 부러진다.

문제가 고약한 이유는 피로 파괴가 예고 없이 온다는 데 있다. 정적 하중이라면 소성 변형이 “저 이제 위험해요”라고 알려주기라도 하지만, 피로 균열은 겉보기 멀쩡한 부품 내부에서 미세하게 진전하다가 임계 크기에 도달하는 순간 순식간에 파단한다. 역사적으로 철도 차축, 항공기 동체(코메트 여객기 사고), 발전 설비의 대형 사고 상당수가 피로 때문이었다.¹

2. 피로 수명의 두 얼굴: 고주기 vs 저주기[편집]

피로는 반복 횟수 규모에 따라 성격이 완전히 갈린다.

고주기 피로(High-Cycle Fatigue, HCF): 응력이 탄성 범위 안에 머물고, 파괴까지 대략 $10^4$ ~ $10^7$ 회 이상 반복되는 경우. 응력(Stress) 기반으로 다루며, 뒤에 나올 S-N 선도가 주 무기다. 회전 기계, 진동 부품이 여기 속한다.
저주기 피로(Low-Cycle Fatigue, LCF): 매 사이클마다 소성 변형이 발생하고, 파괴까지 $10^4$ 회 이하로 짧은 경우. 이때는 응력이 아니라 변형률(Strain) 로 다뤄야 한다. 압력용기, 터빈 블레이드처럼 큰 열·기계 하중을 반복적으로 받는 부품이 대표적.

저주기 영역은 코핀-맨슨(Coffin-Manson) 관계로 소성 변형률 진폭과 수명을 잇고, 고주기 영역은 바스킨(Basquin) 법칙으로 응력 진폭과 수명을 잇는다. 둘을 합친 것이 변형률-수명(ε-N) 선도다.

3. S-N 선도[편집]

고주기 피로 해석의 심장은 S-N 선도(S-N Curve, 뵐러 곡선)다. 가로축에 파괴까지의 반복 횟수 $N$ (로그 스케일), 세로축에 응력 진폭 $S$ 를 놓고, 시편을 파괴한 실험 데이터를 점으로 찍어 만든다. 바스킨은 이 관계를 다음 멱법칙으로 정리했다.

S_a = S_f' \, (2N_f)^b

여기서 $S_f'$ 는 피로강도계수, $b$ 는 피로강도지수(보통 음수), $N_f$ 는 파괴 반복 횟수다. 강재의 경우 특정 응력 아래로 내려가면 아무리 반복해도 파괴되지 않는 피로 한도(endurance limit)가 존재해 S-N 선도가 수평으로 눕는다. 반면 알루미늄 같은 비철금속은 이 수평 구간이 없어서, “충분히 낮은 응력”이라는 개념 자체가 없다.² 그래서 알루미늄 항공 구조물은 아예 수명을 정해두고 부품을 교체하는 방식으로 관리한다.

4. 누적 손상: 마이너 법칙[편집]

실제 부품은 일정한 진폭의 하중만 받지 않는다. 자동차 서스펜션은 포장도로와 비포장도로를 오가고, 항공기 날개는 이착륙과 난기류를 겪는다. 이런 변동 진폭 하중의 누적 손상을 다루는 가장 고전적인 도구가 팔름그렌-마이너 법칙(Palmgren-Miner rule)이다.

D = \sum_{i} \frac{n_i}{N_i} \geq 1

각 응력 수준 $i$ 에서 실제 겪은 반복 횟수 $n_i$ 를, 그 수준에서 파괴까지 견딜 수 있는 $N_i$ 로 나눠 손상 비율을 구하고, 이걸 전부 더한 값 $D$ 가 1에 도달하면 파괴로 본다. 개념은 우아하지만 가정이 순진하다. 손상이 순서와 무관하게 선형으로 쌓인다고 보기 때문에, 큰 하중 뒤에 작은 하중이 오는 경우 등에서 실제와 어긋난다.³ 그래도 여전히 산업 표준으로 널리 쓰이는데, 이유는 하나다. 간단하니까.

5. 레인플로우 카운팅[편집]

마이너 법칙을 쓰려면 먼저 불규칙한 시간 이력 하중을 “이 진폭이 몇 번, 저 진폭이 몇 번” 하는 식으로 셀 수 있어야 한다. 이 계수 작업을 하는 표준 알고리즘이 레인플로우 카운팅(Rainflow Counting, 우수법)이다.

이름의 유래가 재밌다. 응력-시간 그래프를 시계방향으로 90도 돌려 세우면 여러 개의 지붕(pagoda roof)처럼 보이는데, 여기에 빗물이 흘러내리는 것을 상상해 물줄기가 끊기는 지점으로 사이클을 잘라낸다고 해서 “빗물 흐름(rainflow)“이다.⁴ 이 방법으로 불규칙 신호에서 응력 진폭과 평균응력을 갖는 닫힌 이력 루프(hysteresis loop)들을 추출해내면, 각각을 S-N 선도에 대입하고 마이너 법칙으로 합산할 수 있게 된다. 현대 피로 소프트웨어(nCode, FEMFAT 등)의 전처리 엔진이 바로 이 알고리즘이다.

6. 평균응력 보정: 굿맨 선도[편집]

S-N 선도는 보통 평균응력이 0인 완전 교번(fully reversed) 조건에서 얻는다. 그런데 실제 부품은 인장 방향으로 치우친 평균응력을 받는 경우가 많고, 인장 평균응력은 피로 수명을 갉아먹는다. 이를 보정하는 대표적 도구가 굿맨 선도(Goodman diagram)다.

\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_u} = 1

응력 진폭 $\sigma_a$ 와 평균응력 $\sigma_m$ 을 각각 피로 한도 $S_e$ 와 극한강도 $S_u$ 로 정규화해, 이 직선 아래에 있으면 안전하다고 판정한다. 굿맨 선(직선)은 보수적이고, 거버(Gerber, 포물선)는 좀 더 실험에 잘 맞으며, 소더버그(Soderberg)는 항복강도를 기준 삼아 가장 보수적이다. 셋 중 무엇을 쓸지는 결국 엔지니어의 간담 크기와 안전계수 정책이 결정한다.

7. 균열 진전: 파리 법칙[편집]

앞서 다룬 응력 기반 접근이 “언제 균열이 생기나”를 다룬다면, 파괴역학 기반의 파리 법칙(Paris’ law)은 “이미 생긴 균열이 얼마나 빨리 자라나”를 다룬다. 균열 길이 $a$ 의 성장 속도를 응력확대계수 범위 $\Delta K$ 의 멱함수로 표현한다.

\frac{da}{dN} = C \, (\Delta K)^m

$C$ 와 $m$ 은 재료 상수이며, $m$ 은 강재의 경우 대략 3 안팎이다. 이 관계 덕분에 초기 결함 크기를 알면 임계 균열 크기까지 몇 사이클이 남았는지 적분으로 계산할 수 있고, 이것이 손상 허용 설계(damage tolerance)의 이론적 토대가 된다. 항공기 정비 주기가 “얼마나 자주 균열을 검사할 것인가”로 정해지는 이유가 바로 여기 있다. 비선형 재료·기하 효과가 크게 개입하는 경우에는 비선형 구조해석과 연계해 균열 선단의 소성역을 함께 다뤄야 한다.

8. 관련 문서[편집]

1954년 세계 최초의 제트 여객기 드 해빌런드 코메트가 공중분해된 원인이 바로 창문 모서리의 응력집중부에서 시작된 피로 균열이었다. 이 사고 이후로 항공기 창문이 죄다 둥근 모서리가 된 것은, 인류가 피로에게 배운 값비싼 교훈이다. ↩
정확히는 알루미늄도 매우 큰 반복 횟수( $10^8$ ~ $10^9$ )에서 응력이 조금씩 계속 내려간다. “피로 한도가 없다”는 표현은 공학적 편의상의 근사다. 그래도 실무자 입장에선 “믿을 수 있는 안전선이 없다”는 뜻이라 스트레스받는 건 매한가지. ↩
실험적으로 $D$ 가 파괴 시점에 0.3~3.0까지 널뛴다는 보고가 흔하다. 그럼에도 교과서와 규격이 $D=1$ 을 고수하는 건, 이걸 대체할 만큼 간단하고 범용적인 게 아직 없어서다. ↩
1968년 일본의 엔도 다쓰오(遠藤達雄)가 제안했다. 동양의 사찰 지붕(pagoda)에서 영감을 얻었다는 점에서, 공학 알고리즘 이름 중 손꼽히게 시적이다. 서양 문헌은 이걸 그냥 “rainflow”라 부르며 지붕의 낭만은 증발했다. ↩