비최소위상계

수치해석 전자공학 마지막 수정: 2026-08-10 04:43:09

1. 개요[편집]

비최소위상계 Non-minimum Phase System
판정	우반평면 영점(또는 시간지연)을 가짐
최소위상 정의	계와 그 역계가 모두 안정
분해	$L = L_{\min}\cdot L_{ap}$ (전역통과 인자)
증상	계단응답의 초기 역방향 거동(언더슈트)
제어 한계	$\omega_B \lesssim z/2$
대표 사례	자전거 역조향, 보일러 드럼 수위, 항공기 승강타

왼쪽으로 가고 싶으면 먼저 오른쪽으로 꺾어라. 자전거를 타는 사람은 전부 이 방정식을 몸으로 풀고 있다.

비최소위상계(non-minimum phase system)는 전달함수에 우반평면 영점(또는 그와 등가인 시간지연)을 가진 선형계다. 뒤집어 말하면 최소위상계는 극점과 영점이 모두 좌반평면에 있어 계 자신도, 그 역계 $G^{-1}$ 도 안정한 계다. “최소”라는 말은 크기 응답에 대한 것이다 — 같은 크기 응답 $|G(j\omega)|$ 를 갖는 모든 계 중에서 위상 지연이 가장 작은 것이 최소위상계이고, 나머지는 전부 그보다 위상을 더 잃는다. 크기는 똑같은데 위상만 손해 보는 계, 그게 비최소위상계다.

위상은 곧 위상 여유이고 위상 여유는 곧 대역폭이므로, 이 손해는 그대로 성능 한계로 번역된다. 그리고 이 한계는 제어기 설계를 잘하면 줄어드는 종류가 아니라 플랜트가 이미 정해 놓은 상한이다. 되먹임은 극점을 옮길 수 있지만 영점은 옮기지 못하기 때문이다.¹

용어에 대해 한 줄 정리. 고전적으로는 우반평면 극점이 있는 계도 비최소위상으로 분류했다(역계가 불안정하다는 정의를 그대로 따르면 그렇다). 다만 현대 제어 문헌에서는 우반평면 극점은 그냥 “불안정”이라 부르고, 비최소위상은 우반평면 영점을 가리키는 말로 좁혀 쓰는 경우가 압도적이다. 이 문서도 그 관례를 따른다.

2. 전역통과 인자 분해[편집]

임의의 안정 전달함수를 최소위상 부분과 크기 1짜리 부분으로 쪼갤 수 있다. 우반평면 영점이 $z_1, \dots, z_m$ 이라면

L(s) = L_{\min}(s)\, L_{ap}(s), \qquad L_{ap}(s) = \prod_{i=1}^{m}\frac{z_i - s}{z_i + s}

로 쓰고, $L_{\min}$ 은 우반평면 영점을 좌반평면으로 미러링해 넣은 최소위상 부분이다. 핵심은 $|L_{ap}(j\omega)| = 1$ 이라는 것 — 전역통과(all-pass)라 부르는 이유다. 따라서

|L(j\omega)| = |L_{\min}(j\omega)|, \qquad \angle L(j\omega) = \angle L_{\min}(j\omega) \underbrace{-\,2\sum_i \arctan\frac{\omega}{z_i}}_{\text{순손실}}

크기 선도는 완전히 동일하고 위상만 깎인다. 실수 영점 하나짜리 $(z-s)/(z+s)$ 는 $\omega = z$ 에서 $-90^\circ$ , $\omega \to \infty$ 에서 $-180^\circ$ 를 먹는다. 보드 선도에서 크기 곡선만 보고 위상을 추정하는 이득-위상 관계가 최소위상계에서만 성립한다고 못 박은 이유가 바로 이 인자다. 크기가 같은데 위상이 다르니, 크기가 위상을 결정할 리가 없다.

시간지연은 극단적인 전역통과 인자다. $|e^{-sT}| = 1$ 이고 위상은 $-\omega T$ 로 무한히 내려간다. 유리함수 우반평면 영점이 $-180^\circ$ 에서 멈추는 데 비해 지연은 멈추지 않는다. 실제로 지연의 파데 근사 $e^{-sT} \approx (1 - sT/2)/(1 + sT/2)$ 는 정확히 $z = 2/T$ 짜리 우반평면 영점 하나이며, 차수를 올릴수록 우반평면 영점이 늘어난다.

3. 계단응답이 반대로 간다[편집]

비최소위상계의 임상 증상은 초기 역방향 응답(undershoot, inverse response, wrong-way behavior)이다. 이걸 정리로 세울 수 있고, 증명이 세 줄이라 여기 적어 둘 만하다.

안정한 계 $G(s)$ 가 실수 우반평면 영점 $z > 0$ 을 갖고, 계단 응답을 $y(t)$ 라 하자. $Y(s) = G(s)/s$ 이고 $y$ 가 유계이므로 라플라스 적분이 $\mathrm{Re}\,s > 0$ 에서 수렴한다. 그 적분을 $s = z$ 에서 평가하면

\int_0^\infty y(t)\,e^{-zt}\,dt = Y(z) = \frac{G(z)}{z} = 0

양수 가중치 $e^{-zt}$ 로 잰 $y$ 의 가중 적분이 정확히 0이다. 정상상태 값 $y(\infty) = G(0)$ 이 양수라면 $y(t)$ 는 어딘가에서 반드시 음수여야 한다. 즉 응답이 반드시 부호를 바꾼다.

여기서 조금 더 나아가면 널리 인용되는 결과가 나온다. 실수 우반평면 영점이 홀수 개(중복도 포함)면 초기 기울기의 부호가 정상상태와 반대라서 처음부터 반대 방향으로 간다. 짝수 개면 출발은 옳은 방향이지만 위 적분 조건 때문에 도중에 부호가 뒤집힌다. 부호 변화 횟수는 실수 우반평면 영점 개수 이상이다.²

속도와 언더슈트 사이에도 정량적 거래가 있다. 정착시간 $t_s$ 로 밀어붙일수록 언더슈트 깊이 $y_{us}$ 의 하한이

y_{us} \;\gtrsim\; \frac{y(\infty)}{e^{z t_s} - 1}

형태로 지수적으로 커진다. $t_s \ll 1/z$ 로 잡으면 언더슈트가 정상상태 값을 넘어서 버린다. “조금만 더 빠르게”의 대가가 지수 함수라는 것, 이게 비최소위상계에서 튜닝을 아무리 해도 안 되는 이유다.

4. 실물에서는 이렇게 생겼다[편집]

자전거·오토바이 역조향. 왼쪽으로 선회하려면 핸들을 먼저 오른쪽으로 꺾어야 한다. 접지점이 오른쪽으로 밀려나면서 무게중심이 상대적으로 왼쪽으로 넘어가 차체가 왼쪽으로 기울고, 그제야 왼쪽 선회가 시작된다. 조향 입력에서 횡방향 경로까지의 전달함수에 우반평면 영점이 있다는 뜻이다. 더 극적인 것은 뒷바퀴 조향 자전거로, 기울기 응답 자체가 비최소위상이 되고 그 영점이 속도에 따라 움직여서 사실상 아무도 타지 못한다. 사람이 학습으로 극복할 수 있는 종류의 어려움이 아니다.³
보일러 드럼 수위 — shrink and swell. 차가운 급수를 더 넣으면 드럼 안 기포가 응축되어 수위가 먼저 내려간다. 질량은 늘었는데 부피는 줄었기 때문이다. 반대로 증기 수요가 늘어 압력이 떨어지면 기포가 팽창해 물이 빠져나가는데도 수위는 솟는다. 수위만 보고 급수를 조절하는 단일 루프는 정확히 반대로 반응하다가 발산하고, 그래서 발전 플랜트는 급수 유량과 증기 유량을 함께 쓰는 3요소 제어를 표준으로 쓴다.
항공기 고도. 상승하려고 조종간을 당기면 승강타가 꼬리에 아래쪽 힘을 만든다. 기수가 들리기 전 짧은 순간 전체 양력이 줄어 고도가 먼저 떨어진다. 승강타 입력에서 고도까지의 전달함수에 우반평면 영점이 있고, 꼬리 팔 길이가 짧은 기체일수록 영점이 원점에 가까워 조종이 까다로워진다.
V/STOL. 해리어류의 횡방향 동역학은 롤 제어용 반동 노즐이 롤 모멘트와 함께 반대 방향 측력을 만들어 내는 구조라, 오른쪽으로 가려고 오른쪽 롤을 넣으면 기체가 잠깐 왼쪽으로 흐른다. 제어 교과서에서 PVTOL 예제로 반복 등장하는 모델이 이것이다.
수력 발전 도수관. 수차 게이트를 열면 관 속 물기둥의 관성 때문에 압력수두가 먼저 떨어져 출력이 일시적으로 감소한다. 도수관이 길수록 영점이 원점에 붙어 조속기 대역폭 상한이 내려간다.

공통 구조가 보인다. 빠르게 반응하는 경로와 느리게 반응하는 경로가 반대 부호로 경쟁하고, 느린 쪽이 결국 이기는 구조에서 우반평면 영점이 생긴다. $G(s) = \dfrac{k_1}{1+\tau_1 s} - \dfrac{k_2}{1+\tau_2 s}$ 에서 $k_1 < k_2$ 이고 $\tau_1 < \tau_2$ 이면 정확히 그렇게 된다.

5. 시뮬레이션이 만들어 내는 우반평면 영점[편집]

물리가 최소위상이어도 이산화만으로 비최소위상이 생긴다. 연속계를 영차 홀드로 샘플링하면 원래 연속 영점이 사상된 것 외에 “샘플링 영점”이 추가로 나타나는데, 샘플 주기 $T_s \to 0$ 극한에서 이 영점들은 상대차수 $d$ 에 따라 정해진 다항식(오일러–프로베니우스 다항식)의 근으로 수렴한다. 그 근들은 $d \ge 3$ 이면 반드시 단위원 밖에 있다. 즉 상대차수 3 이상인 계를 빠르게 샘플링하면 이산 모델이 비최소위상이 되는 것이 정상이다.⁴

이게 실무에서 무슨 뜻이냐면, ” $G^{-1}$ 을 컨트롤러에 넣자”는 아이디어가 이산 구현에서 조용히 폭발한다는 뜻이다. 연속 모델은 멀쩡히 최소위상인데 $z$ 영역으로 옮기고 역을 취하는 순간 단위원 밖 극점이 생긴다. 반복 학습 제어나 역동역학 기반 피드포워드에서 “왜 샘플링을 더 빠르게 했더니 발산하죠”라는 현상의 표준 원인이다. 대응은 안정한 부분만 역을 취하고 불안정 영점은 영점 위상 오차법(ZPETC) 같은 근사로 처리하는 것.

6. 제어 한계 — 왜 어떤 트릭도 안 통하는가[편집]

우반평면 영점 $z$ 는 감도 함수에 보간 조건 $S(z) = 1$ , $T(z) = 0$ 을 걸고, 여기서 푸아송 적분을 거쳐 실무 상한이 나온다.

\omega_B \;\lesssim\; \frac{z}{2}

영점이 원점에 가까울수록 대역폭 천장이 낮아진다. 불안정 극점 $p$ 가 함께 있으면 바닥 $\omega_B \gtrsim 2p$ 가 깔리므로 대략 $z > 4p$ 를 못 맞추면 어떤 제어기로도 답이 없다.

그럼 우회로는 없는가. 자주 나오는 세 가지 시도와 그 결말은 이렇다.

역보상(인버스 제어). 제어기에 $1/(1 - s/z)$ 를 넣어 우반평면 영점을 상쇄하려는 시도. 결과는 제어기에 $s = z$ 짜리 불안정 극점을 심는 것이다. 상쇄가 수식상 완벽하더라도 $r \to y$ 전달함수만 예뻐 보일 뿐, 외란·초기조건이 그 모드를 여기시키는 순간 내부 신호가 $e^{zt}$ 로 발산한다. 불안정 극영점 상쇄는 내부 안정성을 파괴한다는 것이 이 분야의 첫 번째 계명이다. 모델이 조금이라도 틀리면 상쇄가 안 되어 곧바로 불안정 극점이 폐루프에 남는다.
예측기. 시간지연에는 스미스 예측기가 잘 듣는다. 지연은 “신호가 그대로 늦게 도착하는 것”이라 모델로 앞당겨 볼 수 있기 때문이다. 그러나 우반평면 영점은 늦는 게 아니라 반대로 가는 것이다. 예측해 봐야 “곧 반대로 갈 것”을 알 뿐 그 사실을 없앨 수는 없다. $T(z) = 0$ 은 구조적 항등식이라 어떤 예측 구조로도 위반되지 않는다. 덧붙여 스미스 예측기조차 지연이 부과하는 성능 한계 자체를 없애지는 못하고, 불안정 플랜트에는 그대로 쓸 수 없다.
피드포워드·최적화. 피드포워드는 결국 역모델이라 첫 번째 항목과 같은 벽에 부딪힌다. 모델 예측 제어는 미래를 명시적으로 보므로 언더슈트를 가장 예쁘게 만들어 주지만, 없애지는 못한다. 최적화가 뽑아낸 궤적 역시 초기에는 반대로 간다. 제약을 넣어 “언더슈트 금지”를 요구하면 최적화가 응답 속도를 극단적으로 낮춰 응답하며, 그것이 물리적으로 옳은 답이다.

실제로 통하는 것은 플랜트를 바꾸는 것뿐이다. 센서를 영점을 만드는 지점 앞으로 옮기거나(드럼 수위 대신 급수·증기 유량을 보는 3요소 제어), 액추에이터를 바꾸거나, 경쟁하는 두 경로 중 빠른 쪽의 이득을 줄이거나. 제어 엔지니어가 설계 초기 회의에 들어가야 하는 이유가 이것이다 — 하드웨어가 확정되고 나면 우반평면 영점은 협상 대상이 아니다.

7. 판별과 수치 계산[편집]

단일 입출력이면 분자 다항식의 근을 보면 되지만, 상태공간 $(A,B,C,D)$ 에서는 전송영점(transmission zero)을 로젠브록 시스템 행렬 다발의 일반화 고유값으로 구하는 것이 표준이다.

\det\begin{bmatrix} A - \lambda I & B \\ C & D \end{bmatrix} = 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \left(\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\right) \text{ 의 일반화 고유값}

QZ 알고리즘으로 풀며, 다발이 특이하므로 무한대 고유값이 섞여 나온다는 점만 조심하면 된다. 다변수계에서는 채널별 영점이 아니라 전송영점이 성능을 제약한다. 각 루프를 따로 보면 멀쩡한데 전체로 묶으면 우반평면 전송영점이 나오는 경우가 흔하고, 이게 다변수 설계를 루프별로 쪼개면 안 되는 이유 중 하나다.

측정 데이터에서 판별할 때가 진짜 함정이다. 크기 응답만으로는 최소위상과 비최소위상을 구분할 수 없다 — 정의상 둘의 크기가 같기 때문이다. 위상 데이터를 같이 보거나, 계단 시험을 해서 초기 역방향 응답을 확인해야 한다. 시스템 식별에서 크기 피팅만으로 모델을 만들면 알고리즘이 대체로 최소위상 해를 고르므로, 실제 플랜트가 비최소위상인데 모델은 최소위상인 상태가 조용히 만들어진다. 그 모델로 설계한 제어기가 실장에서 진동하고, 원인 규명에 몇 주가 날아간다. 검증 및 확인의 관점에서 “크기 응답 일치”는 절대 충분조건이 아니다. 참고로 크기가 같고 위상만 다른 계를 만들어 내는 장치 자체가 전역통과 필터이며, 오디오·통신에서는 이 성질을 위상 등화에 일부러 활용한다.

8. 관련 문서[편집]

$T = L/(1+L)$ 의 분자가 $L$ 의 분자다. 되먹임을 걸어도 개루프 영점은 그대로 폐루프 영점으로 남는다. 반면 극점은 $1 + L = 0$ 의 근으로 통째로 재배치된다. “극점은 내 것, 영점은 플랜트 것”이라는 한 줄이 이 문서 전체의 요약이다. ↩
이 계열 결과는 비댜사가르(1986)를 비롯해 여러 저자가 정리했다. 재미있는 건 증명이 위의 라플라스 한 줄에서 거의 다 나온다는 점이다. 대학원 첫 학기에 “이런 게 정리씩이나 되나” 싶다가, 실물 플랜트에서 그 부호 반전을 처음 보면 생각이 바뀐다. ↩
뒷바퀴 조향 자전거는 실제로 여러 번 제작됐고 상금을 걸어도 아무도 오래 타지 못하는 것으로 유명하다. Åström·Klein·Lennartsson의 2005년 리뷰가 이 현상을 우반평면 영점으로 깔끔하게 설명한다. “연습하면 되지 않나요”에 대한 제어공학의 답은 “영점을 옮기는 연습법이 있으면 알려 달라”이다. ↩
Åström·Hagander·Sternby, “Zeros of sampled systems”(1984). 상대차수 2면 극한 영점이 $-1$ 로 단위원 위에 걸치고, 3 이상이면 바깥으로 나간다. 그래서 “샘플링을 빠르게 하면 항상 좋아진다”는 직관은 영점에 관한 한 정확히 틀렸다. ↩