감도 함수

1. 개요[편집]

감도 함수 Sensitivity Function
정의	$S = 1/(1+L)$
짝	상보감도 $T = L/(1+L)$
항등식	$S + T = 1$
첨두	$M_s = \lVert S \rVert_\infty$, 실무 목표 2 이하
대역 제약	보드 적분 정리(워터베드), 푸아송 적분
기하학적 의미	$1/M_s$ = 나이퀴스트 궤적과 −1 사이 최단거리

제어공학에서 공짜 점심이 없다는 사실은 철학이 아니라 한 줄짜리 대수 항등식이다.

감도 함수(sensitivity function)는 단일 루프 되먹임계에서 개루프 전달함수 $L = GK$ 에 대해 $S(s) = 1/(1 + L(s))$ 로 정의되는 폐루프 전달함수이며, 출력 외란과 기준값 오차가 얼마나 살아남는지를 재는 함수다. 짝을 이루는 상보감도 함수(complementary sensitivity) $T(s) = L(s)/(1 + L(s))$ 는 측정 잡음과 곱셈형 모델 오차가 출력으로 얼마나 새어 나오는지를 잰다. 두 정의를 더하면 곧바로

$$S(s) + T(s) = 1 \qquad \text{(모든 } s \text{ 에서)}$$

이 나오고, 되먹임 설계의 모든 트레이드오프가 여기서 파생된다. 이름의 “감도”는 원래 폐루프 이득 $T$ 가 플랜트 $G$ 의 변화에 얼마나 민감한지를 뜻했다. $\partial \ln T / \partial \ln G = S$ 라는 관계가 성립하기 때문이다 — 즉 $|S|$ 가 작은 주파수에서는 플랜트가 10% 틀려도 폐루프 응답은 그보다 훨씬 적게 틀린다. 되먹임을 쓰는 이유 그 자체가 이 한 줄에 들어 있다.

동음이의 주의. 최적설계에서 말하는 민감도 해석은 목적함수·응답의 설계변수에 대한 편도함수(감도 도함수)를 구하는 일이며, 이 문서의 감도 함수와는 이름만 같고 별개의 주제다. 이쪽은 주파수의 함수이고 저쪽은 설계변수의 도함수다.

2. 네 개의 전달함수[편집]

단일 루프의 신호 관계를 정직하게 쓰면 함수 두 개로는 부족하다. 기준값 $r$, 출력 외란 $d$, 측정잡음 $n$ 이 있을 때 출력 $y$ 와 제어입력 $u$ 는 다음과 같다.

$$y = T\,(r - n) + S\,d, \qquad u = KS\,(r - d - n)$$

여기에 입력단 외란까지 넣으면 $GS$ 가 나온다. $S$, $T$, $KS$, $GS$ 네 개를 묶어 갱 오브 포(gang of four)라 부르며, 넷을 다 보지 않으면 설계를 다 본 게 아니다. 흔한 사고가 $S$ 와 $T$ 만 예쁘게 만들어 놓고 $KS$ 를 안 봐서, 잡음이 액추에이터를 초당 수십 번 흔들어대는 구성을 납품하는 것이다. $\|KS\|_\infty$ 는 액추에이터가 얼마나 시달리는가를 재는 숫자이며, PID 제어에서 미분항 필터를 반드시 씌우는 이유를 주파수 영역에서 설명해 준다.¹

추종 오차는 $e = r - y = S(r - d) + Tn$ 이다. 여기서 이미 충돌이 보인다.

• 추종·외란 억제를 잘하려면 $|S| \ll 1$, 즉 $|L| \gg 1$.
• 잡음 억제를 잘하려면 $|T| \ll 1$, 즉 $|L| \ll 1$.
• 모델 오차에 강건하려면 (곱셈형 불확실성 $W$ 에 대해) $|T| < 1/|W|$.

$S + T = 1$ 이므로 같은 주파수에서 둘 다 작게 만드는 것은 수학적으로 불가능하다. $|S| = 0.01$ 이면 $|T|$ 는 필연적으로 0.99~1.01 사이다. 그래서 설계는 성능 경쟁이 아니라 주파수 분업이 된다. 저주파는 $S$ 에게, 고주파는 $T$ 에게 주고, 그 사이 이득교차 근방에서 협상한다. 보드 선도에서 “교차 근방 기울기를 $-20$ dB/dec로”라는 국룰은 이 협상 구간을 최대한 넓고 완만하게 만들려는 시도다.

3. 보드 적분 정리 — 물침대[편집]

주파수 분업으로 문제가 끝나면 좋겠지만, 그렇지 않다. 보드 감도 적분 정리가 $\ln|S|$ 의 총량을 못 박아 버린다. 개루프 $L$ 이 상대차수 2 이상이고 우반평면 극점이 $p_k$ 라면

$$\int_0^\infty \ln|S(j\omega)|\,d\omega = \pi \sum_k \mathrm{Re}(p_k)$$

가 성립한다. 개루프가 안정하면 우변이 0이다. 즉 $\ln|S|$ 곡선의 부호 있는 면적이 정확히 0이라, 어느 대역에서 $|S| < 1$ 로 눌러 얻은 이득은 다른 대역에서 $|S| > 1$ 로 정확히 되갚아야 한다. 물침대를 한쪽 누르면 옆이 솟는다고 해서 워터베드 효과라 부른다.

몇 가지 단서를 정확히 붙여야 한다.

• 상대차수 2 이상이라는 조건이 핵심이다. 상대차수가 정확히 1이고 $\lim_{s\to\infty} sL(s) = k_v$ 라면 우변에 $-\pi k_v / 2$ 가 붙어, 오히려 면적을 음수로 만들 여지가 생긴다. 현실의 액추에이터·센서 동특성은 언제나 롤오프를 더해 상대차수를 2 이상으로 밀어 올리므로, 실무에서는 “면적 0” 버전이 맞는 그림이다.
• 불안정 극점은 벌금이다. 우반평면 극점이 있으면 우변이 양수가 되어, 눌러야 할 면적보다 되갚을 면적이 더 커진다. 불안정한 플랜트를 안정화하는 것은 공짜가 아니라 감도를 어딘가에서 반드시 1보다 크게 만드는 대가를 치르는 일이다.
• 적분은 $\omega \to \infty$ 까지다. 실제 계는 언젠가 $|L| \to 0$ 이라 $|S| \to 1$ 이 되므로 무한대 대역에서 갚을 수는 없고, 교차 주파수 바로 위 유한한 대역에 솟음이 몰린다. 그리고 그 솟음이 $M_s$ 다.

4. 보간 조건과 푸아송 적분[편집]

우반평면의 영점·극점은 $S$ 와 $T$ 의 값을 특정 지점에서 못 박는다. $L$ 이 우반평면 영점 $z$ 를 가지면 $L(z) = 0$ 이므로

$$S(z) = 1, \qquad T(z) = 0$$

이고, 우반평면 극점 $p$ 를 가지면 $L(p) = \infty$ 이므로

$$S(p) = 0, \qquad T(p) = 1$$

이다. 되먹임은 극점을 옮길 수 있지만 플랜트의 영점은 옮기지 못한다 — $T = L/(1+L)$ 의 분자에 $L$ 의 영점이 그대로 남기 때문이다. 그래서 이 보간 조건은 제어기를 아무리 잘 설계해도 사라지지 않는 구조적 제약이다.

여기에 $\ln|S|$ 가 우반평면에서 해석적이라는 사실을 얹으면 푸아송 적분이 나온다. 실수 우반평면 영점 $z > 0$ 에 대해

$$\int_0^\infty \ln|S(j\omega)|\,\frac{2z}{z^2 + \omega^2}\,d\omega = \pi \ln\left|B_p^{-1}(z)\right|$$

이고, $B_p$ 는 불안정 극점들의 블라슈케 곱이다. 보드 적분과 달리 가중치가 $z$ 근방에 몰려 있다는 점이 결정적이다. 워터베드는 “언젠가 어딘가에서 갚아라”였지만 푸아송은 ”$z$ 근처에서 갚아라”라고 못을 박는다. 저주파에서 감도를 세게 누를수록 $z$ 근방의 $|S|$ 첨두가 지수적으로 치솟는다.

실무 결론은 놀랄 만큼 간단한 두 줄로 요약된다.

$$\omega_B \lesssim \frac{z}{2} \quad(\text{실수 우반평면 영점}), \qquad \omega_B \gtrsim 2p \quad(\text{우반평면 극점})$$

여기서 $\omega_B$ 는 $|S|$ 가 아래에서 $-3$ dB($\approx 0.707$)를 처음 뚫는 주파수로 잡는 감도 대역폭이다. 우반평면 영점은 대역폭에 천장을 씌우고, 불안정 극점은 바닥을 깐다. 둘 다 있으면 천장과 바닥 사이가 열려 있어야 하므로 대략 $z > 4p$ 라는 존재 조건이 나오고, 이걸 못 맞추면 어떤 제어기로도 만족스러운 설계가 불가능하다. 이 한계가 어디서 오는지, 실물로는 어떤 모습인지는 비최소위상계에서 자세히 다룬다. 우반평면 영점과 극점이 함께 있을 때 감도 첨두의 하한도 닫힌 형태로 나온다.

$$\|S\|_\infty \ge \left|\frac{z + p}{z - p}\right|$$

$z$ 와 $p$ 가 가까울수록 이 값이 폭발한다. “불안정 극점 옆에 우반평면 영점이 붙어 있는 플랜트”는 제어공학에서 사형선고에 가까운 진단이다.²

5. 감도 첨두 $M_s$[편집]

$$M_s = \|S\|_\infty = \max_\omega \frac{1}{|1 + L(j\omega)|}$$

$|1 + L(j\omega)|$ 는 나이퀴스트 궤적 위의 점에서 임계점 $-1$ 까지의 거리이므로, $1/M_s$ 가 곧 최단거리다. 이 하나가 이득 여유 $\ge M_s/(M_s-1)$, 위상 여유 $\ge 2\arcsin(1/2M_s)$ 를 동시에 보장한다. 이득 여유·위상 여유가 각각 한 방향으로만 잰 거리라서 언제 거짓말을 하는지는 위상 여유에서 정리했다.

$M_s \le 2$ 가 국룰이다. 보수적으로 설계할 때는 $1.4$, 공격적으로 밀 때 $2.0$ 정도로 잡고, 그 이상이면 모델이 조금만 틀려도 물린다. 실용적으로 $M_s$ 는 “다이얼”로도 좋은데, PM을 몇 도로 할지보다 $M_s$ 를 얼마로 할지가 플랜트가 달라져도 감각이 잘 옮겨 다니기 때문이다. 상보감도 첨두 $M_t = \|T\|_\infty$ 도 같이 보며, 이쪽은 위상 여유 $\ge 2\arcsin(1/2M_t)$, 이득 여유 $\ge 1 + 1/M_t$ 를 준다.

6. 설계에 쓰기 — 가중 혼합감도[편집]

$S$ 와 $T$ 를 직접 사양화하는 것이 현대적 루프 성형이다. 주파수 가중 $W_1, W_2$ 를 두고

$$\left\| \begin{matrix} W_1 S \\ W_2 T \end{matrix} \right\|_\infty < 1$$

를 요구하면, $|S| < 1/|W_1|$ 과 $|T| < 1/|W_2|$ 를 동시에 요구하는 것과 (계수 $\sqrt{2}$ 이내로) 같다. $W_1$ 은 저주파에서 크게(감도를 눌러라), $W_2$ 는 고주파에서 크게(잡음·미모형 동특성을 막아라) 잡는다. 여기에 $W_3 KS$ 를 한 줄 더 얹으면 액추에이터 사용량까지 제약된다. 이 문제를 리카티 방정식 두 개로 푸는 것이 $H_\infty$ 합성이며, 불확실성 구조까지 다루는 이야기는 강건 제어로 넘어간다.

가중함수를 고를 때 초보자가 가장 자주 하는 실수는 워터베드를 무시한 사양을 쓰는 것이다. “저주파 $|S| < 0.001$, 그리고 전 대역 $|S| < 1.2$” 같은 요구는 적분 정리와 정면으로 충돌해서 해가 없다. 풀이가 안 나오면 알고리즘을 의심하기 전에 면적 계산을 먼저 해 보는 게 순서다.³

7. 수치적으로 구하기[편집]

$\|S\|_\infty$ 를 주파수 격자로 훑어 최대값을 취하는 방식은 간단하지만 첨두를 놓칠 수 있다. 저감쇠 공진에서 첨두 폭이 격자 간격보다 좁으면 그대로 지나쳐 버리고, 그 결과 실제보다 여유가 넉넉하다고 보고된다. 정확한 방법은 $H_\infty$ 노름의 해밀토니안 행렬 판정이다. 주어진 $\gamma$ 에 대해 특정 해밀토니안 행렬이 허수축 고유값을 가지면 $\|S\|_\infty > \gamma$ 이고, 아니면 $\le \gamma$ 다. 이 판정을 이분법으로 감싸면 원하는 정밀도까지 좁혀진다. 허수축 고유값이 곧 첨두가 $\gamma$ 를 뚫는 주파수를 알려주므로, 격자를 그 근방에 다시 깔아 확인하는 하이브리드 방식이 실무 표준이다.⁴ 특이값 분해를 주파수마다 취하는 다변수 확장도 같은 구조이며, 이때 최대 특이값 $\bar\sigma(S(j\omega))$ 가 $|S(j\omega)|$ 를 대신한다.

시뮬레이션 검증(검증 및 확인)의 관점에서 $S$ 와 $T$ 는 유용한 진단 지표이기도 하다. 폐루프 시뮬레이션을 돌려 놓고 “계단 응답이 예뻐 보인다”로 끝내는 대신, 외란을 백색잡음으로 주입해 출력 스펙트럼을 추정하면 $|S(j\omega)|$ 가 그대로 측정된다. 여기서 나온 첨두가 설계값보다 높으면 십중팔구 모델에 안 넣은 지연이나 이산화 오차가 범인이다. 모델 예측 제어처럼 최적화를 매 스텝 푸는 구조에서는 $S$·$T$ 가 명시적으로 존재하지 않지만, 제약이 활성화되지 않는 구간에서는 등가 선형 제어기가 정의되므로 같은 진단을 그대로 쓸 수 있다.

8. 관련 문서[편집]

• 보드 선도 · 위상 여유 · 나이퀴스트 안정성 판별법
• 비최소위상계 · 강건 제어
• 작은 이득 정리 · 루프 정형화 · 내부모델원리
• PID 제어 · 모델 예측 제어 · 최적 제어
• 리카티 방정식 · 특이값 분해
• 민감도 해석 · 검증 및 확인 · 칼만 필터

9. Footnotes[편집]

1. Åström & Murray의 교재가 이 네 함수를 한 세트로 가르치는 것으로 유명하다. 실제로 ”$S$ 랑 $T$ 만 보면 되나요”라는 질문의 답은 언제나 ”$KS$ 를 봐라”이고, 그 다음 주에 밸브 액추에이터가 수명을 다 하는 걸 보고 나서야 다들 납득한다. ↩

2. 대표적인 예가 손바닥 위에서 막대기를 세우는 문제다. 막대가 짧을수록 불안정 극점 $p$ 가 커져 요구 대역폭이 올라가는데, 사람의 신경 지연이 만드는 우반평면 영점(지연의 파데 근사)은 그대로다. 그래서 짧은 막대는 못 세운다. 이건 연습 부족이 아니라 $z > 4p$ 위반이다. ↩

3. 사양서를 받았을 때 $\ln$ 면적을 30초 만에 어림해 보는 습관이 있으면, “이 스펙은 물리적으로 불가능합니다”를 착수 전에 말할 수 있다. 착수 후 3개월 뒤에 말하는 것과는 인생이 달라진다. ↩

4. Boyd–Balakrishnan–Kabamba(1989)와 Bruinsma–Steinbuch(1990)의 이분법·개선 알고리즘이 표준이다. “격자로 훑으면 되지 않나”에 대한 반례는 감쇠비 $0.001$ 짜리 모드 하나면 충분하다. 첨두 폭이 $\omega_n$ 의 0.2% 라서, 데케이드당 100점짜리 로그 격자로도 정직하게 놓친다. ↩