피츠휴-나구모 모형

계산물리 물리 수치해석 마지막 수정: 2026-08-05 04:47:22

1. 개요[편집]

피츠휴-나구모 모형 FitzHugh–Nagumo Model
제안	R. FitzHugh (1961), J. Nagumo et al. (1962)
변수	막전위 v (빠름), 회복 변수 w (느림)
구조	느린-빠른 2변수 완화 진동계
모태	호지킨-헉슬리 모형 (4변수)
수치적 성격	ε ≪ 1일 때 강성

피츠휴-나구모 모형(FitzHugh–Nagumo model, FHN)은 신경 세포의 활동전위를 4변수 호지킨-헉슬리 모형에서 2변수로 축약한 정성적 흥분성 모형이다. 목표는 정량적 재현이 아니라 “흥분성(excitability)이라는 현상이 위상평면에서 어떻게 생겼는지”를 눈으로 볼 수 있게 만드는 것. 변수가 둘뿐이라 위상평면 전체를 종이 한 장에 그릴 수 있고, 그래서 비선형 동역학 교과서의 단골 예제가 됐다.

표준형은 다음과 같다.

\dot{v} = v - \frac{v^{3}}{3} - w + I, \qquad \dot{w} = \varepsilon\,(v + a - b\,w)

$v$ 는 막전위 역할(빠른 변수), $w$ 는 회복 변수(느린 변수), $I$ 는 외부 주입 전류, $\varepsilon \ll 1$ 이 시간 척도 분리를 만든다. 전형적인 파라미터는 $a = 0.7$ , $b = 0.8$ , $\varepsilon = 0.08$ 정도.¹

2. 축약의 논리[편집]

호지킨-헉슬리 모형의 네 변수는 막전위 $V$ , 나트륨 활성화 $m$ , 나트륨 불활성화 $h$ , 칼륨 활성화 $n$ 이다. 여기서 $m$ 은 나머지보다 시간상수가 한 자릿수 이상 짧고, $h$ 와 $n$ 은 실측에서 $h + n \approx \mathrm{const}$ 에 가깝게 함께 움직인다. 그러면 이렇게 묶을 수 있다.

빠른 묶음 $(V, m)$ → 단일 빠른 변수 $v$ (활성화는 준정상 상태로 소거)
느린 묶음 $(h, n)$ → 단일 느린 변수 $w$ (회복/불응)

남는 건 “빠르게 폭발하고 느리게 회복한다”는 골격뿐이고, FHN은 그 골격을 3차 비선형 하나로 재현한다. 채널 컨덕턴스도 이온 종류도 없다. 대신 왜 문턱 비슷한 것이 생기는가, 왜 발화 후 불응기가 있는가, 왜 주입 전류를 올리면 연속 발화로 넘어가는가를 전부 설명한다. 정량 예측이 필요하면 호지킨-헉슬리나 심근용 상세 모형을 써야 한다 — FHN은 그 자리를 노리는 모형이 아니다.

3. 위상평면 — 널클라인과 고정점[편집]

$\dot{v} = 0$ 인 곳이 v-널클라인으로, 3차 곡선

w = v - \frac{v^{3}}{3} + I

이며 $v = \pm 1$ 에서 극값을 갖는 N자 모양이다. $\dot{w} = 0$ 인 w-널클라인은 직선 $w = (v+a)/b$ . 두 곡선의 교점이 고정점이고, 표준 파라미터에서는 교점이 3차 곡선의 왼쪽 하강 가지에 하나만 놓인다.

야코비안은

J = \begin{pmatrix} 1 - v^{2} & -1 \\ \varepsilon & -\varepsilon b \end{pmatrix}

이고, 대각합 $\mathrm{tr}\,J = 1 - v_{*}^{2} - \varepsilon b$ , 행렬식 $\det J = \varepsilon\,(1 - b + b v_{*}^{2})$ 이다. $b < 1$ 이고 $|v_*|$ 가 크면 $\det J > 0$ , $\mathrm{tr}\,J < 0$ 이라 고정점은 안정한 초점이다. 이 상태가 흥분성 영역이다.

3차 곡선의 가운데 상승 가지( $|v| < 1$ )는 $1 - v^2 > 0$ 이라 $v$ 방향으로 밀어내는 구간이다. 이게 핵심이다.

4. ”역치”의 정체 — 문턱이 아니라 절벽[편집]

교과서적 설명은 “자극이 역치를 넘으면 발화한다”지만, 표준 FHN에는 수학적 의미의 문턱(separatrix)이 없다. 고정점이 안정 초점 하나뿐이면 상평면을 둘로 가르는 분리선도 없고, 따라서 원리적으로는 모든 자극이 “작은 반응”이다. 그런데도 자극 크기를 조금씩 올려보면 어느 지점에서 반응 진폭이 거의 계단처럼 뛴다.

범인은 3차 널클라인의 밀어내는 중간 가지다. 느린-빠른 계에서는 궤적이 널클라인의 안정 가지(왼쪽·오른쪽 하강 구간)에 붙어 느리게 미끄러지다가, 가지가 끝나면 수평으로 튀어 반대편 가지로 점프한다. 자극이 궤적을 중간 가지 바로 옆에 떨어뜨리면, 그 궤적은 불안정한 가지를 잠시 따라가다가 어느 쪽으로 튈지가 지수적으로 민감하게 갈린다. 이런 궤적을 카나르(canard) 라 부르고, 발화/비발화를 가르는 폭은 $\varepsilon$ 에 대해 지수적으로 좁다 — $e^{-c/\varepsilon}$ 수준.² 그러니까 역치는 진짜 문턱이 아니라 지수적으로 얇은 전이 구간이고, 실측 분해능으로 보면 문턱과 구분이 안 될 뿐이다.

5. 분기 — 주입 전류를 올리면[편집]

$I$ 를 키우면 3차 널클라인이 위로 평행이동하고, 교점 $v_*$ 가 중간 가지 쪽으로 이동한다. $\mathrm{tr}\,J = 0$ , 즉

v_{*}^{2} = 1 - \varepsilon b

가 되는 순간 고정점의 고유값 쌍이 허수축을 가로지르며 호프 분기가 일어난다. 고정점은 불안정해지고 안정한 극한 순환이 태어난다 — 단발 발화 대신 주기적 연속 발화로 넘어가는 것. $I$ 를 더 키워 교점이 반대편 하강 가지로 넘어가면 다시 안정화되어 발화가 멎는다(탈분극 블록). 즉 발화 영역은 $I$ 의 구간이지 반직선이 아니다.

$\varepsilon$ 이 작으면 이 호프 분기 직후에 극한 순환의 진폭이 지수적으로 좁은 $I$ 구간에서 폭발적으로 커지는 카나르 폭발(canard explosion)이 관측된다. 분기 다이어그램을 수치적으로 그릴 때 이 구간을 그냥 지나쳐버리기 쉬운데, 놓친 게 아니라 원래 안 잡히는 폭이다. 분기 이론에서 “연속화 알고리즘의 스텝 크기를 믿지 마라”의 표준 반례로 쓰인다.

6. 공간 확장과 흥분성 매질[편집]

$v$ 에 확산항을 붙이면 흥분성 매질이 된다.

\frac{\partial v}{\partial t} = D\nabla^{2}v + v - \frac{v^{3}}{3} - w + I, \qquad \frac{\partial w}{\partial t} = \varepsilon\,(v + a - b w)

1차원에서는 감쇠 없이 일정 속도로 달리는 진행 펄스가, 2차원에서는 파면을 끊어 만든 나선파가 나온다. 이 나선파의 팁이 표류하거나 불안정해져 잘게 쪼개지는 과정이 심장 부정맥(세동)의 표준 모형이다. 같은 반응-확산 틀에서 나오지만 정지 패턴을 다루는 튜링 패턴과는 성격이 다르다 — 튜링 쪽은 확산 계수 비에서 생기는 정상 패턴이고, 이쪽은 흥분성 매질의 진행파다. 벨루소프-자보틴스키 반응의 표적파·나선파가 실험실에서 보는 같은 부류다.

7. 수치적으로 무엇이 문제인가[편집]

강성. $\varepsilon = 0.01$ 이면 두 시간 척도가 100배 차이 나고, 여기에 느린-빠른 점프 구간에서 $\dot v$ 가 순간적으로 커진다. 명시적 룽게-쿠타법으로 풀면 안정성 제약 때문에 스텝이 극단적으로 작아진다. 전형적인 강성 방정식이라 암시적 도식이나 적응 스텝이 필요하다.
확산항이 얹히면 더 나쁘다. 명시적 확산은 $\Delta t \le \Delta x^{2}/(4D)$ (2D)에 묶이고, 반응항은 비선형이라 완전 암시적으로 풀면 매 스텝 뉴턴 반복이 든다. 실무 표준은 IMEX — 확산은 암시적(크랭크-니콜슨법이나 후진 오일러), 반응은 명시적으로 처리한다. 연산자 분리로 반응 단계와 확산 단계를 번갈아 푸는 방식도 심장 전기생리 코드에서 널리 쓰인다.
격자 해상도. 진행파의 파면 두께가 빠른 시간척도와 확산의 곱, 대략 $\sqrt{D}$ 규모라 격자가 성기면 파면 속도가 틀리거나 아예 전파가 멈춘다. 파면 두께당 최소 몇 개 셀이라는 기준을 지켜야 하고, 이건 격자 수렴 확인 없이는 절대 알 수 없다.

8. 나구모의 회로[편집]

모형 이름의 절반을 차지하는 나구모 준이치의 기여는 이 방정식을 실제 회로로 만든 것이다. 터널 다이오드는 특정 전압 구간에서 전류가 전압에 대해 감소하는 음성 미분 저항을 갖는데, 그 I-V 곡선이 딱 N자 3차 곡선이다. 여기에 인덕터와 저항을 직렬로 붙이면 인덕터 전류가 느린 회복 변수 $w$ 역할을 한다. 그렇게 만든 사다리형 회로망은 실제로 펄스를 전파시켰고, “신경 축삭 = 능동 전송선”이라는 그림에 물리적 실체를 줬다.³ 요즘도 뉴로모픽 소자에서 같은 원리(멤리스터, 모트 절연체의 상전이를 이용한 발진기)로 흥분성 소자를 만든다.

9. 관련 문서[편집]

문헌마다 표기가 제각각이다. $\varepsilon$ 대신 $1/\tau$ 를 쓰거나, $v^3/3$ 대신 $v(v-\alpha)(1-v)$ 꼴을 쓰는 판본(주로 심장 전기생리 쪽)도 흔하다. 논문 읽을 때 “이 논문의 FHN이 어느 판본인지”부터 확인하지 않으면 재현이 안 된다. 재현성 실패의 흔한 원인 1위. ↩
카나르(canard)는 프랑스어로 오리. 이 궤적을 위상평면에 그리면 오리 비슷하게 생겨서 붙은 이름이라는 설이 정설인데, 프랑스어에서 canard가 “가짜 뉴스”라는 뜻도 있어서 “이런 궤적이 존재한다는 게 처음엔 헛소문 취급받아서”라는 설도 같이 돈다. 둘 다 그럴듯해서 더 헷갈린다. ↩
Nagumo, J., Arimoto, S., Yoshizawa, S. (1962). “An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon.” Proc. IRE. 제목에 “시뮬레이팅”이 들어가 있는데, 이 시뮬레이션은 소프트웨어가 아니라 납땜으로 돌아갔다. 아날로그 컴퓨터가 현역이던 시절의 시뮬레이션. ↩