상전이

계산물리 통계 물리 마지막 수정: 2026-07-26 04:19:41

1. 개요[편집]

상전이(phase transition)는 온도·압력·자기장 같은 제어변수를 매끄럽게 바꾸는데도 계의 거시 상태가 어느 지점에서 비해석적(non-analytic)으로 급변하는 현상이다. 물이 100 ℃에서 끓고, 철이 퀴리점 1043 K에서 자성을 잃고, 헬륨이 2.17 K에서 초유체가 되는 그 지점들. 시뮬레이션 하는 사람 입장에서 상전이가 성가신 이유는 명확하다 — 거기서 상관길이가 발산하면서 유한한 격자와 유한한 표본이 전부 거짓말을 하기 시작한다.

핵심 개념 셋만 먼저 박아두자. 질서변수(order parameter)는 무질서상에서 0, 질서상에서 0이 아닌 거시량이다(강자성체의 자화 $M$ , 액체-기체의 밀도차 $\rho_l - \rho_g$ , 초전도체의 갭 함수). 상관길이 $\xi$ 는 요동이 서로 기억하는 거리다. 그리고 임계점은 $\xi \to \infty$ 가 되는 곳이다. 여기서는 상전이의 일반론에 집중하고, 구체 모형은 이징 모형 문서로 넘긴다.

2. 1차냐 2차냐 — 에렌페스트 분류와 그 현대판[편집]

에렌페스트의 원래 정의는 “자유에너지 $F$ 의 $n$ 차 도함수가 처음으로 불연속이면 $n$ 차 전이”였다. 지금은 실용적으로 둘로만 나눈다.

1차 전이: 질서변수가 점프한다. 자유에너지의 1차 도함수(엔트로피·부피)가 불연속이므로 잠열이 있고, 두 상이 공존하며, 준안정 상태와 이력(과냉각·과열)이 생긴다. 물의 끓음, 대부분의 응고, 1차 구조전이.
연속 전이(2차 전이): 질서변수가 임계점에서 연속적으로 0으로 간다. 잠열이 없고 $\xi$ 가 발산하며, 그 대가로 감수율·비열 같은 2차 도함수가 발산한다. 강자성 퀴리점, 액체-기체 임계점, 람다 전이.

시뮬레이션에서 둘을 구분하는 표준 수법은 에너지 히스토그램이다. 1차 전이에서는 전이온도 근처에서 $P(E)$ 가 두 봉우리로 갈라지고 그 사이 골이 계 크기에 지수적으로 깊어진다(계면 자유에너지 때문). 연속 전이에서는 봉우리 하나가 넓어질 뿐이다. 이 봉우리 사이 골 때문에 1차 전이에서는 단순 몬테카를로 방법이 한쪽 상에 갇혀버려서, 다정준(multicanonical)·왕-란다우 표본추출이나 병렬 템퍼링이 필요해진다.

3. 임계지수와 보편성[편집]

연속 전이 근처에서 물리량들은 환산온도 $t = (T-T_c)/T_c$ 의 멱법칙을 따른다.

M \sim (-t)^{\beta},\quad \chi \sim |t|^{-\gamma},\quad C \sim |t|^{-\alpha},\quad \xi \sim |t|^{-\nu},\quad G(r) \sim r^{-(d-2+\eta)}

여기서 놀라운 사실은 이 지수들이 물질의 세부사항에 거의 무관하다는 것이다. 격자 구조, 상호작용의 정확한 형태, 원자가 무엇인지 — 다 상관없다. 지수를 결정하는 것은 오직 공간 차원 $d$ 와 질서변수의 대칭성(성분 수), 그리고 상호작용의 도달거리뿐이다. 같은 지수 집합을 공유하는 계들의 모임을 보편성 부류(universality class)라 한다. 액체-기체 임계점과 단축 강자성체가 같은 3D 이징 부류에 속한다는 사실은 처음 들으면 사기 같지만, 실험으로 확인된 이야기다.¹

계	$\beta$	$\gamma$	$\nu$
평균장(란다우)	1/2	1	1/2
2D 이징(온사거)	1/8	7/4	1
3D 이징(수치·부트스트랩)	0.32642	1.2371	0.62997

지수들은 독립이 아니다. 러시브룩 $\alpha + 2\beta + \gamma = 2$ , 위덤 $\gamma = \beta(\delta-1)$ , 피셔 $\gamma = \nu(2-\eta)$ , 그리고 초스케일링 $2-\alpha = d\nu$ 가 성립한다. 초스케일링은 $d \ge 4$ 에서 깨진다 — 그 위에서는 평균장 지수가 정확해지기 때문이다.

4. 란다우 이론과 왜 그것만으로는 안 되는가[편집]

란다우는 질서변수 $m$ 이 작다는 가정하에 자유에너지를 대칭성이 허용하는 항으로 전개했다.

f(m) = f_0 + a(T)\,m^{2} + b\,m^{4} - h\,m, \qquad a(T) \propto (T - T_c)

$T > T_c$ 면 $m=0$ 이 유일한 최솟값, $T < T_c$ 면 $m = \pm\sqrt{-a/2b}$ 두 개로 갈라진다. 즉 연속 상전이는 자유에너지 지형에서 일어나는 초임계 갈래 분기다 — 이 관점의 일반론은 분기 이론 문서를 참고. $b<0$ 이면 6차항까지 필요해지고 전이는 1차가 된다.

란다우 이론은 그림을 정확하게 그려주지만 지수를 틀리게 준다( $\beta=1/2$ ). 이유는 요동을 무시했기 때문이며, 긴즈부르크 판정법에 따르면 요동이 무시 가능한 것은 상부 임계차원 $d_c = 4$ 위에서뿐이다. 3차원 현실에서는 요동이 지배적이라, 정확한 지수를 얻으려면 재규격화군이나 몬테카를로 방법이 필요하다. 참고로 2차원 XY 모형처럼 연속 대칭이 있는 경우 머민-바그너 정리에 의해 유한온도 질서 자체가 금지되며, 대신 소용돌이 쌍 풀림에 의한 BKT 전이라는 무한차 전이가 일어난다.

5. 유한 격자에서 $T_c$ 를 잡아내는 법[편집]

유한한 격자 $L$ 에서는 $\xi$ 가 $L$ 을 넘을 수 없으므로 발산이 둥근 봉우리로 잘린다. 이 잘림을 버그가 아니라 측정 도구로 쓰는 것이 유한크기 스케일링이다. 감수율은

\chi_L(T) = L^{\gamma/\nu}\,\tilde{X}\!\left(L^{1/\nu} t\right)

형태를 가지므로, 여러 $L$ 의 곡선을 $\chi L^{-\gamma/\nu}$ 대 $tL^{1/\nu}$ 로 다시 그렸을 때 하나로 겹쳐지는( $\,$ data collapse $\,$ ) $T_c,\nu,\gamma$ 조합이 답이다.

96×64 주기경계 격자에서 2D 이징 모형의 단일스핀 메트로폴리스 몬테카를로를 프레임당 약 3스윕씩 실제로 돌린다(가짜 애니메이션이 아니라 진짜 마르코프 연쇄). 기본값 T=2.27은 온사거 정확해 Tc=2/ln(1+√2)≈2.2692 바로 그 지점이라, 특정 크기의 도메인이 이기지 못하고 모든 크기의 덩어리가 공존하며 느리게 꿈틀대는 임계 요동과 임계 감속이 눈에 보인다. 슬라이더로 온도를 내리면 자발 자화가, 올리면 무질서가 나타난다. 단 격자가 유한하므로 상관길이는 64를 넘지 못하고, 여기서 보이는 전이의 '둥근 어깨'는 바로 그 유한크기 효과다.

가장 실전적인 도구는 비너(Binder) 누적률이다.

U_4 = 1 - \frac{\langle m^{4}\rangle}{3\,\langle m^{2}\rangle^{2}}

$T \gg T_c$ 에서 $m$ 이 가우시안이므로 $U_4 \to 0$ , $T \ll T_c$ 에서 두 델타함수라 $U_4 \to 2/3$ 로 간다. 그런데 정확히 $T_c$ 에서는 $U_4$ 가 (선행 차수에서) $L$ 에 무관해진다. 따라서 여러 $L$ 의 $U_4(T)$ 곡선을 겹쳐 그리면 한 점에서 교차하고, 그 교차점의 가로좌표가 $T_c$ 다. 지수를 몰라도 $T_c$ 를 먼저 뽑을 수 있다는 게 이 방법의 강점.²

6. 임계 감속과 클러스터 알고리즘[편집]

임계점에서 시뮬레이션이 느려지는 것은 게으름이 아니라 물리다. 마르코프 연쇄의 자기상관시간은

\tau \sim \xi^{\,z} \xrightarrow{\ \xi \to L\ } L^{z}

로 발산하며, 이를 임계 감속(critical slowing down)이라 한다.³ 단일스핀 뒤집기(메트로폴리스·글라우버)의 동역학 지수는 2D 이징에서 $z \approx 2.17$ 이다. 격자 변을 2배로 키우면 독립 표본 하나 뽑는 데 스윕이 약 $2^{2.17} \approx 4.5$ 배 더 든다. 스윕 자체도 $L^2$ 배 비싸지므로 총 비용은 $L^{4.17}$ — 격자를 키울수록 통계가 급격히 가난해진다.

탈출구는 클러스터 알고리즘이다. 스핀 하나가 아니라 상관된 덩어리를 통째로 뒤집는다.

스윈센-왕(1987): 포투인-카스텔레인 표현을 써서 같은 방향 이웃 사이에 확률 $p = 1 - e^{-2J/T}$ 로 결합을 놓고, 만들어진 모든 클러스터를 각각 독립적으로 무작위 뒤집는다.
울프(1989): 무작위 시드에서 클러스터 하나만 키워 무조건 뒤집는다. 구현이 더 간단하고 큰 클러스터를 선호해 보통 더 효율적이다.

두 알고리즘 모두 상세균형을 만족하면서 $z$ 를 극적으로 낮춘다(2D 이징 울프 알고리즘에서 $z \lesssim 0.4$ ). 다만 만능은 아니다 — 좌절(frustration)이 있는 스핀글라스나 외부장이 있는 계에서는 클러스터가 격자를 통째로 삼키거나 결합 규칙이 무너져서, 다시 병렬 템퍼링 같은 확장 앙상블 기법으로 돌아가야 한다.

7. 관련 문서[편집]

처음 이 얘기를 들으면 “물이랑 자석이 같은 지수라고요?”라는 반응이 나오는데, 실제로 그렇다. 임계점에서는 계가 세부사항을 다 잊어버리고 대칭성과 차원만 기억한다. 재규격화군은 이 망각 과정을 흐름으로 정식화한 것이다. ↩
다만 $U_4$ 교차점 자체에도 보정항이 있어서 $L$ 쌍마다 교차점이 조금씩 흘러간다. 논문 쓸 거면 $(L, 2L)$ 쌍의 교차점을 $1/L$ 에 대해 외삽하자. 리처드슨 외삽법과 정신이 같다. ↩
임계 감속은 다중격자법이 푸는 문제와 정확히 같은 병이다. 국소 갱신만으로는 장파장 오차/요동이 안 죽는다. 클러스터 알고리즘은 통계역학판 다중격자라고 봐도 크게 틀리지 않는다. ↩

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