하트만-그로브만 정리

1. 개요

하트만-그로브만 정리 Hartman–Grobman theorem
다른 이름	선형화 정리 (linearization theorem)
제시	D. M. 그로브만(1959) · P. 하트만(1960)
전제	평형점이 쌍곡: Re λ ≠ 0 (사상은 |λ| ≠ 1)
결론	국소 흐름이 선형화와 위상적으로 공액
매끄러움	일반적으로 C0(뇔더 연속)까지만
깨지는 곳	비쌍곡 평형점 → 중심 다양체 정리

하트만-그로브만 정리는 쌍곡 평형점 근방에서 비선형 계의 흐름이 그 선형화의 흐름과 위상적으로 공액이라는 정리다. 즉 평형점 주위의 작은 구슬 안에서는, 좌표를 연속적으로 구부려 주면 비선형 계의 궤도 그림이 $\dot{\boldsymbol\xi} = A\boldsymbol\xi$ 의 궤도 그림과 완전히 같아진다.

이 정리가 중요한 이유는 실무 습관 하나를 정당화해 주기 때문이다. 우리는 평형점에서 자코비안 행렬을 뽑고 고유값 실부의 부호만 보고 “안정/불안정”을 선언한다. 왜 선형 근사의 부호가 원래 비선형 계의 운명을 결정하는가? 답이 하트만-그로브만이다. 그리고 그 답에는 쌍곡성이라는 단서가 붙어 있다 — 이 단서를 잊는 순간 분기 이론에서 벌어지는 사고의 절반이 발생한다.

2. 쌍곡성이란

$\dot{\mathbf x} = \mathbf f(\mathbf x)$ 의 평형점 $\mathbf x^*$ 에서 $A = D\mathbf f(\mathbf x^*)$ 라 하자. $A$ 의 고유값이 하나도 허수축 위에 없으면($\mathrm{Re}\,\lambda_i \neq 0$) 그 평형점을 쌍곡(hyperbolic)이라 한다. 이산 사상에서는 기준이 바뀌어, 승수의 절댓값이 하나도 1이 아니면 쌍곡이다. 이때 상태공간이 불변 부분공간으로 쪼개진다.

$$\mathbb R^n = E^s \oplus E^u$$

$E^s$ 는 실부가 음인 고유값의 (일반화) 고유공간, $E^u$ 는 양인 쪽이다. 쌍곡점에서는 중심 성분 $E^c$ 가 없다. 감쇠도 증폭도 아닌 중립 방향이 없다는 뜻이고, 그래서 고차 비선형 항이 승부를 뒤집을 여지가 없다. 이것이 정리가 성립하는 직관적 이유 전부다.

3. 정리의 진술

$\mathbf f$ 가 $C^1$ 이고 $\mathbf x^*$ 가 쌍곡 평형점이면, $\mathbf x^*$ 의 근방 $U$ 와 원점의 근방 $V$, 그리고 위상동형 $h : U \to V$ 가 존재하여 궤도 위에서

$$h\big(\varphi_t(\mathbf x)\big) = e^{At}\,h(\mathbf x)$$

가 (양변이 정의되는 동안) 성립한다. 시간이 재매개화되지 않고 그대로 보존되므로 이것은 위상적 동등이 아니라 **위상 공액**이다. 사상 버전도 있다. $F$ 가 국소 미분동형이고 $\mathbf x^*$ 가 쌍곡 고정점이면 $F$ 는 그 근방에서 $DF(\mathbf x^*)$ 와 위상적으로 공액이다. 그로브만(1959)과 하트만(1960)이 독립적으로 얻었다.

세 가지 단서를 반드시 같이 외워야 한다.

• 국소적이다. 근방 $U$ 의 크기에 대해 정리는 아무 말도 안 한다. 실무에서 “선형 안정하니 안전하다”가 틀리는 이유의 대부분이 이것 — 근방 밖의 흡인 유역 경계가 코앞일 수 있다.
• 위상적이다. 보존되는 것은 궤도의 위상 구조(누가 어디로 가는가)뿐이다. 안정 마디와 안정 초점은 위상적으로 공액이므로, 정리는 나선을 그리는지 곧장 들어가는지조차 구분하지 않는다.
• 정량적이지 않다. 고유값이 모두 음수여도 $A$ 가 심하게 비정규 행렬이면 과도 성장이 수십 배 일어날 수 있고, 그 과도 성장이 비선형 항을 깨워 계를 유역 밖으로 던진다. 아임계 전단류 천이가 이 시나리오이며, 이럴 때 보는 것이 의사스펙트럼이다.

4. 왜 C⁰까지만인가 — 공명

정리는 위상동형만 준다. 미분동형, 즉 $C^1$ 이상의 좌표변환으로 선형화할 수 있느냐는 별개의 (그리고 훨씬 까다로운) 문제다. 장애물의 이름은 공명(resonance)이다. 고유값들 사이에

$$\lambda_i = \sum_{j=1}^{n} m_j \lambda_j, \qquad m_j \in \mathbb Z_{\ge 0}, \quad \sum_j m_j \ge 2$$

관계가 성립하면, 그 차수의 단항식은 매끄러운 좌표변환으로 지울 수 없다(푸앵카레-뒬락). 남는 항이 정규형 이론에서 말하는 공명항이다.

교과서 표본은 이것이다.

$$\dot x = -x, \qquad \dot y = -2y + x^2$$

고유값이 $-1, -2$ 라서 $\lambda_2 = 2\lambda_1$ 이라는 공명이 있다. 실제로 해가 $x = x_0e^{-t}$, $y = (y_0 + x_0^2\,t)\,e^{-2t}$ 로 $t$ 가 곱해진 항을 달고 나온다. 이 $t$ 를 매끄러운 좌표변환으로 없앨 수 없어서 $x^2$ 항은 정규형에 그대로 살아남는다. 그럼에도 이 계는 쌍곡이므로 하트만-그로브만은 여전히 성립한다 — 위상동형은 존재하고, 미분가능성만 잃는다.¹

매끄러움을 되찾으려면 조건을 더 걸어야 한다.

• 스턴버그의 정리. 유한 차수까지 공명이 없고 벡터장이 충분히 매끄러우면, 필요한 차수에 맞춰 $C^k$ 선형화가 존재한다. 해석적인 경우에는 푸앵카레의 정리(비공명 + 고유값이 한쪽 반평면에 몰려 있음)가 해석적 선형화를 주고, 지겔의 작은 분모 조건이 나머지 경우를 다룬다. 이름 있는 정리를 원하면 스턴버그 정리 쪽을 보면 된다.
• 하트만 자신의 $C^1$ 결과. 2차원 $C^2$ 계, 그리고 일반 차원의 쌍곡 흡인점·발산점(고유값이 전부 한쪽)에 대해서는 $C^1$ 선형화가 성립한다. 3차원 안장부터가 문제다.
• 벨리츠키 조건. $\mathrm{Re}\,\lambda_i \neq \mathrm{Re}\,\lambda_j + \mathrm{Re}\,\lambda_k$ 형태의 비공명 조건이 $C^1$ 선형화를 보장한다는 결과가 알려져 있다.

반면 안정·불안정 다양체 자체는 매끄럽다. 안정 다양체 정리에 따르면 $W^s, W^u$ 는 각각 $E^s, E^u$ 에 접하고 벡터장과 같은 $C^k$ 급이다. 즉 “다양체는 매끄럽지만 그 위의 시간 매개화를 선형 흐름과 맞추는 사전은 거칠 수 있다”가 정확한 그림이다.²

5. 증명은 어떻게 하나

증명의 골격은 의외로 수치해석자에게 친숙하다. 요약하면 공액 사상을 축소사상의 고정점으로 구성한다.

1. 계를 $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + \mathbf g(\mathbf x)$ 로 쓰고, 컷오프 함수를 곱해 $\mathbf g$ 를 유계이면서 립시츠 상수가 아주 작은 함수로 바꾼다. 국소 정리이므로 원점 밖을 마음대로 고쳐도 된다.
2. 찾는 위상동형을 $h = \mathrm{id} + u$ 로 놓으면, 공액 조건이 미지 함수 $u$ 에 대한 함수방정식이 된다.
3. 쌍곡성 덕분에 $E^s$ 성분은 앞으로, $E^u$ 성분은 뒤로 적분하면 각각 수렴한다. 이 “안정 방향은 미래로, 불안정 방향은 과거로” 트릭으로 방정식을 적분 연산자 형태로 바꾸면, 립시츠 상수가 작다는 조건 아래 그 연산자가 유계 연속함수 공간 위의 축소사상이 된다.
4. 바나흐 고정점 정리로 유일한 $u$ 를 얻고, 같은 논법을 역방향에도 적용해 역사상의 연속성을 확인하면 $h$ 가 위상동형임이 나온다.

이 구성은 $u$ 의 연속성과 유계성만 주고 미분가능성은 주지 않는다. 실제로 얻어지는 $h$ 는 일반적으로 뇔더 연속이며, 지수는 고유값 실부의 비율로 결정된다. 그리고 전 과정이 국소적이다 — 컷오프를 쓴 순간 원점 근방 밖의 정보는 버려졌기 때문에, “전역 하트만-그로브만”은 추가 가정 없이는 성립하지 않는다.

6. 쌍곡성이 깨지면

고유값 하나라도 허수축에 올라오면 정리는 즉시 침묵한다. 그리고 그것이 바로 분기가 일어나는 순간이라, 하트만-그로브만은 재미있는 일이 벌어지는 자리에서만 정확히 무용지물이다.

$$\dot x = \mu x - x^3$$

에서 $\mu=0$ 이면 선형화는 $\dot\xi = 0$, 즉 모든 점이 평형점인 계다. 원래 계는 원점이 (느리지만) 점근 안정이다. 두 계는 위상적으로 전혀 다르며, 선형화는 정답 근처에도 못 간다. 이 공백을 메우는 것이 중심 다양체 정리(어느 방향의 비선형을 봐야 하는가)와 정규형 이론(그 방향에서 어떤 항이 본질인가)이며, 결과물이 안장-마디 분기, 호프 분기 같은 정규형이다.

같은 이유로 쌍곡 평형점만 갖고 다른 퇴화가 없는 계는 구조적으로 안정하다. 계를 조금 흔들어도 평형점은 조금 움직일 뿐 위상 구조가 안 바뀐다. 분기점이란 정확히 이 성질이 깨지는 매개변수 값이다.

7. 수치·공학에서의 함의

• 선형 안정성 해석의 면허증. CFD 정상해에 대해 야코비안 고유값을 뽑아 “안정”이라 선언하는 행위, 구조 감쇠 고유값의 실부로 플러터 여부를 판정하는 행위, 모드 해석으로 진동 발산을 예측하는 행위 — 전부 이 정리에 기대고 있다. 조건은 하나, 고유값이 허수축에서 충분히 떨어져 있을 것.
• 허수축 근처는 회색지대. 고유값 실부가 $10^{-6}$ 이면 수학적으로는 쌍곡이지만 실무적으로는 아니다. 그 정도 값은 격자·수렴 허용오차·부동소수점 연산 잡음에 묻힌다. 이럴 때 부호를 믿고 결론을 내리는 대신 매개변수를 조금 바꿔 수치 연속법으로 가지를 따라가며 시험함수 영점을 잡는 것이 정석이다.
• 이산 버전이 따로 필요하다. 시간전진 솔버는 사상이므로 판정 기준이 $|\lambda|$ 대 1이다. 연속계 고유값 $\lambda$ 와 전진 오일러 승수 $1+h\lambda$ 의 부호·크기 관계가 어긋나는 구간이 존재하고, 거기서 동역학계 문서가 말하는 “가짜 안정성”이 생긴다.
• 큰 계에서는 스펙트럼 전체를 못 본다. 자유도 수백만짜리 야코비안의 고유값을 다 뽑을 수는 없으므로, 실무는 아놀디 알고리즘이나 크릴로프-슈어 방법으로 허수축에 가장 가까운 몇 개만 뽑는다. 정리가 요구하는 것도 딱 그것뿐이다 — 축을 건드리는 놈이 있는지 없는지.³

8. 관련 문서

• 동역학계 · 중심 다양체 정리 · 정규형 이론
• 분기 이론 · 안장-마디 분기 · 호프 분기
• 자코비안 행렬 · 고유값 문제 · 조르당 표준형
• 비정규 행렬 · 의사스펙트럼 · 행렬 지수함수
• 안장점 · 호모클리닉 궤도 · 카오스 이론
• 수치 연속법 · 아놀디 알고리즘 · 플러터

9. Footnotes

1. 그래서 “선형화해서 봤더니 궤도가 똑같더라”를 확인하고 만족했다가, 좌표변환의 야코비안을 계산하려는 순간 발산해서 당황하는 일이 생긴다. 정리가 약속한 것은 사전(위상동형)이지 매끄러운 사전이 아니다. ↩

2. 이 구분이 수치적으로 중요하다. $W^s, W^u$ 는 매끄러우니 고차 테일러 전개나 매개화 방법으로 안정적으로 계산할 수 있다. 반면 선형화 공액 사상 $h$ 를 직접 수치적으로 구하려 드는 사람은 거의 없다 — 필요도 없고 매끄럽지도 않다. ↩

3. 그러니 “고유값 다 뽑아야 하지 않나요”라는 질문에는 “허수축 근처 여섯 개면 충분하다”가 정답이다. 물론 그 여섯 개를 제대로 뽑는 데 필요한 시프트-인버트 전처리가 본체보다 어렵다는 것이 이 바닥의 유구한 전통이다. ↩