호장법

1. 개요

호장법 Arc-Length Method
별칭	Riks 법, Crisfield 법
분야	비선형 구조해석
해결 대상	극한점 · 스냅스루 · 스냅백
핵심 발상	하중계수를 미지수로 승격
제약	호(弧) 길이 구속방정식

하중을 계속 늘리기만 하는 해석은, 구조가 무너지기 시작하는 순간 절벽에서 발을 헛디딘다.

호장법(arc-length method)은 비선형 구조해석에서 하중-변위 곡선에 극한점(limit point)이나 스냅스루(snap-through)가 나타나는 문제를, 곡선 전체를 따라가며 안정적으로 추적하는 해법이다. Riks 법 또는 Crisfield 법이라고도 부른다. 핵심 발상은 단 하나 — 하중을 정해진 만큼 걸고 변위만 구하는 대신, 하중의 크기(하중계수) 자체를 미지수로 승격시키고, 대신 “한 걸음의 호(arc) 길이”를 새로운 구속 조건으로 거는 것이다.¹

이름의 “호장(弧長, arc length)“이 바로 그 구속을 가리킨다. 하중-변위 공간에서 매 증분(step)마다 일정한 거리만큼 곡선을 따라 나아가도록 강제함으로써, 하중이 증가하다 감소로 꺾이는 구간, 심지어 변위가 되돌아가는 구간까지 곡선을 놓치지 않고 걷는다.

2. 극한점 문제: 왜 하중 제어가 무너지나

비선형 정적 해석은 보통 전체 하중을 여러 증분으로 쪼갠 뒤, 각 증분에서 뉴턴-랩슨법으로 평형을 찾는다. 이때 하중을 정해두고($\lambda$ 고정) 변위만 미지수로 두는 방식을 하중 제어(load control)라 한다. 평범한 상황에서는 잘 작동한다.

문제는 극한점에서 터진다. 얕은 아치나 좌굴 직후의 쉘처럼, 하중을 올리다 보면 어느 지점에서 구조가 갑자기 꺼지며(snap-through) 하중-변위 곡선이 최댓값을 찍고 아래로 꺾이는 경우가 있다. 이 극한점을 넘어선 구간에는 “그 하중에 해당하는 평형해”가 존재하지 않는다. 하중 제어는 존재하지도 않는 해를 찾으려 하다가, 접선강성행렬이 특이(singular)해지며 발산한다.²

변위 제어(displacement control)로 바꾸면 스냅스루는 넘길 수 있지만, 이번엔 곡선이 변위 방향으로도 되돌아가는 스냅백(snap-back)에서 똑같이 무너진다. 하중도 변위도 단조증가하지 않는 구간이 존재하기 때문이다. 결국 어느 한 변수만 제어해서는 이 곡선을 완주할 수 없다.

3. 하중계수를 미지수로

호장법의 해법은 발상의 전환이다. 하중을 $\mathbf{f} = \lambda\,\mathbf{q}$로 쓰고(여기서 $\mathbf{q}$는 기준 하중 패턴, $\lambda$는 하중계수), $\lambda$를 변위 $\mathbf{u}$와 나란히 미지수로 삼는다. 이제 미지수가 하나 늘었으니 방정식도 하나 더 필요하다. 그 자리를 채우는 것이 호 길이 구속방정식이다.

평형 조건(잔차 = 0)은 그대로 두고,

$$\mathbf{r}(\mathbf{u}, \lambda) = \mathbf{f}_{\text{int}}(\mathbf{u}) - \lambda\,\mathbf{q} = \mathbf{0}$$

여기에 한 증분 동안의 변위 증분 $\Delta\mathbf{u}$와 하중계수 증분 $\Delta\lambda$가 정해진 호 길이 $\Delta l$을 갖도록 하는 구속을 추가한다.

$$\Delta\mathbf{u}^{\top}\Delta\mathbf{u} + \psi^2 \Delta\lambda^2\, \mathbf{q}^{\top}\mathbf{q} = \Delta l^2$$

여기서 $\psi$는 하중과 변위의 스케일을 맞추는 가중치다. $\psi = 0$으로 두면 변위만으로 거리를 재는 Crisfield의 원통형(cylindrical) 호장법이 된다. 이 확장된 연립방정식을 뉴턴-랩슨으로 풀면, 매 증분에서 $\mathbf{u}$와 $\lambda$를 동시에 갱신하며 곡선을 따라간다. 구속방정식이 2차식이라 근이 둘 나오는데, 이전 진행 방향과의 내적으로 되돌아가지 않는 근을 고르는 것이 관건이다.

4. Riks와 Crisfield

호장법에는 몇 가지 계보가 있다.

• Riks / Wempner (1971~72) — 원조. 구속을 하중-변위 공간의 접선에 수직인 평면(hyperplane)으로 잡는다. 개념이 깔끔하지만 급격한 곡률에서 불안정할 수 있다.
• 수정 Riks (Ramm) — 접선 평면을 매 반복 갱신해 강건성을 높였다. Abaqus의 *STATIC, RIKS가 이 계열이다.
• Crisfield (1981)의 구형(spherical/cylindrical) 호장법 — 구속을 구(또는 원통)로 잡아 곡선을 더 안정적으로 추적한다. 오늘날 상용 코드 구현의 주류.³

세부 구현은 달라도 정신은 하나다 — 하중과 변위를 대등하게 놓고, 둘이 함께 만드는 곡선 위를 일정한 보폭으로 걷는다.

한 가지 실무적 요령은 호 길이의 자동 조정이다. 어떤 증분에서 뉴턴-랩슨 반복이 몇 번 만에 수렴했는지를 보고, 빨리 수렴하면 다음 호 길이를 키우고 반복이 많이 필요했으면 줄인다. 목표 반복 횟수 $N_{\text{tgt}}$와 실제 반복 횟수 $N_{\text{cur}}$의 비로 다음 보폭을 정하는 식이 흔히 쓰인다.

$$\Delta l_{\text{new}} = \Delta l_{\text{old}} \sqrt{\frac{N_{\text{tgt}}}{N_{\text{cur}}}}$$

이렇게 하면 곡선이 완만한 구간은 큰 보폭으로 성큼 지나가고, 극한점 근처의 급커브에서는 자동으로 보폭을 줄여 조심스럽게 넘어간다. 완만한 구간을 잘게 밟는 낭비와 급커브에서 가지를 놓치는 사고를 동시에 피하는, 사실상 필수 장치다.

5. 실무에서의 호장법

호장법은 후좌굴(post-buckling) 거동이 관심사인 문제에서 사실상 표준이다.

• 쉘·아치 좌굴 — 얇은 곡면 구조의 스냅스루·후좌굴 경로 추적. 좌굴 이후 잔여 하중지지 능력을 보려면 극한점을 넘겨야 한다.
• 복합재 박판 — 좌굴 후 국부 좌굴 모드가 연달아 나타나는 곡선을 완주해야 한다.
• 스냅핏·탄성 불안정 — 클립·버클처럼 일부러 튀는(snap) 거동을 설계하는 부품.

한계도 분명하다. 호장법은 준정적(quasi-static) 문제의 평형 경로를 그리는 도구라, 동적 관성이 지배하는 실제 스냅 순간의 시간 이력을 주지는 못한다. 관성까지 보려면 명시적 동해석으로 넘어가는 것이 보통이다. 또한 호 길이 $\Delta l$을 너무 크게 잡으면 곡선의 급커브를 놓치고 엉뚱한 가지로 점프하므로, 자동 호 길이 조정(수렴 반복 횟수에 따라 $\Delta l$을 늘리고 줄이는)이 사실상 필수다. 그래도 극한점 앞에서 발산하는 대신 곡선을 끝까지 완주해 준다는 점에서, 비선형 해석자에게 호장법은 스냅스루 지옥의 구원투수로 통한다.

6. 관련 문서

• 비선형 구조해석
• 뉴턴-랩슨법
• 좌굴
• 명시적 동해석
• 유한요소법 · 강성행렬
• Abaqus

7. Footnotes

1. 그래서 호장법을 처음 배우면 “하중을 미지수로 둔다니?”라며 잠깐 뇌가 정지한다. 우리가 정하는 건 하중의 절대 크기가 아니라 “곡선 위에서 얼마나 나아갈지”이고, 실제 하중은 구조가 스스로 정하게 맡기는 것이다. 하중 제어에서 곡선 제어로의 관점 전환이 이 방법의 전부다. ↩

2. 극한점에서 접선강성행렬이 특이해지는 건 물리적으로 당연하다. 그 지점이 바로 “무한소의 하중 증가에 유한한 변위로 응답”하는, 즉 강성이 0이 되는 순간이기 때문이다. 하중 제어의 발산은 버그가 아니라 물리의 정직한 반영이다. ↩

3. Crisfield, M. A. (1981). “A fast incremental/iterative solution procedure that handles snap-through.” 제목에 대놓고 snap-through를 박아넣은 이 논문이, 좌굴 해석자들에게는 복음서 같은 존재다. Crisfield의 두 권짜리 비선형 FEM 교재는 지금도 이 분야의 표준 참고서다. ↩