관성력

편집 역사 토론
물리 고체역학 시뮬레이션 마지막 수정: 2026-09-06 04:14:22

1. 개요[편집]

관성력
Inertial Force / Fictitious Force
다른 이름겉보기 힘 · 가상력 · 유사력(pseudo-force)
정의$-m\mathbf a_{\text{frame}}$ — 좌표계의 가속도에 질량을 곱해 부호를 뒤집은 것
구성병진 · 원심 · 코리올리 · 오일러
제3법칙 짝없다
사라지는 조건관성계로 돌아가면 항이 전부 소멸
한 줄 요약좌표계의 죄를 힘에 뒤집어씌워 $\mathbf F=m\mathbf a$ 의 모양을 지킨다

버스가 급정거했을 때 몸이 앞으로 쏠리는 것을 “관성력이 밀었다”고 설명해도 되고, “버스가 뒤로 갔다”고 설명해도 된다. 둘 다 옳지만, 계산기는 전자를 좋아한다.

관성력(inertial force, fictitious force)은 가속하는 좌표계에서 관측한 운동을 기술할 때, 뉴턴 제2법칙 F=ma\mathbf F=m\mathbf a 의 형태를 그대로 유지하려고 우변에서 좌변으로 옮겨 넣는 항 −maframe-m\mathbf a_{\text{frame}} 을 말한다. 실재하는 상호작용에서 나온 힘이 아니라 좌표계 선택에서 나온 항이며, 그래서 뉴턴 제3법칙의 반작용 짝이 존재하지 않고 관성계로 되돌아가면 통째로 사라진다.

“가짜 힘”이라는 이름 때문에 무시해도 되는 것처럼 들리지만 정반대다. 회전 기계 해석, 지구 규모 유동, 위성 궤도, 로봇 팔의 실시간 제어, 자유-자유 구조물의 정적 해석 — 실제 시뮬레이션 코드가 다루는 문제의 상당수는 관성계를 쓰는 것이 오히려 손해여서, 일부러 비관성 좌표계로 옮긴 다음 관성력 항을 손으로 넣어 준다. 격자를 회전시키지 않고 유동만 회전 좌표계에서 푸는 회전 좌표계 기법이 대표적이다.

용어 하나만 미리 정리한다. 이 문서의 관성력은 비관성 좌표계에서 나오는 항이고, 달랑베르 원리에서 말하는 “관성력” −mr¨-m\ddot{\mathbf r} 은 관성계에서 계산한 가속도 항을 이항한 것이다. 형태가 우연히 같아 보이는 경우가 있지만 논리적 지위가 다르며, 그 구분은 아래에서 따로 다룬다.

2. 가속 좌표계 항의 완전한 분해[편집]

관성계의 위치 r\mathbf r, 비관성계의 원점 R(t)\mathbf R(t), 그 좌표계의 각속도 ω(t)\boldsymbol\omega(t), 비관성계에서 본 위치·속도·가속도를 r′,v′,a′\mathbf r',\mathbf v',\mathbf a' 라 하자. 벡터의 시간 미분이 회전계에서 (ddt)관성=(ddt)회전+ω×\left(\tfrac{d}{dt}\right)_{\text{관성}}=\left(\tfrac{d}{dt}\right)_{\text{회전}}+\boldsymbol\omega\times 로 바뀐다는 사실을 두 번 적용하면

a=R¨+a′+2 ω×v′+ω×(ω×r′)+ω˙×r′\mathbf a=\ddot{\mathbf R}+\mathbf a'+2\,\boldsymbol\omega\times\mathbf v' +\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r')+\dot{\boldsymbol\omega}\times\mathbf r'

이 나온다. 이것을 F=ma\mathbf F=m\mathbf a 에 넣고 ma′m\mathbf a' 만 좌변에 남기면 목표 형태가 완성된다.

ma′=F− mR¨⏟병진− m ω×(ω×r′)⏟원심− 2m ω×v′⏟코리올리− m ω˙×r′⏟오일러m\mathbf a'=\mathbf F \underbrace{-\,m\ddot{\mathbf R}}_{\text{병진}} \underbrace{-\,m\,\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r')}_{\text{원심}} \underbrace{-\,2m\,\boldsymbol\omega\times\mathbf v'}_{\text{코리올리}} \underbrace{-\,m\,\dot{\boldsymbol\omega}\times\mathbf r'}_{\text{오일러}}

우변의 뒤 네 항이 관성력 전부다. 더 있지도 덜 있지도 않다.

항크기무엇에 의존하나사라지는 조건
병진m∥R¨∥m\lVert\ddot{\mathbf R}\rVert원점 가속도만원점이 등속 직선
원심mω2ρm\omega^2 \rho (ρ\rho = 회전축까지 수직거리)위치만축 위에 있음
코리올리2mωv⊥′2m\omega v'_\perp상대 속도만계에 대해 정지
오일러m∥ω˙∥ ρm\lVert\dot{\boldsymbol\omega}\rVert\,\rho각가속도등속 회전

여기서 몇 가지 성질이 즉시 읽힌다.

  • 원심력은 축에서 바깥으로 향한다. −mω×(ω×r′)=mω2ρ-m\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r')=m\omega^2\boldsymbol\rho 이므로 그냥 위치의 함수이고, 따라서 퍼텐셜 −12mω2ρ2-\tfrac12 m\omega^2\rho^2 로 쓸 수 있다. 회전계의 에너지 보존(야코비 적분)이 성립하는 근거가 이것이다.
  • 코리올리 힘은 일을 하지 않는다. v′⋅(ω×v′)=0\mathbf v'\cdot(\boldsymbol\omega\times\mathbf v')=0 이므로 항상 속도에 수직이고, 운동에너지를 바꾸지 않고 방향만 휜다. 자기장 속 로런츠 힘과 구조가 같은 이유다.
  • 오일러 힘은 각가속도가 있을 때만 존재하며, 스핀 업/다운 과도상태나 요동치는 로터를 다룰 때만 등장한다. 정상 회전을 가정하는 해석에서 이 항을 빼먹고도 멀쩡한 이유가 여기 있다.

퍼텐셜을 갖는 원심 항과 갖지 않는 코리올리 항이 섞여 있다는 점이 중요하다. 회전계의 라그랑지안을 세우면 원심 항은 퍼텐셜에, 코리올리 항은 속도에 선형인 항(m v′⋅(ω×r′)m\,\mathbf v'\cdot(\boldsymbol\omega\times\mathbf r'))에서 나온다 — 전자기 벡터퍼텐셜과 같은 자리다. 자세한 정식화는 라그랑주 역학.

3. 달랑베르의 관성력과는 다른 물건이다[편집]

혼동이 잦은 지점이라 못을 박아 둔다.

  • 비관성계의 관성력(이 문서): 관측자를 관성계로 바꾸면 항이 사라진다. 원인은 좌표계의 운동이다.
  • 달랑베르의 관성력: 관성계에서 계산한 mr¨m\ddot{\mathbf r} 을 부호 바꿔 이항한 것. 관측자를 바꿔도 사라지지 않는다 — 애초에 좌표변환이 아니라 대수적 이항이기 때문이다. 목적은 동역학 문제를 “가상 정역학 문제”로 바꿔 가상일의 원리를 적용하는 것이다.

두 개념이 겹쳐 보이는 대표적 상황이 등속 회전하는 계에 정지해 있는 질점이다. 회전계 관측자는 “원심 관성력과 줄장력이 균형을 이룬다”고 하고, 관성계 관측자 겸 달랑베르 사용자는 “구심가속도의 관성력과 줄장력이 균형을 이룬다”고 한다. 숫자는 같고 논리는 다르다. 「관성력이 실재하느냐」 떡밥의 정리는 달랑베르 원리 쪽에 있으니 거기로 넘긴다.

4. 등가원리와의 연결[편집]

병진 관성력에는 특별한 성질이 하나 있다. 질량에 정확히 비례한다. 그래서 균일 가속 좌표계 안의 모든 물체는 똑같은 −A-\mathbf A 를 받고, 이것은 균일 중력장 안의 모든 물체가 똑같은 g\mathbf g 를 받는 것과 국소적으로 구별되지 않는다. 아인슈타인의 엘리베이터 사고실험이 이 관찰이고, 여기서 관성질량과 중력질량이 같다는 약한 등가원리가 일반상대성이론의 출발점이 된다.

주의할 것은 “국소적으로”라는 단서다. 실제 중력장은 균일하지 않아서 조석력(중력 기울기)이 남고, 그 기울기 — 정확히는 리만 곡률 — 은 좌표변환으로 없앨 수 없다. 좌표계로 없앨 수 있으면 관성력, 없앨 수 없으면 진짜 장. 이것이 두 개념을 가르는 실무적 판별식이다. 자세한 것은 등가 원리 쪽 몫으로 남긴다.

5. 코드가 실제로 하는 일[편집]

5.1. 회전 좌표계 CFD — 원심·코리올리 소스항[편집]

펌프 임펠러나 팬을 해석할 때 격자를 실제로 돌리는 것은 비싸다. 대신 유동 방정식을 회전 좌표계로 옮기고 관성력을 체적 소스항으로 넣는다. 상대속도 정식화에서 정상 회전(ω˙=0\dot{\boldsymbol\omega}=0, R¨=0\ddot{\mathbf R}=0)일 때 운동량 방정식은

∇⋅(ρ urur)+ρ[ 2 ω×ur+ω×(ω×r) ]=−∇p+∇⋅τ\nabla\cdot(\rho\,\mathbf u_r\mathbf u_r) +\rho\bigl[\,2\,\boldsymbol\omega\times\mathbf u_r+\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)\,\bigr] =-\nabla p+\nabla\cdot\boldsymbol\tau

가 된다. 왼쪽 대괄호가 통째로 관성력이고, 부호가 반대편으로 넘어와 있을 뿐이다. 여기서 실무적으로 물리는 것이 두 가지다.

  • 원심 항은 압력에 흡수시킬 수 있다. 퍼텐셜을 가지므로 p∗=p−12ρmω2r⊥2p^\ast=p-\tfrac12\rho_m\omega^2 r_\perp^2 (ρm\rho_m 은 밀도, r⊥r_\perp 은 회전축까지의 수직거리) 로 정의하면 방정식에서 사라진다. 상용 코드가 회전계 결과에서 “환산 압력(reduced pressure)“을 따로 출력하는 이유다. 반면 코리올리 항은 흡수되지 않는다 — 퍼텐셜이 없으니까.
  • 코리올리 항은 속도에 선형이라 암시적으로 처리할 수 있고, 그래야 한다. 명시적으로 두면 회전수가 커질 때 반복이 발산한다. 흔한 증상이 “RPM 올리니까 수렴이 안 된다”이다.

MRF(다중 기준계)·동결 로터·슬라이딩 메시의 차이와 인터페이스 처리는 회전 좌표계 기법과 터보기계 해석에서 다룬다.

5.2. 다물체 동역학 — 재귀 알고리즘의 편향 가속도[편집]

로봇 팔이나 차량 서스펜션의 순동역학을 푸는 재귀 알고리즘(RNEA·ABA)은 링크마다 부모 좌표계 기준으로 속도·가속도를 전파하는데, 이때 링크 좌표계가 이미 회전 중이므로 속도 곱 항(velocity-product term)이 자동으로 생긴다. 이것이 관성력의 재귀적 표현이고, 코드에서는 보통 편향 가속도 또는 C(q,q˙)q˙\mathbf C(\mathbf q,\dot{\mathbf q})\dot{\mathbf q} 라는 이름으로 등장한다. 원심 항은 q˙i2\dot q_i^2 에, 코리올리 항은 q˙iq˙j\dot q_i\dot q_j 교차곱에 대응하며, 그래서 “속도의 제곱에 비례하는 토크”라는 관측이 나온다 — 로봇을 빨리 돌리면 갑자기 안 따라가는 이유의 절반이 이것이다. 정식화 비교는 다물체 동역학·케인 방법·스크류 이론.

5.3. 회전체와 자이로스코프 항[편집]

축이 회전하면서 동시에 휘어질 때 코리올리 항이 비대칭 감쇠 행렬의 모양으로 조립된다. 이것이 회전체 동역학의 자이로스코프 행렬 G\mathbf G 이고, Mx¨+(C+ΩG)x˙+Kx=f\mathbf M\ddot{\mathbf x}+(\mathbf C+\Omega\mathbf G)\dot{\mathbf x}+\mathbf K\mathbf x=\mathbf f 에서 회전수 Ω\Omega 에 비례해 커진다. 반대칭이라 에너지를 소모하지 않으면서 고유진동수를 회전수에 따라 갈라놓고(전진/후진 세차), 그 결과가 캠벨 선도다. 회전수에 따라 고유값이 움직이므로 한 번의 모드 해석으로 끝나지 않는다는 것이 실무의 핵심.

5.4. 지구 규모 유동과 항법[편집]

지구 자전계에서 수평면 성분만 남기면 코리올리 매개변수 f=2Ωsin⁡ϕf=2\Omega\sin\phi 가 나오고, 관성력이 지배적인지 여부를 재는 무차원수가 로스비 수 Ro=U/(fL)\mathrm{Ro}=U/(fL) 다. Ro≪1\mathrm{Ro}\ll1 이면 압력 기울기와 코리올리 힘이 균형을 이루는 지형류(geostrophic) 근사가 성립하고, 수치기상예보 모델의 골격이 여기서 나온다. 푸코 진자의 세차 각속도가 Ωsin⁡ϕ\Omega\sin\phi 인 것도 같은 항의 귀결이다.1 반대편 극단으로 관성항법 장치는 가속도계가 중력과 병진 관성력을 구분하지 못한다는 사실(비력, specific force) 위에 서 있어서, 자세 추정으로 중력을 빼 주지 않으면 위치가 시간의 제곱으로 발산한다.

6. 구조해석의 관성완화[편집]

자유-자유 구조물에 하중을 걸고 정적 해석을 돌리면 K\mathbf K 가 특이해서 풀리지 않는다. 강체 모드 6개가 영공간에 있기 때문이다. 그런데 비행 중인 항공기나 공중의 위성처럼 애초에 구속이 없는 물체의 응력을 알고 싶은 경우가 실제로 많다. 여기서 쓰는 것이 관성완화(inertial relief)다.

발상은 달랑베르 그대로다. 외력 합력으로부터 강체 가속도를 먼저 구하고,

arigid=Mrb−1 RTf,feff=f−MR arigid\mathbf a_{\text{rigid}}=\mathbf M_{\text{rb}}^{-1}\,\mathbf R^{\mathsf T}\mathbf f, \qquad \mathbf f_{\text{eff}}=\mathbf f-\mathbf M\mathbf R\,\mathbf a_{\text{rigid}}

여기서 R\mathbf R 은 강체 모드 행렬, Mrb=RTMR\mathbf M_{\text{rb}}=\mathbf R^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf R 은 강체 질량행렬이다. 관성력을 분포 체적력으로 되먹인 feff\mathbf f_{\text{eff}} 는 정확히 자기평형 상태(합력·합모멘트 0)여서 강체 모드에 직교하고, 따라서 최소한의 가상 구속(soft support)만 걸어도 유일하고 물리적으로 의미 있는 응력장이 나온다. NASTRAN의 INREL 옵션이 이 절차이며, 자동차 차체의 급제동 하중, 착륙 충격, 위성 발사 하중 케이스가 단골 사용처다.

실무 주의사항 셋.

  • 가상 구속점의 위치는 응력에 영향을 주지 않아야 정상이다. 위치를 바꿨는데 응력이 바뀌면 하중이 자기평형이 아니거나(입력 실수), 모델에 메커니즘이 남아 있다는 뜻이다. 좋은 무료 검증 수단이다.
  • 질량 모델링이 곧 하중 모델링이 된다. 관성완화에서는 질량 분포가 그대로 관성력 분포이므로, 비구조 질량을 대충 한 점에 몰아 놓으면 응력 분포가 통째로 거짓말이 된다.
  • 정적 해석이지 동해석이 아니다. 얻는 것은 “그 순간의 준정적 응력”이고, 구조의 탄성 진동은 들어 있지 않다. 진동이 중요하면 모드 해석이나 명시적 동해석으로 가야 한다.

7. 부호를 틀리는 곳 모음[편집]

관성력은 개념이 어려운 게 아니라 부호와 좌표계를 틀려서 죽는다. 재현성 높은 실수만 모으면 이렇다.

  1. ω\boldsymbol\omega 를 어느 계 성분으로 썼는가. 각속도 벡터 자체는 두 계에서 같지만, 그 성분 표현은 다르다. 회전 성분을 관성계 성분과 섞으면 조용히 틀린 결과가 나오고 발산도 하지 않는다.
  2. 코리올리 계수 2를 빠뜨림. 손유도에서 가장 흔하다. 검산은 회전 원판 위에서 반경 방향으로 등속으로 걷는 고전 문제로 하면 된다.
  3. 원심력을 구심력이라 부르기. 구심력은 실재하는 힘(줄장력·수직항력)이고 안쪽을 향한다. 원심력은 관성력이고 바깥을 향한다. 같은 자유물체도에 둘 다 그리면 이중 계상이다.
  4. 회전계에서 상대속도와 절대속도를 섞기. CFD의 절대속도 정식화에서는 소스항이 ρ ω×u\rho\,\boldsymbol\omega\times\mathbf u 한 개뿐인데, 여기에 상대속도 정식화의 항을 그대로 복사해 넣는 사고가 흔하다.
  5. 비정상 회전에서 오일러 항을 빠뜨림. 스핀업 해석에서 초기 토크가 안 맞으면 십중팔구 이것이다.

8. 여담[편집]

  • NASA와 각국 우주기관의 원심분리기 훈련 장비가 “인공 중력”을 만든다고 광고하지만, 정확히는 원심 관성력이다. 회전 반경이 짧으면 머리와 발의 ω2ρ\omega^2\rho 차이가 커져서 어지럼증이 심해지는데, 이 기울기가 존재한다는 것 자체가 앞서 말한 판별식 — 진짜 균일 중력장이 아니다 — 의 실증이다.
  • 회전 기준계에서 야구공이 휘어 보인다는 설명은 맞지만, 흔히 인용되는 “변기 물이 반구에 따라 반대로 돈다”는 사실상 틀렸다. 세면대 규모의 로스비 수는 10410^4 이상이라 코리올리 항이 배관 형상과 초기 각운동량에 완전히 묻힌다.2
  • 상용 CFD의 “회전 좌표계 결과에 나오는 압력이 이상하다”는 문의의 대부분은 환산 압력을 절대 압력으로 읽은 것이다. 게이지를 확인하는 데 30초, 원인을 찾는 데 이틀 걸린다.3

9. 관련 문서[편집]

10. Footnotes[편집]

  1. 푸코가 1851년 팡테옹에서 걸었던 진자는 길이 67 m, 추 28 kg. 파리 위도에서 하루 약 271° 회전한다. “지구가 돈다”를 실내에서 보여준 첫 실험이고, 동시에 관성력이 실재하지 않는다는 주장에 대한 가장 우아한 반박 — 물론 정확히는 “회전계에서 기술하면 그렇게 보인다”이다. ↩

  2. 통제된 실험에서는 실제로 재현된다. 지름 1 m 이상의 대야에 물을 채우고 하루 이상 정치시켜 초기 각운동량을 죽인 뒤 아주 천천히 빼면 반구에 따라 방향이 갈린다. 문제는 그 조건이 우리 집 화장실에 없다는 것. ↩

  3. 이 문서의 저자 집단은 “코리올리 항 암시적 처리 안 해서 발산”을 최소 세 번 목격했다. 회전수를 램프업하며 올리는 임시방편이 잘 통해서 근본 원인이 더 오래 숨는다. ↩