맥스웰 방정식

1. 개요

맥스웰 방정식 Maxwell's Equations
정립	제임스 클러크 맥스웰 (1861~1865)
방정식 수	4개 (미분형 기준)
분야	전자기학 × 고전장론
핵심 예언	전자기파 = 빛
수치해석	FDTD, FEM, MoM

신이 말씀하시길 “빛이 있으라.” 그리고 맥스웰 방정식이 있었다.

맥스웰 방정식(Maxwell’s Equations)은 전기장과 자기장, 그리고 전하·전류가 어떻게 생성되고 서로를 유도하는지를 완전하게 기술하는 네 개의 방정식이다. 제임스 클러크 맥스웰이 1860년대에 당시 흩어져 있던 전기·자기 법칙들을 하나의 체계로 묶으면서 정립했고¹, 고전 전자기학의 모든 것이 이 네 줄에서 흘러나온다.

놀라운 점은 이 방정식들이 단순히 전기와 자기를 설명하는 데서 그치지 않았다는 것이다. 맥스웰은 자기 방정식을 만지작거리다가 전자기 교란이 유한한 속도로 퍼져나가는 “파동”이라는 결론에 도달했고, 그 속도가 당시 측정된 빛의 속도와 소름 끼치게 일치한다는 사실을 발견했다. 즉 빛은 전자기파라는, 물리학 역사상 손꼽히는 통합이 이 방정식에서 튀어나온 것이다.

2. 네 개의 방정식

미분형(differential form)으로 쓴 맥스웰 방정식은 다음과 같다. 각각 이름이 붙어 있으며, 원래는 서로 다른 사람이 발견한 별개의 법칙들이었다.

가우스 법칙(전기장의 발산은 전하 밀도에서 나온다):

$$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$$

가우스 자기 법칙(자기 홀극은 존재하지 않는다 — 자기력선은 반드시 닫힌다):

$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$

패러데이 유도 법칙(변하는 자기장은 전기장을 휘감아 만든다):

$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

앙페르-맥스웰 법칙(전류와 변하는 전기장이 자기장을 휘감아 만든다):

$$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$$

여기서 $\mathbf{E}$는 전기장, $\mathbf{H}$는 자기장 세기, $\mathbf{D}$는 전기 변위, $\mathbf{B}$는 자속 밀도, $\rho$는 전하 밀도, $\mathbf{J}$는 전류 밀도다. 매질과의 관계는 구성 관계식(constitutive relation) $\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$, $\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$로 이어진다. 이 단순한 형태는 선형·등방·비분산 매질에서만 성립한다. 유전율이 주파수에 따라 변하는 분산 매질(금속, 생체 조직)이나 방향에 따라 다른 이방성 결정, 자기 포화가 있는 철심에서는 $\varepsilon$, $\mu$가 텐서·주파수 함수·비선형 함수가 되고, 시뮬레이션 비용의 상당 부분이 바로 이 구성 관계식을 다루는 데서 나온다. 위 식은 SI 단위계 기준이며, 가우스 단위계 교과서에는 $4\pi$와 $1/c$가 곳곳에 붙어 있으니 공식을 옮겨 적을 때 단위계부터 확인하자.

2.1. 적분형

같은 내용을 닫힌 곡면 $S$와 그 경계가 되는 닫힌 곡선 $\partial \Sigma$로 적으면 발산 정리·스토크스 정리를 거쳐 다음 적분형이 된다.

$$\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{enc}}, \qquad \oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} = 0$$ $$\oint_{\partial\Sigma} \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\frac{d}{dt}\int_\Sigma \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}, \qquad \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} = I_{\text{enc}} + \frac{d}{dt}\int_\Sigma \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}$$

(패러데이 식의 시간 미분을 적분 밖으로 뺀 형태는 고정된 곡면 $\Sigma$ 기준이다.) 적분형은 매질 경계처럼 필드가 불연속인 곳에서도 의미가 있어서, 경계면 조건 — 접선 $\mathbf{E}$ 연속, 법선 $\mathbf{B}$ 연속, 표면 전하만큼 법선 $\mathbf{D}$ 도약 — 이 여기서 바로 나온다. 유한체적법 계열 전자기 솔버나 FDTD의 적분형 유도(윤곽 경로법)가 출발하는 곳도 이 형태다.

3. 변위 전류 — 맥스웰의 한 방

네 방정식 중에서 맥스웰이 실제로 “추가”한 것은 앙페르-맥스웰 법칙 우변의 마지막 항, 즉 변위 전류(displacement current) $\partial \mathbf{D} / \partial t$ 하나뿐이다. 나머지는 이미 알려져 있던 법칙을 정리한 것이다. 그런데 이 한 항이 전자기학 전체의 판을 뒤엎었다.

원래의 앙페르 법칙 $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}$만으로는 축전기(커패시터) 극판 사이처럼 전류가 실제로 흐르지 않는 공간에서 자기장이 생기는 현상을 설명할 수 없었다. 게다가 이 형태는 전하 보존 법칙(연속 방정식)과도 모순을 일으킨다. 맥스웰은 “변하는 전기장도 전류처럼 자기장을 만든다”는 항을 손으로 끼워 넣어 이 문제를 봉합했고², 그 결과 전기장과 자기장이 서로를 무한히 유도하며 뻗어나가는 자기 지속(self-sustaining) 메커니즘이 완성되었다. 이게 바로 전자기파의 정체다.

전하 보존과의 관계는 한 줄로 검산된다. 앙페르-맥스웰 식에 발산을 취하면 회전의 발산은 항등적으로 0이므로

$$0 = \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{H}) = \nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf{D} = \nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t}$$

로 연속 방정식이 정확히 나온다. 변위 전류 항을 빼면 둘째 항이 사라져 $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$, 즉 “어디서도 전하가 쌓이거나 빠지지 않는다”는 정상 전류에서만 맞는 식으로 쪼그라든다 — 축전기가 충전되는 순간 바로 깨지는 조건이다.

3.1. 발산 방정식은 사실 구속 조건이다

같은 계산을 패러데이 식에 하면 $\partial(\nabla\cdot\mathbf{B})/\partial t = 0$이 나온다. 즉 두 회전 방정식(시간 발전식)과 연속 방정식만 있으면, 처음에 $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$, $\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho$를 만족시킨 초기값은 영원히 그걸 만족한다. 두 발산 방정식은 독립적인 발전 방정식이 아니라 초기 조건에 대한 구속(constraint)이다. 이게 수치해석에서 꽤 중요하다. 이산화된 회전 연산자가 이산 발산과 맞물려 $\mathrm{div}\,\mathrm{curl} = 0$을 정확히 지키면(Yee 격자가 그렇다) 가짜 자기 홀극이 생기지 않지만, 그렇지 않은 기법에서는 $\nabla\cdot\mathbf{B}$ 오차가 쌓여 비물리적 해(spurious mode)가 튀어나오고, 이를 막는 발산 정화(divergence cleaning) 같은 장치를 따로 달아야 한다.

4. 파동방정식과 빛의 속도

전하도 전류도 없는 진공($\rho = 0$, $\mathbf{J} = 0$)에서 맥스웰 방정식을 조합하면, 전기장과 자기장 각각이 다음과 같은 파동방정식을 만족한다는 것을 유도할 수 있다.

$$\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$$

이것은 전형적인 파동방정식이며, 파동의 전파 속도가 다음과 같이 두 물리 상수만으로 결정된다.

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$$

여기서 $\mu_0$는 진공의 투자율, $\varepsilon_0$는 진공의 유전율이다. 두 상수를 대입하면 약 $3 \times 10^8 \ \mathrm{m/s}$, 정확히 빛의 속도가 나온다.³ 맥스웰은 이 결과를 보고 “빛은 전자기 현상이다”라고 선언했다. 전기 실험과 자기 실험에서 얻은 상수 두 개를 곱하고 제곱근을 씌웠더니 빛의 속도가 튀어나온 것이니, 당시로서는 마법에 가까운 순간이었다.

4.1. 숫자로 검산

양	값	비고
맥스웰 1861년 추정	193,088 mi/s (≈ 3.107×10⁸ m/s)	웨버-콜라우슈의 전기 단위 비 측정에서
피조의 광속 측정	193,118 mi/s	차이 약 0.016 %
CODATA 2022 $\mu_0$	1.256 637 061 27×10⁻⁶ N/A²	$4\pi\times10^{-7}$보다 상대적으로 약 1.3×10⁻¹⁰ 작다
CODATA 2022 $\varepsilon_0$	8.854 187 8188×10⁻¹² F/m
$1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$	299 792 458.0 m/s	정의값 $c$와 반올림 자릿수 안에서 일치
자유공간 임피던스 $\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}$	≈ 376.730 Ω	흔히 $120\pi \approx 377$ Ω로 외운다

맥스웰이 패러데이에게 보낸 1861년 10월 편지에 두 숫자가 나란히 적혀 있다. 웨버-콜라우슈 측정은 전하를 정전기적으로 잰 단위와 전자기적으로 잰 단위의 비였을 뿐 빛과는 아무 관계없는 실험이었는데, 그 비가 광속과 0.02 % 안에서 맞아떨어졌다. 다만 당시 측정 정밀도는 이보다 훨씬 거칠었으니, 이 일치의 소수점 넷째 자리는 운이 좋았던 것으로 보는 편이 정직하다.

5. 왜 수치해석인가

맥스웰 방정식은 선형 편미분방정식이라 나비에-스토크스 방정식 같은 비선형 난류의 지옥은 없다. 하지만 그렇다고 만만한 것은 절대 아니다. 평면파, 무한 도선, 완벽한 구·원기둥 같은 고도로 대칭적인 경우를 제외하면 닫힌 형태의 해석해(closed-form solution)가 존재하는 경우가 극히 드물다. 이 점에서 맥스웰 방정식은 나비에-스토크스와 처지가 비슷하다 — 방정식은 아름답게 적혀 있는데, 실제 형상에 대고 풀려고 하면 손으로는 답이 안 나온다.

안테나 하나, 회로 기판 하나, 레이더에 잡히는 전투기 하나만 놓고 봐도 경계 형상이 복잡하고 매질이 불균질하기 때문에, 현실의 전자기 문제는 거의 전부 컴퓨터로 이산화해서 풀어야 한다. 대표적인 세 갈래는 다음과 같다.

기법	영역	이산화 대상	강점
FDTD	시간	공간 격자 전체	광대역, 시간 응답, 구현 직관성
유한요소법 (FEM)	주파수	부피 요소	복잡 형상, 불균질 매질
모멘트법 (MoM)	주파수	표면만	안테나 방사, 자유공간 산란

시간영역 대표 주자인 FDTD는 1966년 케인 이(Kane Yee)가 제안한 엇갈린 격자에서 출발한다. $\mathbf{E}$ 성분은 셀 모서리, $\mathbf{H}$ 성분은 면 중심에 반 칸씩 엇갈려 놓고 시간도 반 스텝씩 엇갈려 갱신하는 도약(leapfrog) 구조라, 공간·시간 모두 2차 정확도이면서 위에서 말한 이산 $\mathrm{div}\,\mathrm{curl} = 0$을 자동으로 만족한다. 대가는 명시적 기법의 숙명인 CFL 조건이다. 균일 정육면체 격자 $\Delta$에서 안정 조건은

$$c\,\Delta t \le \frac{\Delta}{\sqrt{3}}$$

이고, 파장당 10~20셀은 깔아야 위상 오차(수치분산)가 참을 만해진다. 그래서 칩 위 미세 구조 하나가 전체 시간 스텝을 끌어내리는 다중 스케일 문제가 FDTD 실무의 단골 고통이다. 열린 공간 문제는 계산 영역 끝에서 파동이 반사되지 않게 완전정합층(PML)으로 흡수시킨다.

반대로 저주파·준정적 문제(변압기, 모터, 와전류 해석)에서는 변위 전류가 전도 전류에 비해 무시할 만큼 작아서 이를 빼 버린 근사 방정식을 쓰고, 그만큼 시간 스텝 제약에서도 해방된다. 어느 항을 남기고 어느 항을 버릴지가 곧 솔버 선택이다.

즉 맥스웰이 남긴 네 줄의 방정식은, 21세기에 와서 전자기해석 엔지니어들이 슈퍼컴퓨터를 갈아 넣는 밥벌이의 원천이 되었다.

6. 관련 문서

• 전자기해석
• FDTD
• 유한요소법
• 모멘트법
• 나비에-스토크스 방정식
• 경계 조건
• CFL 조건 · 수치분산 · 완전정합층
• 파동방정식 · 헬름홀츠 방정식 · 도파관
• Yee 격자 · 연속 방정식
• 슈뢰딩거 방정식

7. Footnotes

1. 원래 맥스웰이 발표한 형태는 방정식이 무려 20개(스칼라 성분 기준)에 달하는 흉물스러운 물건이었다. 오늘날 우리가 외우는 우아한 벡터 4방정식은 후에 올리버 헤비사이드와 하인리히 헤르츠가 정리한 것이다. 정작 맥스웰 본인은 이 깔끔한 형태를 못 보고 세상을 떠났다. ↩

2. 교과서는 흔히 “연속 방정식과의 모순을 메우려고 넣었다”고 설명하지만, 이건 후대의 깔끔한 재구성에 가깝다. 맥스웰이 186162년 「물리적 역선에 대하여」에서 이 항에 도달한 경로는 탄성 매질 속 소용돌이와 ‘변위’라는 꽤 기계적인 에테르 모형이었다. 어쨌든 당시 직접 측정할 수 없던 항을 넣은 대담한 결정이었고, 188788년 헤르츠가 전자기파를 실험으로 검출하면서 맥스웰의 도박은 옳았음이 증명되었다. 모형의 비계는 무너지고 방정식만 살아남은 셈. ↩

3. 현대에는 인과관계가 뒤집혔다. 1983년부터 빛의 속도 $c$를 정확히 $299{,}792{,}458 \ \mathrm{m/s}$로 정의해 미터를 규정하고, 2019년 SI 재정의 뒤로는 오히려 $\mu_0$가 $4\pi\times10^{-7}$이라는 정의값을 잃고 측정량(미세구조상수에 묶임)이 되었다. $\varepsilon_0 = 1/(\mu_0 c^2)$도 따라서 측정량이다. 즉 이제는 $c$가 상수를 결정하지, 상수가 $c$를 결정하지 않는다. ↩