레온티예프 투입산출 모형

1. 개요

레온티예프 투입산출 모형 Leontief input–output model
균형식	$x=Ax+d$
해	$x=(I-A)^{-1}d$ (레온티예프 역행렬)
가해 조건	$\rho(A)<1$ ⇔ 호킨스-사이먼 조건
행렬 구조	$I-A$ 는 비특이 M-행렬
쌍대	가격 모형 $p=A^\top p+v$
제안	바실리 레온티예프 (1936), 1973 노벨 경제학상

자동차 한 대를 만들려면 강철이 필요하고, 강철을 만들려면 전기가 필요하고, 전기를 만들려면… 끝까지 더한 것이 역행렬이다.

레온티예프 투입산출 모형(Leontief input–output model)은 경제를 $n$ 개 산업 부문으로 나누고, 각 부문이 한 단위를 생산하는 데 다른 부문 생산물을 얼마씩 쓰는지를 고정 계수 행렬 $A$ 로 적어, 최종 수요를 맞추는 총산출을 선형 연립방정식으로 구하는 모형이다. 1936년 바실리 레온티예프가 미국 경제 표로 처음 계산했고, 이 업적으로 1973년 노벨 경제학상을 받았다.

경제학 문서처럼 보이지만 심위키에 있는 이유가 있다. 이 모형은 비음 행렬·M-행렬·노이만 급수·페론-프로베니우스 정리가 한꺼번에 등장하는 가장 유명한 응용이고, 수천 차원의 연립방정식을 반복법으로 푼 초창기 대규모 계산 중 하나다. 그래프 위의 같은 구조는 페이지랭크에서, 행렬 성질은 M-행렬에서 이어진다.

2. 모형

부문 $j$ 가 한 단위를 생산하는 데 부문 $i$ 의 생산물 $a_{ij}$ 단위를 쓴다고 하자(투입계수). 부문 $i$ 의 총산출 $x_i$ 는 다른 부문의 중간 수요와 가계·정부·수출 같은 최종 수요 $d_i$ 의 합이므로

$$x_i=\sum_j a_{ij}x_j+d_i\quad\Longleftrightarrow\quad (I-A)\,x=d.$$

$L=(I-A)^{-1}$ 을 레온티예프 역행렬이라 부른다. $L_{ij}$ 는 “부문 $j$ 의 최종 수요가 1 늘 때 부문 $i$ 가 직간접으로 늘려야 하는 산출”이고, 열 합 $\sum_i L_{ij}$ 가 부문 $j$ 의 산출 승수다.

모형의 가정은 강하다. 계수가 고정(규모에 대한 수익 불변, 투입 간 대체 없음)이고, 각 부문은 한 가지 동질 상품만 만든다. 그래서 단기 파급 효과 분석에는 강하지만, 가격이 바뀌어 기술이 대체되는 장기 효과는 못 본다. 그쪽은 계산 가능 일반균형(CGE) 모형의 영역이다.

3. 언제 풀리나 — 호킨스-사이먼과 M-행렬

$A\ge0$ 이므로 경제적으로 의미 있는 해는 $x\ge0$ 여야 한다. $A\ge0$ 이면 다음은 모두 동치다.

1. 모든 $d\ge0$ 에 대해 $x\ge0$ 인 해가 존재한다.
2. $\rho(A)<1$.
3. $I-A$ 의 모든 선행 주소행렬식이 양수다 (호킨스-사이먼 조건, 1949).
4. $I-A$ 는 비특이 M-행렬이고, $(I-A)^{-1}\ge0$.

조건 2 에서 $L=\sum_k A^k$ 가 바로 나오고, 비음 행렬의 합이니 $L\ge0$ 이다. 실제 데이터에서 이 조건은 거의 자동으로 만족된다 — 금액 단위 표에서 열 합 $\sum_i a_{ij}$ 은 “매출 1원당 중간재 구입액”이고, 부가가치가 양수인 한 1 보다 작다. 즉 $\lVert A\rVert_1<1$ 이 성립하고, 유도 노름 하나로 수렴이 보장된다. $A$ 가 기약이면 페론-프로베니우스 정리로 $L$ 의 모든 성분이 양수 — 어느 한 부문 수요가 늘면 경제 전체의 모든 부문 산출이 조금씩은 는다.

4. 계산 — 공급망을 한 단계씩

3부문 예제로 보자.

$$A=\begin{pmatrix}0.2&0.3&0.1\\0.1&0.1&0.3\\0.2&0.2&0.1\end{pmatrix},\qquad d=\begin{pmatrix}100\\50\\80\end{pmatrix}.$$

선행 주소행렬식은 $0.8,\ 0.69,\ 0.535$ 로 모두 양수(호킨스-사이먼 통과), $\rho(A)\approx0.531$ 이다. 해는 $x\approx(194.2,\ 130.8,\ 161.1)$, 산출 승수는 $(2.06,\ 2.26,\ 2.09)$ 이다. 부문 2 에 1 원을 쓰면 경제 전체 산출이 2.26 원 는다는 뜻이다.

노이만 급수 $x=d+Ad+A^2d+\cdots$ 를 항별로 읽으면 공급망의 층(tier) 이다. $Ad$ 는 1차 협력사, $A^2d$ 는 2차 협력사의 산출이다. 부분합의 상대 오차는

항 수 $k$	1	2	3	5	10	20
상대 오차	0.26	0.14	0.074	0.021	$8.8\times10^{-4}$	$1.6\times10^{-6}$

로 대략 $\rho^k$ 를 따라 줄어든다. 직접 효과만 보면 26% 를 놓친다는 것, 그리고 3~4 단계 너머의 간접 효과도 무시할 수 없다는 것이 투입산출 분석의 핵심 메시지다. 이 층별 분해를 경로 단위로 쪼갠 것이 구조 경로 분석으로, 탄소발자국에서 “어느 공급망 경로가 배출을 만드는가”를 찾는 데 쓴다.

실무 규모의 계산은 이렇다.

• 차원. 국가 표는 수십~수백 부문이고(한국은행이 5년마다 실측표를 낸다), 다지역 표는 국가 × 부문이다. WIOD 2016 판은 43개국+나머지 세계 × 56 부문 ≈ 2464 차원이다. 이 정도면 밀집 LU 분해 한 번이 노트북에서 1초 안이다.
• 역행렬을 만들지 마라 — 만들어도 된다. 수요 벡터 하나면 LU 로 풀거나 반복법(야코비·가우스-자이델, $\rho(A)$ 가 작아 수렴이 빠르다)을 쓴다. 다만 이 분야는 $L$ 의 원소 자체를 해석하므로 역행렬을 통째로 저장하는 게 관행이고, 2천 차원 밀집 행렬이면 그래도 괜찮다. 수만 차원의 고해상도 다지역 표에서는 희소 분해 + 다중 우변 풀이로 간다.
• 반올림에 둔감하다. $I-A$ 가 대각 우세에 가까운 M-행렬이라 조건수가 작고, 피벗 없이도 안정적이다(대각 우세 행렬).

5. 쌍대 · 확장

• 가격 모형. 부문 $j$ 의 단위 가격 $p_j$ 는 투입비 $\sum_i a_{ij}p_i$ 에 단위 부가가치 $v_j$ 를 더한 값이다. $p=A^\top p+v$, 즉 $p=(I-A^\top)^{-1}v$. 같은 역행렬의 전치이고, 유가나 임금이 오를 때 각 상품 가격으로 번지는 비용 파급을 계산한다.
• 고시 모형. 행 방향(산출 배분 계수)으로 정규화한 공급 측 판본. 공급 충격 해석에 쓰이지만 해석상 논쟁이 있다.
• 환경 확장. 부문별 단위 배출 계수 $f^\top$ 를 곱하면 최종 수요가 유발한 총배출 $f^\top L d$ 가 나온다. 국가 간 “소비 기준 탄소 배출” 통계가 이 식으로 만들어진다.
• 선형계획과의 관계. 대체 기술이 여럿이면 어떤 기술을 쓸지 고르는 문제가 선형계획법이 된다. 생산 기술이 하나뿐일 때 최적해가 레온티예프 해와 일치한다는 것이 대체 정리(non-substitution theorem)다.¹

6. 역사 한 토막

레온티예프는 1936년 논문에서 1919년 미국 경제를 부문별 거래표로 정리했지만, 당시 손계산 능력으로는 부문을 크게 묶어서 풀어야 했다. 1949년 하버드의 마크 II 계산기로 500 부문 자료를 42 부문으로 줄인 연립방정식을 풀었다는 일화가 선형대수 교과서들의 단골 도입부다.² 2차 대전 직후 미국 정부가 1947년 경제를 수백 부문으로 나눈 표를 만들면서 이 모형은 “컴퓨터로 경제를 푸는” 첫 대규모 수치 응용 중 하나가 됐다.³

7. 관련 문서

• 노이만 급수 · 스펙트럼 반지름 · 유도 노름
• M-행렬 · 페론-프로베니우스 정리 · 대각 우세 행렬
• LU 분해 · 반복법 · 리처드슨 반복
• 페이지랭크 · 선형계획법
• 계산 가능 일반균형 모형 · 구조 경로 분석

8. Footnotes

1. 새뮤얼슨 등이 1951년 무렵 정리했다. “기술이 여러 개 있어도 결국 하나만 쓴다”는 결론이라, 투입산출 모형이 고정 계수를 가정해도 생각보다 덜 억지라는 변론으로 쓰인다. 단 노동 외 본원적 생산요소가 하나뿐이어야 한다는 단서가 붙는다. ↩

2. 이 일화의 세부(부문 수, 계산 시간)는 교과서마다 조금씩 다르게 전해진다. 핵심은 “당시 최고의 계산기로도 차원을 줄여야 했다”는 것. 지금은 같은 크기를 스마트폰이 눈 깜짝할 새 푼다. ↩

3. 수치해석 쪽에서 보면 레온티예프는 반복법 수렴 조건을 경제 용어로 번역한 사람이다. "$\rho(A)<1$"을 “이 경제는 자기 자신을 먹어 치우지 않는다”로 읽으면 묘하게 뿌듯하다. ↩