와이블 분포

1. 개요

와이블 분포 Weibull Distribution
누적분포	$F(x) = 1 - \exp[-(x/\lambda)^k]$, $x \ge 0$
모수	형상 $k > 0$ (와이블 계수), 척도 $\lambda > 0$
고장률	$h(x) = (k/\lambda)(x/\lambda)^{k-1}$
평균	$\lambda\,\Gamma(1 + 1/k)$
특수한 경우	$k = 1$ 지수분포, $k = 2$ 레일리 분포
극값 이론	하한이 있는 원분포의 최솟값 극한
쓰임	수명·신뢰성, 취성 재료 강도, 풍속, 입도 분포

고장률이 시간의 거듭제곱으로 변하는 세계. 형상모수 하나로 「유아 사망」·「우발 고장」·「노화」를 다 그린다.

와이블 분포(Weibull distribution)는 누적분포가

$$F(x) = 1 - \exp\!\left[-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k}\right],\qquad x \ge 0$$

인 양수 연속 분포다. 스웨덴 공학자 발로디 와이블이 1939년 재료 강도의 통계 이론에서 쓰고 1951년 「폭넓게 적용되는 통계 분포 함수」라는 논문으로 널리 알렸다. 그 전에 프레셰(1927)가 극값 분포로, 로진과 람러(1933)가 분쇄된 석탄의 입도 분포로 같은 식을 썼다. 국내 문헌에서는 「바이불 분포」라고도 적는다.

공학에서 와이블이 사랑받는 이유는 고장률(위험률)이 $x^{k-1}$ 의 거듭제곱 꼴이라는 단순함이다. 형상모수 $k$ 하나가 「고장률이 줄어드는가, 일정한가, 늘어나는가」를 정한다. 그리고 극값 이론에서 「가장 약한 고리가 끊어지는」 최솟값 문제의 극한 분포라는 이론적 근거가 있다. 이 문서는 고장률 해석, 최약 링크와 크기 효과, 최대우도추정의 실제 계산과 소표본 편향, 그리고 풍속에서의 쓰임을 다룬다. 같은 극값 가족의 최댓값 쪽 이야기는 검벨 분포와 극값 통계에 있다.

2. 고장률 — 형상모수가 말해 주는 것

생존함수 $S(x) = 1 - F(x) = \exp[-(x/\lambda)^k]$ 에서 순간 고장률은

$$h(x) = \frac{f(x)}{S(x)} = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}$$

이다. 누적 고장률 $H(x) = (x/\lambda)^k$ 가 거듭제곱이라는 것이 와이블의 정의 그 자체라고 봐도 된다.

형상 $k$	고장률	해석	예
$k < 1$	감소	초기 고장(유아 사망) — 불량품이 먼저 걸러진다	반도체 초기 불량, 납땜 결함
$k = 1$	일정	우발 고장 — 무기억, 지수분포	외부 충격, 전자 부품의 사용 기간
$1 < k < 2$	증가, 오목	완만한 마모	베어링·기어 피로 수명($k \approx 1.1$~$1.5$ 가 흔하다)
$k = 2$	선형 증가	레일리 분포	풍속, 2차원 가우스 벡터의 크기
$k \approx 3.6$	증가	왜도가 0 이 되어 정규분포와 비슷	일부 재료 강도
$k \gg 1$	급증	정해진 수명 근처에서 몰려 죽는다	피로 한계 근처, 정밀 공정 부품

$k \approx 3.6$ 에서 정규와 비슷해지는 것은 실측으로 확인된다. 왜도가 $k = 3.6$ 에서 $5.6\times10^{-4}$, $k = 3.602$ 에서 $8.4\times10^{-5}$ 로 거의 0 이다. 그래서 와이블 계수가 3~4 인 데이터는 정규로 맞춰도 몸통이 비슷하지만, 와이블은 $x \ge 0$ 이고 왼쪽 꼬리가 0 에서 끊긴다 — 신뢰성에서 중요한 쪽은 바로 그 왼쪽 꼬리다.

욕조 곡선. 제품 전체 수명의 고장률은 흔히 「초기에 감소 → 중간에 평평 → 말기에 증가」하는 욕조 모양이다. 와이블 하나로는 단조 고장률만 표현되니, 실무는 구간별로 다른 $k$ 를 쓰거나 와이블 여러 개를 경쟁 위험(competing risks)으로 합친다. 「번인」(burn-in) 시험은 $k < 1$ 구간을 공장 안에서 소진시켜 출하 후 고장률을 낮추는 전략이다.¹

3. 최약 링크와 크기 효과

와이블이 처음 이 분포를 쓴 이유는 취성 재료의 강도가 시편 크기에 따라 달라지는 현상을 설명하기 위해서였다. 체적 $V$ 의 시편을 독립인 작은 체적 $V_0$ 조각 $V/V_0$ 개의 직렬 연결로 보자. 어느 한 조각이라도 깨지면 전체가 깨진다(최약 링크). 조각 하나의 파괴 확률이 $F_0(\sigma) = 1 - \exp[-(\sigma/\sigma_0)^m]$ 이면 전체의 생존 확률은 곱이 되어

$$P_f(\sigma; V) = 1 - \exp\!\left[-\frac{V}{V_0}\left(\frac{\sigma}{\sigma_0}\right)^{m}\right]$$

이다. 즉 체적이 바뀌어도 형상모수 $m$ 은 그대로이고 척도만 $V^{-1/m}$ 로 줄어든다. 같은 파괴 확률에서 두 크기의 강도 비는

$$\frac{\sigma_2}{\sigma_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{1/m}$$

이다. 체적을 10 배로 키우면 강도가 $m = 5$ 에서 0.631 배, $m = 10$ 에서 0.794 배, $m = 20$ 에서 0.891 배가 된다. 세라믹의 와이블 계수는 대략 5~20, 강재처럼 연성인 재료는 이 이론이 잘 맞지 않는다. 시편 시험(작은 막대)으로 얻은 강도를 실제 부품(큰 체적)에 그대로 쓰면 비보수적이 되는 이유이고, 세라믹 부품 설계는 이 식으로 유효 체적을 환산한다.²

극값 이론 쪽에서 보면 이건 「하한이 있는 원분포의 최솟값」이 와이블로 수렴한다는 피셔-티펫(1928)·그네덴코 극한 정리의 한 갈래다. 그리고 와이블은 최소 안정하다. $n$ 개 독립 와이블의 최솟값은 같은 $k$ 에 척도만 $\lambda n^{-1/k}$ 인 와이블이다. 위 크기 효과 식이 바로 이 성질이다. 최댓값 쪽 GEV 에서 상한이 있는 유형(역 와이블)과 혼동하지 말 것 — 검벨 분포가 말하는 「상한이 있는 바이불형」은 이 분포의 부호를 뒤집은 것이다.

4. 모수 추정 — 최대우도와 뉴턴법

표본 $x_1, \dots, x_n$ 의 로그우도를 $\lambda$ 에 대해 먼저 최대화하면 $\hat\lambda^k = \frac1n\sum x_i^k$ 로 닫힌꼴이 나오고, 이를 대입한 프로파일 방정식이 $k$ 하나에 대한 스칼라 방정식이 된다:

$$g(k) = \frac{\sum_i x_i^k \ln x_i}{\sum_i x_i^k} - \frac1k - \frac1n\sum_i \ln x_i = 0.$$

첫 항의 $k$-도함수는 가중치 $x_i^k$ 에 대한 $\ln x_i$ 의 분산이라 0 이상이고, $1/k^2 > 0$ 이 더해지니 $g$ 는 단조증가한다. 근이 하나뿐이고 뉴턴-랩슨법이 안정적으로 수렴한다. 참값 $k = 2.5$, $\lambda = 100$ 에서 20 개 표본을 뽑아 $k_0 = 1$ 에서 출발하면

$$1 \to 1.717 \to 2.394 \to 2.649 \to 2.6701 \to 2.670216006 \to 2.670216009$$

로 6 번 만에 배정밀도까지 수렴하고 $\hat\lambda = 102.09$ 다. SciPy 의 weibull_min.fit(x, floc=0) 결과와 소수 다섯째 자리까지 일치한다. 위치 모수를 0 에 고정하지 않은 3모수 와이블은 우도가 경계에서 무한대로 발산할 수 있어($k < 1$ 이고 위치가 최솟값에 다가갈 때) 훨씬 까다롭다.

소표본 편향. $k$ 의 최대우도추정량은 위로 치우친다. 참값 $k = 2.5$ 에서 4000 번 반복 실측하면 $\hat k$ 의 평균이 참값의

$n$	10	20	100
$E[\hat k]/k$	1.172	1.080	1.016

배다. 표본 10 개짜리 피로 시험에서 와이블 계수를 17% 과대평가하면 산포를 과소평가하는 것이고, 곧 하위 1% 수명(B1 수명)을 낙관하는 것이다. 표본이 적을 때 편향 보정 계수를 곱하거나 부트스트랩으로 신뢰구간을 내는 이유다.

중도절단. 신뢰성 시험은 대개 모든 시편이 고장 날 때까지 기다리지 않는다. 시간 $T$ 에서 시험을 끊으면 살아남은 시편은 「수명 $> T$」 라는 정보만 준다. 와이블은 이 경우에도 우도가 깔끔하다 — 프로파일 방정식에서 $\sum x_i^k$ 류의 합은 고장·생존 시편 모두에 대해, $\sum \ln x_i$ 와 $n$ 은 고장 난 시편에 대해서만 취하면 된다(코언 1965). 중도절단을 무시하고 고장 난 것만 맞추면 수명을 체계적으로 짧게 추정한다.

와이블 확률지. $\ln[-\ln(1 - F)] = k\ln x - k\ln\lambda$ 이므로 정렬한 데이터를 $(\ln x_{(i)},\ \ln[-\ln(1 - \hat F_i)])$ 로 찍으면 직선이 나오고 기울기가 $k$ 다. 플로팅 위치로는 버나드 근사 $\hat F_i = (i - 0.3)/(n + 0.4)$ 가 신뢰성 실무의 관례다. 그림 자체가 진단 도구라, 두 기울기로 꺾이면 고장 모드가 섞였다는 신호다. 다만 회귀로 구한 기울기는 최대우도보다 분산이 커서, 수치는 최대우도로 내고 그림은 확인용으로 쓰는 게 낫다.

5. 풍속과 에너지

풍력 자원 평가에서 시간별 풍속은 와이블로 맞추는 것이 국제 관례이고, 많은 지점에서 $k \approx 2$ (레일리)가 나온다. 바람 에너지는 $\frac12\rho v^3$ 이라 평균 출력은 $E[v^3] = \lambda^3\Gamma(1 + 3/k)$ 에 비례한다. 평균 풍속만 알고 $\bar v^3$ 으로 출력을 계산하면 얼마나 틀리나 — 비 $E[v^3]/E[v]^3$ 은

$$\frac{\Gamma(1+3/k)}{\Gamma(1+1/k)^3} = 2.72\ (k = 1.5),\quad 1.91\ (k = 2),\quad 1.40\ (k = 3)$$

이다. 레일리 바람에서 평균 풍속으로 계산한 출력은 실제의 절반밖에 안 된다.³ 이 비를 풍력 업계에서는 에너지 패턴 인자라고 부른다. 형상모수가 작을수록(바람이 변덕스러울수록) 같은 평균 풍속에서 에너지가 많다는 직관에 반하는 결과가 여기서 나온다. 물론 실제 발전량은 터빈 출력 곡선의 정격·차단 풍속에서 잘리므로 이 비가 그대로 발전량이 되지는 않는다.

6. 난수 생성과 시뮬레이션

$F$ 의 역함수가 닫힌꼴이라 역변환 표본추출이 바로 된다. 균등 난수 $U$ 로

$$X = \lambda\,[-\ln(1 - U)]^{1/k}$$

이다. $1 - U$ 대신 $U$ 를 써도 분포는 같지만, $U$ 가 0 이 될 수 있는 생성기라면 로그가 터지니 열린 구간 $(0, 1)$ 을 보장하는 쪽을 쓴다. 신뢰성 해석의 몬테카를로에서 부품 수명을 와이블로 뽑아 시스템 고장 시간을 시뮬레이션하는 것이 표준 워크플로이고, 피로 해석에서 S-N 곡선의 수명 산포를 와이블로 넣는 것도 같다. 고장률이 거듭제곱이라 비균질 포아송 과정의 강도 함수로 쓰는 경우(크로-AMSAA 모형, 수리 가능 시스템의 신뢰성 성장)도 흔하다 — 사건 수 쪽은 포아송 분포 문서의 솎아내기로 만든다.

7. 관련 문서

• 극값 통계 · 검벨 분포 · 감마 분포 · 포아송 분포 · 감마 함수
• 신뢰성 해석 · 피로 해석 · 파괴역학 · 최대우도추정 · 뉴턴-랩슨법
• 역변환 표본추출 · 부트스트랩 · 욕조 곡선 · 풍력 터빈

8. Footnotes

1. 고객 손에 가기 전에 공장에서 미리 「유아 사망」을 시켜 버리는 잔인한(?) 공정. 반대로 $k > 1$ 인 부품을 번인하면 수명만 깎아 먹는다. 와이블 계수부터 재고 굽든지 말든지 해라. ↩

2. 「시험편은 멀쩡했는데 실물은 깨졌다」의 공식 해명. 크게 만들수록 약해지는 건 재료가 변심해서가 아니라, 큰 덩어리일수록 치명적인 결함을 하나쯤 품고 있을 확률이 높아서다. 복불복의 수학적 정식화. ↩

3. 「평균 풍속 6 m/s 니까 6³ 으로 계산하면 되지」는 풍력 사업 타당성 보고서를 반토막 내는 국룰 실수다. 세제곱의 평균과 평균의 세제곱은 다르다 — 젠센 부등식이 가장 비싸게 청구되는 현장. ↩