완전파형역산

수치해석 계산물리 시뮬레이션 마지막 수정: 2026-09-03 04:21:47

상위 문서: 역문제

1. 개요[편집]

완전파형역산 Full Waveform Inversion (FWI)
자료	지진 기록의 파형 전체(진폭·위상·주시)
미지수	격자점마다의 속도·밀도·감쇠(수백만 개)
순문제	파동방정식 수치 전파
기울기	정방향 장 × 역시간 수반장의 영시차 상호상관
최적화	L-BFGS · 가우스-뉴턴 · 절단 뉴턴
분해능	이론상 파장의 절반까지
천적	사이클 스키핑 · 계산비용 · 파라미터 누화

주시는 파형에서 뽑아낸 숫자 하나다. 그 숫자를 버리고 파형을 통째로 쓰면 어떻게 될까 — 이 질문에 40년째 답하고 있는 분야다.

완전파형역산(full waveform inversion, FWI)은 **관측된 지진 기록의 파형 전체를 수치 모델링으로 계산한 합성 파형과 직접 맞추도록, 지하 물성 모형을 기울기 기반으로 반복 갱신하는 완전 비선형 역문제**다. 파의 도달 시각만 쓰는 지진 토모그래피의 주시 역산과 달리 진폭·위상·후속 위상·산란파를 전부 자료로 삼으며, 그 대가로 목적함수가 지독하게 비볼록해진다.¹

정식화는 라일리(1983)와 타란톨라(1984)가 세웠고, 개념적으로는 그때 이미 끝난 이야기였다. 그런데 산업 현장의 표준이 되는 데 25년이 더 걸렸다. 이유는 하나 — 3차원 파동 전파를 수십 번 반복해서 풀 컴퓨터가 없었기 때문이다. 2000년대 후반 클러스터가 그 문턱을 넘자마자 FWI는 탐사 지구물리의 주류로 올라섰고, 2010년 발할(Valhall) 유전에서 얕은 채널 구조를 기존 영상보다 압도적으로 선명하게 뽑아낸 사례가 결정적 전환점으로 인용된다.

2. 목적함수와 기울기 — 두 번의 파동 전파[편집]

가장 흔한 정식화는 최소제곱 잔차다. 모형 $\mathbf{m}$ , 진원 $s$ , 수신기 $r$ 에 대해

\chi(\mathbf{m}) = \frac{1}{2}\sum_{s}\sum_{r}\int_0^T \left| p_{\text{syn}}(\mathbf{x}_r,t;\mathbf{m}) - p_{\text{obs}}(\mathbf{x}_r,t)\right|^2 dt

미지수가 격자점 수백만 개이므로 기울기를 유한차분으로 구하는 것은 논외다. 수반법이 이 문제의 존재 이유에 가깝다. 밀도가 일정한 음향 근사에서 $m = 1/c^2$ 로 매개화하고 파동방정식을 $m\,\partial_t^2 p - \nabla^2 p = f$ 로 쓰면, 수반 문제는 잔차를 수신기 위치에 진원으로 주입해 시간을 거꾸로 전파시키는 것이 되고 기울기는 다음 형태가 된다.

\frac{\partial \chi}{\partial m(\mathbf{x})} = -\int_0^T p^{\dagger}(\mathbf{x},t)\,\frac{\partial^2 p(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}\,dt

$p$ 는 정방향 파동장, $p^{\dagger}$ 는 역시간 전파된 수반장이다. 즉 기울기는 두 파동장의 영시차 상호상관이고, 계산 비용은 진원 하나당 순전파 1회 + 역전파 1회다. 격자점이 100만 개든 1억 개든 이 비용은 변하지 않는다.²

이 구조가 낯익다면 맞다. 잔차를 역시간 전파해 정방향 장과 곱하는 연산은 역시간 이동(RTM)과 동일한 상관 연산이다. 그래서 매끄러운 초기 모형에서 계산한 FWI의 첫 기울기는 사실상 잔차의 역시간 이동 영상이다. FWI를 “반복 이동(iterative migration)“이라 부르는 관행이 여기서 나왔고, 반대로 말하면 이동 영상은 FWI의 1회 반복에 해당한다.

구현에서 걸리는 것은 메모리다. 역전파 시각 $t$ 에서 정방향 장 $p(\mathbf{x},t)$ 가 필요한데 정방향은 이미 지나갔다. 감쇠가 없는 파동방정식은 시간 가역이므로 최종 상태와 경계 이력만 저장해 정방향을 거꾸로 되살리는 재구성 기법이 표준이 됐고, 점탄성 항이 들어가면 되돌리기가 불안정해져 체크포인팅과 섞어 쓴다.

3. 사이클 스키핑 — 이 분야의 원죄[편집]

FWI를 처음 돌린 사람이 반드시 겪는 실패가 있다. 잘 수렴한 것처럼 보이는데 결과 모형이 완전히 엉뚱한 것.

원인은 최소제곱 파형 잔차의 성질에 있다.³ 합성 파형과 관측 파형이 반 주기 이상 어긋나면, 최적화기는 두 파형을 제대로 정렬하는 대신 옆에 있는 다른 파봉에 맞추는 쪽이 잔차를 더 빨리 줄인다고 판단한다. 한 번 그쪽으로 들어가면 되돌아 나올 길이 없다. 판정 기준은 지독히 단순하다 — 최저 주파수의 주기를 $T$ 라 할 때

|\Delta t| < \frac{T}{2}

를 초기 모형이 만족해야 한다. 즉 주파수를 낮추면 허용 오차가 커진다. 여기서 표준 처방이 나온다.

주파수 연속법(다중 스케일): 3~5 Hz 같은 저주파 대역만 남기고 역산해 큰 파장의 배경 속도를 잡은 뒤, 대역을 조금씩 넓혀 가며 짧은 파장을 채운다. 벙크스 등(1995)이 정식화한 이 전략은 사실상 모든 FWI 구현에 들어 있다.
오프셋·시간 창 연속법: 처음에는 초동과 원거리 굴절파(다이빙 웨이브)만 쓰고 점차 반사파 구간을 열어 준다. 초동일수록 배경 속도에 민감하고 세부 구조에 둔감하기 때문.
저주파를 실제로 획득한다: 결국 가장 확실한 해법이다. 이 때문에 탐사 업계가 저주파 성분을 늘린 광대역 진원(2 Hz 이하까지)과 장거리 스트리머에 돈을 쓴다. 알고리즘으로 못 이길 문제를 장비로 이긴 사례.
목적함수 자체를 바꾼다: 포락선 역산, 상호상관 주시 잔차, 최적수송(Wasserstein) 거리, 적응형 파형 역산(AWI) 등은 모두 잔차를 파형 대 파형으로 직접 비교하지 않아 반 주기 제약을 완화한다. 라플라스 영역 역산은 감쇠 항을 걸어 초동 위주의 매끄러운 성분만 남겨 초기 모형을 만드는 접근이다.⁴

그리고 저주파를 아무리 확보해도 배경 속도의 초기 모형은 여전히 다른 데서 와야 한다. 그 출처가 주시 토모그래피와 이동 속도 분석이다. 즉 지진 토모그래피는 FWI에 밀려난 게 아니라 FWI의 전처리 단계로 자리를 옮겼다.

4. 주시 역산과 무엇이 다른가[편집]

두 방법의 차이를 흐릿하게 두면 논문을 읽을 수 없다. 정리하면 이렇다.

	주시 토모그래피	완전파형역산
자료	도달 시각(요약 통계)	파형 표본 전체
물리	광선 이론(무한 주파수 근사)	파동방정식(유한 주파수)
민감도	광선 위 선적분 또는 유한주파수 커널	수반법으로 계산한 산란 커널
선형성	페르마 원리로 준선형화	강한 비선형·비볼록
분해능	프레넬 영역 규모	이론상 파장의 절반
안정성	정칙화만 하면 얌전함	사이클 스키핑에 취약
비용	광선 추적 또는 아이코날	3차원 파동 전파 × 진원 수 × 반복

핵심은 분해능과 안정성을 맞바꾼다는 것이다. 주시는 경로 전체의 평균이라 짧은 파장 정보를 원리적으로 담지 못하고, 파형은 담지만 그 대가로 목적함수에 국소 최소점이 촘촘히 박힌다.

파수 관점으로 보면 더 선명하다. 산란각 $\theta$ 로 산란된 성분이 담는 모형 파수는 $k \approx 2\omega\cos(\theta/2)/c$ 로, 저주파 + 넓은 산란각(투과·굴절파) 은 낮은 파수(배경 속도)를, 고주파 + 좁은 산란각(반사파) 은 높은 파수(층 경계)를 채운다. FWI가 주시 역산과 이동 영상 사이의 파수 공백을 메울 수 있다는 주장이 여기서 나오고, 동시에 그 공백을 메우려면 저주파와 원거리 자료가 둘 다 필요하다는 결론도 여기서 나온다.

5. 헤시안 — 조명 보정과 다중산란[편집]

기울기만 쓰는 최급강하법은 FWI에서 처참하게 느리다. 기울기가 물리적으로 조명 편차에 오염되어 있기 때문이다. 진원 근처는 에너지가 세고 깊은 곳은 기하 확산으로 약하므로, 기울기를 그대로 쓰면 얕은 곳만 계속 고친다.

이 보정을 담당하는 것이 헤세 행렬이다. 야코비안 $\mathbf{J} = \partial \mathbf{d}/\partial\mathbf{m}$ 에 대해

\mathbf{H} = \underbrace{\mathbf{J}^{T}\mathbf{J}}_{\text{가우스-뉴턴}} + \underbrace{\left(\frac{\partial \mathbf{J}}{\partial \mathbf{m}}\right)^{\!T}\!\Delta\mathbf{d}}_{\text{2차 항}}

두 항의 의미가 다르다.

가우스-뉴턴 항 $\mathbf{J}^T\mathbf{J}$ — 대각 성분은 각 격자점이 자료에 얼마나 강하게 조명되는지를 나타내므로, 그 역수를 곱하면 기하 확산과 획득 기하 편차가 보정된다. 비대각 성분은 서로 다른 격자점이 자료에 남기는 흔적이 겹치는 정도, 즉 영상의 흐림(blur)과 파라미터 사이의 누화를 담는다. 이걸 제대로 역산하면 영상이 디블러링된다.
2차 항 — 야코비안 자체가 모형에 의존한다는 사실, 즉 다중산란에서 온다. 1차 산란만 있는 상황에서는 무시해도 되지만, 강한 대비 구조(암염체, 가스층)나 반사파를 자료로 쓸 때는 이 항이 없으면 최적화가 엉뚱한 방향으로 간다.

실무에서 완전한 $\mathbf{H}$ 를 만드는 것은 불가능하다. 그래서 세 층으로 타협한다.

의사 헤시안 전처리 — 정방향 장의 에너지로 대각 성분을 근사해 기울기를 나눈다. 값싸고 효과가 크다.
L-BFGS — 지난 몇 번의 기울기·스텝 쌍으로 역헤시안의 저계수 근사를 누적한다. 저장량이 모형 벡터 10~20개 수준이라 3차원에서도 감당되고, 사실상 FWI의 기본 최적화기다.
절단 뉴턴 — 헤시안-벡터 곱을 2차 수반(second-order adjoint)으로 계산해 뉴턴 방정식을 크리로프 부분공간법으로 몇 번만 반복해 푼다. 곱 한 번에 파동 전파가 두 번 더 붙지만, 다중 파라미터 문제의 누화를 푸는 데는 이 정도 투자가 필요하다.

6. 진원을 모른다는 문제[편집]

FWI 정식화에는 조용히 숨은 미지수가 하나 더 있다. 진원 서명(source signature)이다. 발파나 에어건이 실제로 내보낸 시간 함수를 모르면 진폭과 위상이 통째로 어긋나 기울기가 오염된다.

다행히 이 미지수는 다루기 쉬운 편이다. 파동 전파는 진원에 대해 선형이므로, 주파수 영역에서 보면 각 주파수의 진원 스펙트럼은 최소제곱으로 닫힌 형태로 추정된다 — 프랫(1999)이 정리한 이 방식이 표준이다. 시간 영역에서는 모형 갱신과 진원 추정을 번갈아 돌리거나, 관측·합성 트레이스를 서로 컨볼루션해 진원 항을 상쇄하는 진원 독립 목적함수를 쓴다. 그럼에도 진원 추정과 얕은 속도 구조는 서로의 오차를 대신 흡수해 버리기 쉬워서, 진원이 틀린 채 얕은 층만 이상하게 나오는 실패는 흔하다.

7. 탄성·점탄성 확장과 계산비용[편집]

음향 근사는 편하지만 거짓이다. 실제 지구는 전단파를 전달하고 에너지를 흡수한다.

탄성 FWI는 $V_p$ , $V_s$ , $\rho$ 를 동시에 푼다. 문제는 파라미터 누화다. $V_p$ 섭동과 $\rho$ 섭동은 산란 방사 패턴이 달라 원리적으로 분리 가능하지만, 실제 획득 기하가 각도 범위를 좁게 덮으면 두 효과가 구별되지 않는다. 그래서 속도 대신 임피던스처럼 상관이 덜한 조합으로 매개화하거나, 밀도를 경험식으로 묶어 미지수에서 빼는 편법이 널리 쓰인다. $V_s$ 는 종파 자료만으로는 거의 제약되지 않고, 변환파와 표면파가 있어야 잡힌다 — 반대로 표면파를 적극적으로 쓰는 천부 탄성 FWI는 지반조사 분야에서 급성장했다.
점탄성 FWI는 $Q$ 를 함께 다룬다. 표준 선형 고체를 여러 개 겹친 메모리 변수로 감쇠를 구현해야 하므로 상태변수가 몇 배로 늘고, 시간 가역성이 깨져 파동장 재구성 전략도 손봐야 한다. 게다가 감쇠와 속도는 위상·진폭에 함께 영향을 주므로 또 하나의 누화 축이 생긴다.
이방성까지 넣으면 미지수는 더 늘어난다. VTI/TTI 매개변수를 얼마나 풀고 얼마나 고정할지가 곧 프로젝트 설계다.

비용 이야기를 빼놓을 수 없다. 반복 한 번의 비용은 대략 진원 수 × 2회 × 3차원 파동 전파이고, 해양 탐사에서 진원은 수만~수십만 발이다. 그래서 다음 절약술이 총동원된다.

진원 인코딩·동시 진원: 여러 발파를 무작위 위상이나 평면파로 합쳐 한 번에 전파시킨다. 교차항이 잡음으로 남지만 반복마다 인코딩을 바꾸면 평균적으로 지워진다.
확률적 부분표집: 반복마다 진원의 일부만 쓴다. 확률적 경사하강법의 논리를 그대로 가져온 것.
상반성: 수신기가 진원보다 적으면 둘의 역할을 바꿔 전파 횟수를 줄인다.
영역별 시간 스텝·격자: 저주파 단계에서는 격자를 거칠게 쓴다. 주파수 연속법이 비용 절감 전략이기도 한 이유.

순전파 솔버는 유한차분법 고차 스텐실이 여전히 주류이고, 복잡한 지형·계면을 다룰 때는 스펙트럴 요소법이 쓰인다. 2차원에서는 헬름홀츠 방정식을 희소 직접 분해로 한 번 풀어 놓고 모든 진원을 후진대입으로 처리하는 주파수 영역 FWI가 매우 효율적이지만, 3차원에서는 분해 메모리가 감당되지 않아 시간 영역으로 되돌아간다.

8. 현업에서의 현실[편집]

FWI 결과를 처음 보면 누구나 감탄하는데, 두 번째로 하는 일은 “이 구조가 자료에서 나온 건지 정칙화에서 나온 건지” 확인하는 것이다. 잔차 감소 곡선, 합성-관측 파형 중첩도, 초기 모형을 바꿔 본 재현성이 최소한의 증빙이다.
저주파가 없으면 아무것도 못 한다. 자료 획득 단계에서 이미 FWI의 성패가 절반 결정된다.
진폭을 믿을 수 있는지가 늘 문제다. 3차원 탄성 지구를 2차원 음향으로 모델링해 놓고 진폭까지 맞추라고 하면 모형이 물리적으로 말이 안 되는 방향으로 움직인다. 그래서 진폭 정규화나 위상만 쓰는 목적함수가 흔하다.
지구물리 밖에서도 같은 구조가 재발명됐다. 초음파 유방 영상, 비파괴 검사, 대기·해양 음향 역산이 전부 “파동장 + 수반 + 기울기 하강”의 같은 골격을 쓴다. 다른 점은 진원과 수신기를 원하는 대로 배치할 수 있어 조명 문제가 훨씬 낫다는 것.
계산량 이야기를 하면 CFD 하는 사람들이 위로를 건네고, 비용 이야기를 하면 탐사 회사 사람들이 웃는다. 3차원 탐사 자료 한 세트를 얻는 데 드는 배 운용비가 클러스터 값을 압도하기 때문이다.

9. 관련 문서[편집]

역문제 · 지진 토모그래피 · 티호노프 정규화
수반법 · 민감도 해석 · 헤세 행렬
파동방정식 · 헬름홀츠 방정식 · 유한차분법 · 스펙트럴 방법
준-뉴턴법 · 가우스-뉴턴법 · 크리로프 부분공간법 · 확률적 경사하강법
탄성파 탐사 · 역시간 이동 · 스펙트럴 요소법
완전정합층 · 점탄성 · 고속 푸리에 변환

“완전(full)“이라는 수식어는 자료를 요약하지 않고 전부 쓴다는 뜻이지, 물리를 완전하게 푼다는 뜻이 아니다. 현업 FWI의 절대다수는 여전히 음향 근사이고 3차원 탄성·점탄성·이방성을 전부 켜는 사례는 드물다. 이름과 실물의 간격이 큰 용어라, 논문을 읽을 때 “무엇을 full로 쳤는지”를 먼저 확인하는 습관이 필요하다. ↩
이 문장이 FWI가 존재할 수 있는 유일한 이유다. 미지수 1억 개의 기울기를 유한차분으로 구하면 파동 전파를 1억 번 해야 하는데, 수반법은 2번에 끝낸다. 5000만 배 차이는 “최적화 기법의 개선”이 아니라 “가능/불가능”의 차이다. ↩
사이클 스키핑을 처음 당하면 대개 “정칙화를 세게 걸면 되지 않나”라고 생각한다. 안 된다. 정칙화는 모형을 매끄럽게 만들 뿐, 이미 옆 파봉에 붙어 버린 위상을 떼어내지 못한다. 국소 최소점은 목적함수의 기하 문제이고, 목적함수를 바꾸거나 자료의 주파수 대역을 바꾸는 것 말고는 답이 없다. ↩
라플라스 영역 역산은 신창수 등(2008)이 제안했다. 시간 영역 신호에 감쇠 지수를 곱해 라플라스 변환하면 초동 이후가 눌려서 사실상 초동 위주의 역산이 되고, 그 결과가 대단히 매끄러워 초기 모형으로 알맞다. “주파수를 낮추는 대신 시간을 눌러 버린다”는 접근인데, 저주파 자료가 없는 기존 자료에도 적용된다는 점이 실용적 장점이었다. ↩