전산 단층촬영

계산물리 수치해석 마지막 수정: 2026-08-31 04:38:11

1. 개요[편집]

전산 단층촬영 Computed Tomography
약칭	CT
첫 임상 스캐너	Hounsfield, EMI (1971) — 노벨상 1979
측정하는 양	선감쇠계수 $\mu(x,y,z)$의 선적분
수학적 뼈대	라돈 변환의 역문제
표준 알고리즘	FBP · FDK(콘빔) · 반복 재구성 · 학습 기반
영상값	하운스필드 단위 — 물 0, 공기 −1000
비의료 응용	산업용 마이크로 CT · 디지털 암석물리 · 복합재 결함 검사

물체를 자르지 않고 속을 보는 방법. 대신 그 물체를 수천 번 통과한 X선의 그림자에서 답을 역산해야 한다.

전산 단층촬영(computed tomography, CT)은 물체를 여러 방향에서 투과 측정한 뒤, 그 투영들로부터 내부의 물성 분포를 수치적으로 복원하는 영상 기법이다. 이름의 “전산”은 장식이 아니다 — 검출기가 직접 재는 것은 단면 영상이 아니라 선적분값의 모임이고, 그것을 영상으로 바꾸는 일 전부가 계산이다. 계산 없이는 아무 그림도 나오지 않는다.¹

CT는 세 층으로 나눠 보면 깔끔하다.

물리 — X선이 물질을 지나며 어떻게 감쇠하는가. 측정값이 왜 선적분이 되는가, 그리고 실제로는 왜 완전히 선적분이 아닌가.
수학 — 선적분 전체(= 라돈 변환)에서 원 함수를 되찾는 역문제. 유일성, 안정성, 표본화 요구조건.
공학 — 실제 스캐너의 기하와 아티팩트, 선량, 그리고 나온 영상을 무엇에 쓸 것인가.

이 문서는 세 번째와 첫 번째에 무게를 둔다. 순수 수학 — 중앙 슬라이스 정리의 증명, 램프 필터의 유도, 창 함수 비교, ART/SIRT의 수렴 — 은 라돈 변환 문서가 이미 자세히 다루므로 여기서는 결과만 쓰고 넘긴다.

2. 왜 측정값이 선적분인가[편집]

단색 X선이 두께 $ds$ 의 물질을 지날 때 세기의 감소는 비어-람베르트 법칙을 따른다.

\frac{dI}{I} = -\mu(s)\,ds \qquad\Longrightarrow\qquad I = I_0\exp\!\left(-\int_L \mu(s)\,ds\right)

여기서 $\mu$ 는 선감쇠계수로, 광전효과·콤프턴 산란 등으로 광자가 원래 경로에서 이탈할 확률밀도다. 양변에 로그를 씌우면

p = -\ln\frac{I}{I_0} = \int_L \mu(s)\,ds

로그를 씌우는 순간 측정값이 정확히 선적분이 된다. 이 한 줄이 CT를 라돈 변환의 역문제로 만들어 주며, 재구성 알고리즘 전체가 이 위에 서 있다. CT 파이프라인에서 원시 계수값에 로그를 취하는 단계를 로그 변환 또는 선형화라고 부르고, 여기가 틀어지면 뒤가 전부 틀어진다.

복원된 $\mu$ 는 그대로 쓰기 불편해서 물을 기준으로 정규화한다. 이것이 하운스필드 단위(HU)다.

\mathrm{HU} = 1000\times\frac{\mu - \mu_{\text{water}}}{\mu_{\text{water}} - \mu_{\text{air}}}

물이 0, 공기가 −1000이 되도록 눈금을 잡은 것이고, 지방은 −100 근처, 연부조직 +20~+70, 치밀골은 +1000을 훌쩍 넘는다. 판독할 때 창 폭·창 중심(window/level)을 조절한다는 게 이 수천 단계 스케일 중 관심 구간만 8비트 회색조로 늘려 보는 작업이다.

3. 실제로는 선적분이 아니다 — 빔 경화[편집]

위 유도에는 조용한 가정이 하나 있다. X선이 단색이라는 것. 실제 X선관은 제동복사로 넓은 에너지 스펙트럼을 내고, $\mu$ 는 에너지의 강한 함수(광전효과 항이 대략 $E^{-3}$ )다. 그러면

I = \int I_0(E)\exp\!\left(-\int_L \mu(s,E)\,ds\right)dE

가 되고, 로그를 씌워도 선적분이 나오지 않는다. 물체를 지날수록 저에너지 광자가 먼저 잡아먹혀 남은 빔의 평균 에너지가 올라가고(= 빔이 “단단해진다”), 그래서 단위 길이당 감쇠가 깊이 들어갈수록 줄어든다. 이것이 빔 경화(beam hardening)이며, 증상은 두 가지다.

컵핑(cupping). 균질한 원기둥을 찍으면 가장자리가 밝고 중앙이 어둡게 파인다. 중앙을 지나는 광선의 경로가 길어 더 심하게 경화되기 때문.
어두운 띠(dark band)와 줄무늬. 두 개의 치밀한 구조 사이를 잇는 방향으로 검은 띠가 생긴다. 두개골 안쪽, 금속 임플란트 사이, 인공관절 주변의 그 지저분한 무늬가 대부분 이것이다(금속에서는 광자 결핍까지 겹쳐 더 나쁘다).

대책은 계층적이다. 하드웨어로는 관 출구에 알루미늄·구리 필터를 걸어 저에너지 성분을 미리 제거하고(선필터링), 소프트웨어로는 “물로만 이루어진 물체”를 가정한 다항식 보정으로 투영값을 선형화한다(water precorrection). 뼈처럼 물과 다른 성분에는 이것으로 부족해서 반복적 뼈 보정을 얹거나, 아예 두 개의 관전압으로 찍어 물질을 분해하는 이중에너지 CT로 간다. 산업용 마이크로 CT에서는 시료가 금속인 경우가 흔해 빔 경화가 재구성 품질의 1순위 변수다.

4. 재구성 — 스캐너가 실제로 하는 계산[편집]

4.1. 필터보정역투영과 그 이산 구현[편집]

평행빔에서의 결론만 옮기면, 순수 역투영은 원 영상을 $1/r$ 로 흐린 것을 주므로 주파수 영역에서 $\lvert\nu\rvert$ 를 곱해 되살려야 한다. 그것이 FBP다.

f(x,y) = \int_0^\pi \tilde p\bigl(\theta,\;x\cos\theta+y\sin\theta\bigr)\,d\theta, \qquad \tilde P_\theta(\nu) = \lvert\nu\rvert\,W(\nu)\,P_\theta(\nu)

$W$ 는 잡음을 억제하는 창(Ram-Lak, Shepp-Logan, 해밍 등)이고, 이 선택이 곧 해상도-잡음 저울이다. 유도와 창 비교는 라돈 변환 참고. 여기서는 구현에서 실제로 사람을 잡는 것들만 적는다.

순환 컨볼루션 오염. FFT로 램프 필터를 걸면 컨볼루션이 순환이 되어 투영의 한쪽 끝이 반대쪽 끝으로 감겨 들어온다. 램프 커널의 꼬리가 길어서 이 오염이 무시할 수준이 아니고, 결과는 영상 전체가 은근히 뜨거나 가라앉는 DC 편향이다. 투영 길이의 2배 이상으로 영패딩하는 것이 정석.
잘린 투영. 물체가 시야(FOV) 밖으로 삐져나가면 투영이 잘리고, 잘린 자리가 계단 불연속이라 램프 필터가 거기서 폭발한다. 영상 가장자리에 밝은 테가 생긴다. 대책은 투영 끝을 부드럽게 외삽해 이어 붙이는 것.
역투영의 보간. 역투영은 화소 $(x,y)$ 마다 $s = x\cos\theta+y\sin\theta$ 를 계산해 필터링된 투영에서 값을 꺼내 오는데, $s$ 가 검출기 격자에 딱 안 맞으므로 보간이 필요하다. 최근접 이웃을 쓰면 무아레 무늬가 생기고, 선형 보간이 최소 기준이다. 비용은 $O(MN^2)$ 로 전체를 지배하며, GPU가 가장 먼저 투입된 자리다(광선마다 독립이라 병렬화가 자명하다).

4.2. 콘빔과 FDK[편집]

현대 스캐너는 평행빔이 아니다. 부채빔(fan-beam)은 투영을 평행빔으로 재배열(rebinning)하거나 전용 가중 FBP 공식으로 처리하면 되지만, 검출기가 2차원 평판인 원뿔빔(cone-beam)은 이야기가 다르다.

사실상의 표준이 FDK(Feldkamp-Davis-Kress, 1984)다. 세 단계로 요약된다.

각 검출기 화소값에 코사인 가중 $d/\sqrt{d^2+u^2+v^2}$ 을 곱한다(광선이 중심축에서 기울어진 만큼 보정).
검출기의 행 방향으로만 1차원 램프 필터를 건다.
광원까지의 거리 제곱에 반비례하는 가중을 주며 3차원으로 역투영한다.

FDK는 중앙 평면에서만 정확하고, 콘 각도가 커질수록 근사가 나빠진다. 중앙에서 멀어진 축방향 슬라이스에서 밀도가 떨어지고 경계가 흐려지는 전형적인 콘빔 아티팩트가 그것이다. 근본 이유는 투이 조건(Tuy)에 있다 — 정확한 재구성이 가능하려면 물체와 만나는 모든 평면이 광원 궤적과도 만나야 하는데, 원 궤도 하나로는 이 조건을 못 채운다. 나선(helical) 궤도는 채우고, 그래서 나선 콘빔에 대해서는 카체비치(2002)의 엄밀한 FBP형 역공식이 존재한다. 임상 CT가 슬립링과 나선 스캔으로 간 데에는 속도만이 아니라 이런 수학적 이유도 있다.²

4.3. 표본화 — 얼마나 재야 하는가[편집]

검출기 칸이 $N$ 개일 때 필요한 투영(뷰) 수는 대략

M \;\approx\; \frac{\pi}{2}N

이다. 각 투영이 푸리에 평면의 방사 직선 하나를 채우는데, 그 직선들이 최외곽 주파수에서 검출기 표본 간격만큼 촘촘해지려면 이만큼이 필요하다는 계산이다. 512칸이면 800뷰 남짓 — 임상 스캐너 사양이 대략 그 근처인 것이 우연이 아니다. 이보다 적게 재면 푸리에 평면에 부채꼴 빈틈이 남고, 고대비 경계에서 뻗어 나오는 줄무늬 아티팩트가 된다.

4.4. 반복 재구성[편집]

FBP는 “데이터가 충분하고 잡음이 적다”는 전제 위의 명시적 공식이다. 저선량³이나 부족표본에서는 문제를 통째로 거대한 선형계로 놓는 편이 낫다.

A\mathbf{x} = \mathbf{b}, \qquad A_{ij} = (\text{광선 } i \text{ 가 복셀 } j \text{ 를 지난 길이})

여기서 실무적으로 중요한 것은 $A$ 를 어떻게 만드느냐다. 512³ 복셀에 수십만 광선이면 $A$ 는 $10^6\times10^8$ 급이고, 명시적으로 저장하는 것은 불가능하다. 그래서 매 반복마다 즉석에서 광선을 추적한다 — 복셀 경계 교차점을 순서대로 훑는 시돈 알고리즘(1985)과, 광선 대신 화소를 훑으며 보간하는 조지프 방식이 두 고전이다. 순방향 투영기와 역투영기가 서로 정확한 수반(adjoint)이 아니면 반복이 엉뚱한 곳으로 수렴하거나 발산하므로, 투영기 쌍의 정합성은 구현에서 우선순위 1번이다.

알고리즘 자체는 대수적 재구성법(ART, 행 단위 사영), SIRT(전체 동시 갱신), SART(뷰 단위 절충), 그리고 방출 단층촬영의 MLEM/OSEM이 계보를 이룬다. 여기에 전변분 잡음제거의 TV 항이나 티호노프 정규화를 사전항으로 얹으면 뷰를 절반 이하로 줄여도 쓸 만한 영상이 나오고, 그 정당화를 압축센싱 이론이 제공한다. 자세한 수렴 성질은 라돈 변환 문서 참고.

정리하면 이렇다. FBP는 빠르고 선형이라 잡음 전파를 손으로 계산할 수 있고, 반복법은 느리지만 물리 모형과 사전 정보를 넣을 수 있다. 계측이 목적인 산업용 CT에서 아직도 FBP가 기본값인 이유는 “예측 가능한 오차”가 “더 예뻐 보이는 영상”보다 중요하기 때문이다.

5. 아티팩트 도감[편집]

CT를 실제로 돌려 본 사람이 가장 많이 검색하는 항목. 원인이 서로 다르므로 증상으로 역추적하는 훈련이 필요하다.

증상	원인	대책
균질체 중앙이 어둡게 파임	빔 경화(컵핑)	선필터, 물 보정, 이중에너지
고밀도 물체 사이 검은 띠·줄무늬	빔 경화 + 광자 결핍 + 산란	MAR 알고리즘, 관전류 증가, 자세 변경
영상 중심의 동심원 고리	검출기 소자 하나의 이득 오차(3세대 회전-회전)	소자 보정, 링 제거 후처리
방사형 줄무늬 전반	뷰 부족, 또는 강한 잡음	뷰 증가, 반복 재구성 + 정칙화
경계가 두 겹으로 흐림	시료·환자 움직임, 회전축 오정렬	기하 보정, 스캔 시간 단축
작은 구조의 값이 안 맞음	부분체적 효과(복셀 안에 두 물질이 섞임)	복셀 축소, 분할 시 유의

부분체적 효과는 정량 해석에서 특히 악랄하다. 복셀 하나 안에 공극과 고체가 섞여 있으면 복원값은 그 평균이 되고, 나중에 문턱값으로 이진 분할할 때 그 경계 복셀들이 어느 쪽으로 가느냐에 따라 공극률과 투수율이 크게 흔들린다. 뒤에서 다시 나온다.

6. 산업용 마이크로 CT와 시뮬레이션 입력[편집]

의료가 원조지만, 이 위키의 관심사는 오히려 비파괴 계측 → 해석 모델 생성 쪽이다.

마이크로 CT의 기하는 의료 CT와 거꾸로다. 광원과 검출기가 고정되고 시료가 회전하며, 광원-시료 거리와 광원-검출기 거리의 비가 곧 기하학적 배율이다. 시료를 광원 쪽으로 바짝 붙이면 배율이 커지지만 콘 각도도 함께 커져 FDK 근사가 나빠지고, 결정적으로 초점 크기가 해상도의 하한을 정한다(초점이 5 μm면 아무리 확대해도 5 μm보다 잘 안 보인다). 실험실 장비는 대개 복셀 1~50 μm, 방사광 시설에서는 서브마이크론까지 간다. 저원자번호 재료(폴리머, 생체조직)는 흡수 대비가 거의 없어서 위상 대비 기법을 쓴다.

재구성된 3차원 회색조 볼륨은 그 자체로는 아직 해석 모델이 아니다. 시뮬레이션에 태우려면 다음을 거친다.

전처리. 링·빔 경화 보정, 잡음 제거(비등방성 확산, 비국소 평균, 최근에는 학습 기반 잡음 제거).
분할. 문턱값(오츠), 영역 성장, 워터셰드, 학습 기반 분할로 상(phase)을 나눈다. → 이미지 분할
기하 추출. 마칭 큐브로 등가면을 뽑아 삼각형 표면을 만들고 평활·단순화한 뒤 사면체 격자를 생성하거나(메시 생성), 아예 복셀을 그대로 육면체 요소로 쓰는 직접 복셀 FEM으로 간다. 후자는 격자 생성이 공짜인 대신 계단형 경계가 응력 집중을 가짜로 만든다.
해석. 공극 공간에 스토크스 방정식이나 격자 볼츠만 방법을 풀어 절대투수율을, 고체 상에 유한요소법을 풀어 유효 탄성계수를 뽑는다.

이 흐름 전체를 암석에 적용한 것이 **디지털 암석물리**다. 코어 시료를 마이크로 CT로 찍고, 공극을 분할하고, 그 공극망에 유동 해석을 걸어 다공성 매질 유동의 투수율·상대투수율·모세관압 곡선을 “계산으로” 얻는다. 실험이 수 주 걸리는 측정을 며칠로 줄인다는 것이 세일즈 포인트인데, 함정이 둘 있다.

분할 문턱값 민감도. 부분체적 효과 때문에 문턱을 조금만 옮겨도 좁은 목(throat)이 열리고 닫힌다. 투수율은 목 반지름의 4제곱에 민감하므로(하겐-푸아죄유), 문턱값 하나로 투수율이 배로 달라지는 일이 예사다. 그래서 실측 공극률로 문턱을 보정하는 것이 최소한의 예의다.
대표체적 크기(REV). 시야를 키우면 해상도가 떨어지고, 해상도를 올리면 시야가 좁아진다. 좁은 시야가 암석 전체를 대표하지 못하면 그 계산값은 그냥 그 조각의 값일 뿐이다. 이 상충은 장비를 바꿔도 사라지지 않는 원리적 제약이다.

같은 파이프라인이 다른 분야에도 그대로 간다. 탄소섬유 복합재의 섬유 배향·기공률을 CT로 재서 복합재 해석의 입력으로 넣고, 적층제조 부품의 내부 결함을 찾아 피로 해석 모델에 반영하고, 폼·발포체의 실제 셀 구조로 유효 물성을 계산한다. 실물에서 격자를 뜬다는 것이 공통점이고, 그래서 CT는 이 바닥에서 영상 장비가 아니라 메시 생성기의 앞단으로 취급된다.

7. 관련 문서[편집]

하운스필드가 만든 첫 EMI 스캐너의 재구성 행렬은 80×80이었다. 화소 6400개짜리 영상 한 장을 얻으려고 촬영에 수 분, 재구성에 그보다 훨씬 긴 계산 시간이 들었다. 지금 스마트폰이 실시간으로 처리하는 연산량을 당시엔 메인프레임이 밤새 갈았던 셈인데, 그 흐릿한 6400화소가 개두술 없이 뇌종양을 본 인류 최초의 그림이었다. ↩
나선 CT를 정의하는 파라미터가 피치(pitch)다. 관이 한 바퀴 도는 동안 테이블이 이동한 거리를 빔 폭으로 나눈 값이며, 1보다 크면 축방향으로 데이터를 건너뛰는 셈이라 보간으로 메워야 하고 슬라이스 두께가 실질적으로 두꺼워진다. “빨리 찍고 싶으면 피치를 올려라, 대신 축방향 해상도를 내놔라”라는 거래가 콘솔 화면에 노브 하나로 앉아 있다. ↩
CT의 잡음 표준편차는 대략 선량의 제곱근에 반비례한다. 잡음을 절반으로 줄이려면 선량이 네 배 필요하다는 뜻이고, 이 제곱근 벽이 저선량 CT 알고리즘 연구가 끊이지 않는 이유다. 알고리즘이 할 수 있는 일은 잡음과 해상도의 교환비를 유리하게 바꾸는 것이지, 안 찍힌 광자를 되살리는 게 아니다. 산업용 CT는 사람이 안 들어가니 이 제약에서 자유롭고, 그래서 “밤새 돌려서 평균 내기”라는 무식하지만 확실한 해법을 쓴다. ↩