침강 속도

유체역학 전산유체역학 마지막 수정: 2026-09-05 04:21:38

1. 개요[편집]

침강 속도 Settling velocity
정의	정지 유체 속에서 입자가 도달하는 종단 속도
스토크스 영역	w = (ρ_s−ρ)gd² / 18μ, Re_p ≪ 1
일반식	w = √(4(s−1)gd / 3C_D)
뉴턴 영역	C_D ≈ 0.44 → w ≈ 1.74 √((s−1)gd)
형상 지표	구형도 ψ · 코리 형상계수 c/√(ab)
간섭침강	리처드슨-자키 (1−φ)ⁿ, n = 2.4 ~ 4.65
주 무대	유사 이송 · 침전지 · 대기 에어로졸 · 입자 추적 CFD

입경 하나로 결정되는 속도가 아니다. 그렇게 배웠을 뿐이다.

침강 속도는 정지한 유체 속에서 입자가 중력·부력·항력의 균형에 도달했을 때 가지는 일정한 하강 속도다. 종단 속도(terminal velocity)와 같은 말이며, 기호는 분야마다 $w$ , $w_s$ , $v_s$ , $u_t$ 로 제각각이다. 유사 이송에서는 부유 가능 여부를 가르고, 정수 처리에서는 침전지 면적을 결정하며, 대기과학에서는 미세먼지의 체류 시간을 결정한다. 즉 “얼마나 빨리 가라앉느냐” 하나가 세 분야의 설계식을 각각 지배한다.

이 문서의 요점은 하나다. $d^2$ 에 비례하는 그 유명한 식은 아주 좁은 영역에서만 맞는다. 모래알 하나만 커져도 지수는 2에서 0.5로 내려가고, 입자가 뭉치면 밀도 자체가 크기의 함수가 되며, 옆에 다른 입자가 있으면 속도가 절반으로 떨어진다. 침강 속도가 재미있는 이유는 이 세 가지 배신이 서로 다른 물리에서 오기 때문이다.

2. 스토크스 법칙 — 무엇을 가정했는가[편집]

지름 $d$ , 밀도 $\rho_s$ 인 구가 밀도 $\rho$ , 점도 $\mu$ 인 유체 속에서 등속 하강한다면 수중 중량과 항력이 균형을 이룬다.

\frac{\pi}{6}d^3\left(\rho_s-\rho\right)g=3\pi\mu\,d\,w

좌변이 부력을 뺀 무게, 우변이 스토크스 유동의 항력 $F_d=6\pi\mu a U$ 다. 풀면

w=\frac{\left(\rho_s-\rho\right)g\,d^2}{18\mu}

여기서 반드시 같이 기억해야 할 것은 결과가 아니라 전제다. 스토크스 항력은 관성항을 통째로 버린 극한의 해이므로, 이 식은 입자 레이놀즈수

\mathrm{Re}_p=\frac{\rho\,w\,d}{\mu}

가 1보다 훨씬 작을 때만 유효하다. 그 밖에도 (가) 구형, (나) 강체·비투과성, (다) 표면에서 무활동(no-slip), (라) 무한 유체(벽·이웃 입자 없음), (마) 정상 상태가 전부 걸려 있다. 아래 절들은 이 전제를 하나씩 깨는 이야기다.

숫자로 감을 잡아 두자. 20 °C 물( $\nu\approx1.0\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}$ )에서 석영( $s=\rho_s/\rho=2.65$ ) 입자라면

입경	스토크스 식 $w$	$\mathrm{Re}_p$	판정
10 μm	0.090 mm/s	0.0009	안전
60 μm	3.2 mm/s	0.19	경계
100 μm	9.0 mm/s	0.9	이미 틀리기 시작
1 mm	0.90 m/s (실측 ≈ 0.12 m/s)	—	7배 과대

실무의 국룰이 “석영 모래는 60~100 μm 까지만 스토크스”인 이유가 이 표다. 1 mm 모래에 스토크스 식을 쓰면 침강 속도를 일곱 배 부풀리고, 그 값이 루스 수 $P=w_s/(\kappa u_*)$ 에 들어가면 유사 이송 판정이 부유사에서 소류사로 통째로 뒤집힌다.

3. 항력계수로 쓴 일반식[편집]

전제를 하나만 완화해 관성을 되살리자. 힘 균형을 항력계수 $C_D$ 로 일반적으로 쓰면

\frac{\pi}{6}d^3\left(\rho_s-\rho\right)g=C_D\,\frac{\pi d^2}{4}\cdot\frac{\rho w^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad w=\sqrt{\frac{4\,(s-1)\,g\,d}{3\,C_D}}

$C_D$ 가 $\mathrm{Re}_p$ 의 함수이고 $\mathrm{Re}_p$ 안에 $w$ 가 들어 있으므로 이 식은 음함수다. 실즈 곡선이 음함수여서 반복해야 했던 것과 정확히 같은 구조이며, 해법도 같다 — 반복하거나, 무차원 입경으로 다시 그린 명시적 맞춤식을 쓴다.

구에 대한 $C_D(\mathrm{Re}_p)$ 는 세 영역으로 나뉜다.

스토크스 영역( $\mathrm{Re}_p\lesssim1$ ). $C_D=24/\mathrm{Re}_p$ . 이걸 위 식에 넣으면 정확히 $w\propto d^2$ 가 되돌아온다. 두 식이 같은 식임을 확인하는 것이 좋은 검산이다.
천이 영역( $1\lesssim\mathrm{Re}_p\lesssim10^3$ ). 해석해가 없고 경험식을 쓴다. 오세인 보정 $C_D=\frac{24}{\mathrm{Re}_p}\left(1+\frac{3}{16}\mathrm{Re}_p\right)$ 는 $\mathrm{Re}_p\lesssim5$ 까지만 버티고, 전 구간을 덮는 표준은 실러-나우만 식 $C_D=\frac{24}{\mathrm{Re}_p}\left(1+0.15\,\mathrm{Re}_p^{0.687}\right)$ 이다. 상용 CFD의 입자 항력 기본값이 대개 이것이며, 지수 0.687이라는 어정쩡한 숫자는 이론이 아니라 회귀의 흔적이다.
뉴턴 영역( $10^3\lesssim\mathrm{Re}_p\lesssim2\times10^5$ ). $C_D\approx0.44$ 로 평평하다. 그러면 $w\approx1.74\sqrt{(s-1)gd}$ 이고 점도가 식에서 사라진다. 지름 10 mm 자갈이면 $w\approx0.70\,\mathrm{m/s}$ . 이 영역에서 침강 속도는 $d^{1/2}$ 로만 자라므로, 자갈을 두 배로 키워도 40 %밖에 빨라지지 않는다.

$\mathrm{Re}_p\approx3\times10^5$ 의 항력 위기(drag crisis)는 매끄러운 구에서만 뚜렷하고 침강 문제에서는 거의 만날 일이 없다 — 그 레이놀즈수에 도달하려면 물속에서 수십 cm 짜리 돌이 초속 몇 m로 떨어져야 한다.

4. 형상 — 자연의 입자는 구가 아니다[편집]

두 번째 전제를 깨면 상황이 나빠진다. 모래알은 구가 아니라 납작하고 모서리가 있으며, 같은 부피의 구보다 표면적이 크고 낙하 자세가 안정하지 않다.

구형도(sphericity) $\psi$ — 같은 부피 구의 표면적을 실제 표면적으로 나눈 값(Wadell). 구는 1, 자연 모래는 대략 0.7~0.8.
코리 형상계수 $\mathrm{SF}=c/\sqrt{ab}$ — 입자의 최장·중간·최단축을 $a\ge b\ge c$ 로 두고 계산. 자연 모래의 대표값이 0.7이고, 유사 분야의 경험식은 대개 이 값을 기본값으로 박아 두었다.

형상의 영향은 영역마다 다르다. 스토크스 영역에서는 항력이 표면적이 아니라 대표 길이에 비례하므로 형상 보정이 10~30 % 수준으로 온건하다. 반면 뉴턴 영역에서는 항력계수가 두 배 이상 벌어진다 — 자연 자갈의 $C_D$ 는 구의 0.44가 아니라 1 안팎이다. 그래서 “구 공식에 형상계수를 곱한다”는 접근은 큰 입자에서 실패하고, 대신 자연 입자로 직접 회귀한 식을 쓴다.

루비 식(Rubey, 1933)이 그 계보의 원조다.

w=F_1\sqrt{(s-1)g\,d},\qquad F_1=\sqrt{\frac{2}{3}+\frac{36\nu^2}{(s-1)g\,d^3}}-\sqrt{\frac{36\nu^2}{(s-1)g\,d^3}}

작은 $d$ 에서는 두 제곱근의 차가 스토크스 식으로 붕괴하고, 큰 $d$ 에서는 $F_1\to\sqrt{2/3}\approx0.816$ 으로 수렴한다. 한 줄로 두 영역을 잇는다는 것이 이 식이 90년을 살아남은 이유이며, 실제로 0.06~~2 mm 석영 모래에서는 실측 범위에 든다(1 mm 에서 약 9.8 cm/s로, 실측 폭 11~~13 cm/s 의 아래쪽). 다만 큰 $d$ 극한이 $C_D=2.0$ 에 해당하는데 이는 자연 자갈의 실측치보다도 크다 — 자갈로 외삽하면 안 되는 식이다. 브리프나 강의노트에서 “루비 식은 전 영역용”이라고 배웠다면 여기서 한 번 멈춰야 한다.¹

이후의 식들은 같은 발상의 개량판이다.

반 레인(van Rijn, 1984) — 입경을 세 구간으로 잘라 각각 다른 식. $d>1\,\mathrm{mm}$ 구간의 계수는 구의 1.74가 아니라 1.1이며, 이 차이가 곧 자연 입자와 구의 항력 차이다.
디트리히(Dietrich, 1982) — 무차원 침강속도와 무차원 입경의 관계에 형상계수·원마도까지 넣은 다항 회귀. 하천 유사 코드에서 널리 쓰인다.
퍼거슨-처치(Ferguson & Church, 2004) — 스토크스와 뉴턴을 분모의 두 항으로 이어 붙인, 두 계수짜리 식.

퍼거슨-처치 식만 따로 적어 두면 이렇게 생겼다.

w=\frac{(s-1)g\,d^2}{C_1\nu+\sqrt{0.75\,C_2\,(s-1)g\,d^3}}

$C_1=18$ 이고 $C_2$ 는 구면 0.4, 자연 모래면 1.0 정도를 쓴다. 분모의 첫 항이 이기면 스토크스 식으로, 둘째 항이 이기면 뉴턴식 $\sqrt{d}$ 의존으로 자동으로 넘어간다 — 어느 영역인지를 분모가 스스로 말해 주는 구조가 이 식의 미덕이고, 코드에 넣기에도 분기가 없어 편하다.

5. 간섭침강 — 옆에 다른 입자가 있을 때[편집]

무한 유체 가정을 깨면 침강은 극적으로 느려진다. 입자가 가라앉으면 같은 부피의 물이 위로 밀려 올라와야 하고(역류), 이웃 입자의 항력장이 겹치며, 겉보기 점도와 겉보기 밀도가 모두 올라간다. 이것이 간섭침강(hindered settling)이다.

표준 정리는 리처드슨-자키 식(Richardson & Zaki, 1954)이다. 부피 농도 $\phi$ 에서

\frac{w(\phi)}{w_\infty}=\left(1-\phi\right)^{n}

지수 $n$ 은 단일 입자 레이놀즈수에 의존해 저레이놀즈수에서 4.65, 뉴턴 영역에서 2.4 정도까지 내려간다. 이 지수의 크기를 실감하려면 숫자를 넣어 보면 된다. 부피 농도가 겨우 10 %인데도 $0.9^{4.65}=0.61$ , 즉 침강이 40 % 가까이 느려진다. 농축조 하부처럼 $\phi\approx0.3$ 이면 $0.7^{4.65}=0.18$ — 다섯 배 이상 느리다. 침전지 설계에서 상등수와 슬러지층을 같은 식으로 다룰 수 없는 이유가 이것이다.

여기서 수치해석이 개입한다. 회분식 침강 컬럼을 1차원으로 모형화하면 고체 부피분율의 보존식

\frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial z}\Big[\phi\,w(\phi)\Big]=0

이 되고, 플럭스 $f(\phi)=\phi\,w(\phi)$ 가 비볼록이라 비선형 스칼라 보존법칙이 된다. 킨치(Kynch, 1952)의 침강 운동학 이론이 바로 이것이며, 실험에서 보이는 맑은 물–현탁액 계면은 수학적으로 충격파다. 그래서 침강조 시뮬레이션 코드는 MUSCL 재구성과 전변분 감소 제한자를 달고 있고, 리만 문제의 언어가 그대로 통한다. 침강이라는 지극히 실용적인 주제가 쌍곡선 보존법칙 교과서에 등장하는 사연이다.

6. 응집과 플록 — 밀도가 크기의 함수가 될 때[편집]

강체 가정을 깨면 가장 고약한 문제가 나온다. 점토·조류·활성슬러지처럼 응집하는 입자는 성긴 플록(floc)을 이루는데, 플록은 물을 잔뜩 품고 있어서 커질수록 성겨진다. 프랙탈 관점에서 질량이 $m\propto d^{D_f}$ ( $D_f\approx1.8\!-\!2.2$ )로 자라므로 겉보기 초과밀도는

\rho_f-\rho\ \propto\ d^{\,D_f-3}

즉 크기가 커질수록 감소한다. 이걸 스토크스 식에 넣으면

w\ \propto\ d^{\,D_f-1}

$D_f\approx2$ 면 $w\propto d$ — $d^2$ 가 아니라 $d^1$ 이다. 플록을 열 배 키워도 침강은 백 배가 아니라 열 배만 빨라진다. 게다가 플록은 투과성이라 내부로 물이 통과해 항력이 강체 구보다 작고, 전단을 받으면 부서져 크기 분포 자체가 흐름의 함수가 된다.

그래서 응집성 퇴적물 모형에서 침강 속도는 입경이 아니라 농도의 함수로 주는 것이 관행이다( $w_s=k\,c^{m}$ , 저농도에서 응집으로 증가하다가 고농도에서 간섭으로 감소하는 종 모양). 물리적으로 정직한 접근은 응집·파괴 항이 붙은 개체수 균형 방정식(PBE)을 푸는 것인데, 계급을 몇 개 두느냐에 따라 비용이 곧바로 몇 배가 되어 실무 채택이 더디다.²

7. 어디에 쓰이는가[편집]

유사 이송. 루스 수 $P=w_s/(\kappa u_*)$ 하나로 소류사·부유사·세류사가 갈리고, 부유사 농도의 연직 분포(루스 분포)의 지수도 $w_s$ 다. 침강 속도의 20 % 오차가 농도 분포에서는 지수의 오차가 되어 증폭된다. 자세한 것은 유사 이송 문서.
침전지와 표면부하율. 이상 침전지 이론(Hazen, 1904)의 결론은 놀랍도록 단순하다. 유량 $Q$ , 수면적 $A$ 인 지에서 침강 속도가 $w\ge Q/A$ 인 입자는 깊이와 무관하게 100 % 제거되고, 그보다 느린 입자는 $w/(Q/A)$ 의 비율로 제거된다. 그래서 설계 변수는 체류시간이 아니라 표면부하율 $Q/A$ 다. 1차 침전지의 통상값 20 m/일( $=2.3\times10^{-4}\,\mathrm{m/s}$ )은 석영 기준 약 16 μm 이상을 잡겠다는 선언과 같다. 실제 지는 단락류·밀도류·바람 때문에 이 이론보다 늘 나쁘고, 그 격차를 추적자 시험으로 잰다.
대기 에어로졸. 공기에서는 입자가 작아지면 연속체 가정이 깨져 슬립 보정(커닝햄 계수 $C_c$ )이 붙는다.³ $w=\rho_p d^2 g\,C_c/(18\mu)$ 이며, 단위밀도 입자 기준으로 10 μm 는 약 3 mm/s, 0.1 μm 는 약 0.9 μm/s — 다섯 자릿수 차이다. 초미세먼지가 며칠씩 떠 있는 이유가 이 표에 다 있고, 반대로 확산·응집이 제거 기구로 올라서는 이유도 같다.
입자 추적 CFD. 오일러-라그랑주 해석에서 입자 완화시간 $\tau_p=\rho_s d^2/(18\mu)$ 는 곧 종단 속도를 $w=\tau_p g'$ 로 주며, 무차원화하면 스토크스 수가 된다. 시간 적분에서 $\Delta t\ll\tau_p$ 를 어기면 입자가 종단 속도를 지나쳐 진동하므로, 미세 입자는 강성 문제가 되어 해석적 지수 적분이나 음해 처리를 쓴다. 부유물이 많아지면 역방향 운동량(two-way coupling)까지 붙고, 접촉이 지배하면 이산요소법으로 넘어간다.

8. 실무에서 틀리는 자리[편집]

점도의 온도 의존을 잊는다. 물의 점도는 5 °C 에서 20 °C 사이에 약 1.5배 변하고, 스토크스 영역에서는 침강 속도가 그대로 1.5배 변한다. 겨울 침전지가 여름보다 나쁜 것은 운전 실수가 아니라 물성이다.
$d$ 를 무엇으로 재었는지 안 밝힌다. 체 분석의 통과 입경, 레이저 회절의 등가 구 직경, 현미경의 투영 직경은 전부 다른 수다. 그리고 이 중 어느 것도 “침강 속도가 같은 구의 직경”(침강 직경)이 아니다. 애초에 침강 속도를 재서 역산한 것이 침강 직경이므로, 순환을 피하려면 무엇을 입력으로 삼았는지 적어야 한다.
하나의 입경으로 대표시킨다. $w\propto d^2$ 인 영역에서 입도 분포의 평균 입경을 넣으면 평균 침강 속도가 안 나온다. 분포를 계급으로 쪼개 각각 계산한 뒤 합치는 것이 옳고, 그 차이는 왜도가 큰 분포에서 수 배가 된다.
비정상 항을 무시해도 되는지 확인하지 않는다. 갑자기 놓인 입자는 즉시 종단 속도가 되지 않는다. 부가질량과 바셋 이력항까지 포함한 것이 바셋-부시네스크-오세인 방정식이며, 밀도비가 1에 가까운 경우(물속 플록, 액적)에는 이 항들이 지배적이라 “종단 속도”라는 개념 자체가 무의미해진다.
검증 없이 믿는다. 침강 속도 식은 전부 회귀이고, 같은 모래에 대해 식마다 30~50 % 씩 갈린다. 검증 및 확인의 관점에서 정직한 태도는 하나를 골라 절대값을 주장하는 것이 아니라, 두세 식으로 계산해 그 폭을 결과의 불확실성으로 함께 보고하는 것이다.

9. 관련 문서[편집]

이런 오해가 생기는 경로가 재미있다. 루비 식은 원래 “충분히 작은 입자”용으로 제시되었는데, 두 영역을 매끄럽게 잇는 모양새 때문에 교과서에서 “전 영역 공식”으로 승격되었고, 그 상태로 코드에 들어갔다. 큰 $d$ 극한이 $C_D=2$ 라는 사실은 식을 두 줄만 정리하면 나오는데, 그걸 확인해 보는 사람이 드물었을 뿐이다. 경험식을 쓸 때 유효 범위를 같이 적어 두는 습관은 이래서 필요하다. ↩
활성슬러지 침전성을 SVI(슬러지 부피 지수) 한 숫자로 관리하는 관행도 같은 사정에서 나왔다. 플록의 크기 분포·프랙탈 차원·강도를 다 재느니, 30분 침강시킨 부피를 재서 하나의 숫자로 퉁치는 것이 현장에서 압도적으로 싸다. 물리를 포기하고 재현성을 산 대표적 사례이고, 놀랍게도 운전에는 꽤 잘 듣는다. ↩
밀리컨의 기름방울 실험은 이 문서의 거의 모든 함정을 한 번에 통과해야 했다. 액적이라 강체가 아니고(내부 순환), 크기가 작아 슬립 보정이 필요하며(밀리컨은 커닝햄의 슬립 보정을 가져다 실험으로 다시 다듬어야 했다), 전기장 때문에 정상 상태 가정도 조심해야 한다. 노벨상이 붙어 있는 실험의 절반은 침강 속도 보정과의 싸움이었던 셈이다. ↩