단위하중법

구조해석 고체역학 마지막 수정: 2026-09-03 04:36:55

1. 개요[편집]

단위하중법 Unit Load Method
다른 이름	가상일법 · 가상하중법 · 모아(Mohr)의 방법
근거	가상력(여가상일)의 원리
보·골조	$\delta=\int Mm/(EI)\,dx$
트러스	$\delta=\sum FfL/(AE)$
요구 조건	가상 내력장은 평형만, 참 변형장은 적합만
따라 나오는 것	유연도 계수 $f_{ij}$ 의 대칭성, 힘법, 영향선
한 줄 요약	알고 싶은 곳에 1을 걸고 곱해서 적분한다

처짐을 구하려고 미분방정식을 두 번 적분하고 경계조건 네 개를 맞추는 것과, 표 하나를 채우는 것 중에 골라라.

단위하중법(unit load method)은 처짐이나 회전각을 알고 싶은 지점에 그 방향으로 크기 1의 가상하중을 걸어 만든 평형 내력장을, 실제 하중이 만든 참 변형장과 곱해 적분함으로써 그 변위를 직접 구하는 방법이다. 보와 골조에서는

1\cdot\delta \;=\;\int \frac{M\,m}{EI}\,dx

트러스에서는

1\cdot\delta \;=\;\sum_k \frac{F_k\,f_k\,L_k}{A_k E_k}

가 전부다. 대문자( $M,F$ )가 실제 하중이 만든 내력, 소문자( $m,f$ )가 단위 가상하중이 만든 내력이다. 회전각을 원하면 단위하중 대신 단위 모멘트를 걸고 같은 적분을 하면 나온다.

계산기 시대 이전 구조공학의 대표 무기였고, 지금도 남아 있는 이유가 셋이다. 첫째, 특정 한 점의 특정 한 방향 변위만 원할 때 전체 변형 형상을 구할 필요가 없다. 둘째, 부정정 해석의 힘법에서 유연도 계수를 만드는 표준 도구다. 셋째 — 그리고 이게 의외로 중요한데 — 이 방법의 구조가 수반법의 구조와 같다. 유한요소 코드가 감도를 계산할 때 실제로 푸는 “단위 하중 케이스”가 바로 이것이다. 뒤에서 정리한다.

원리적 근거(가상력의 원리, 왜 구속력이 소거되는가)는 가상일의 원리가 담당하고, 여기서는 절차와 계산을 본다.

2. 무엇을 요구하고 무엇을 요구하지 않는가[편집]

식의 유도는 한 줄이다. 참 변형장 $\varepsilon$ 과 임의의 평형 응력장 $\delta\sigma$ 를 짝지어

\int_\Omega \delta\boldsymbol\sigma^{\mathsf T}\boldsymbol\varepsilon\,d\Omega=\delta W^{\ast}_{\text{ext}}

를 쓰고, 외부 가상력을 “관심 지점의 단위 하중 하나”로 잡으면 우변이 $1\cdot\delta$ 가 된다. 보에서는 $\varepsilon$ 대신 곡률 $\kappa=M/EI$ , $\delta\sigma$ 대신 가상 모멘트 $m$ 을 쓰면 위의 적분식이다.

여기서 반드시 새겨야 할 비대칭이 있다.

가상 내력장 $m$ 은 평형만 만족하면 된다. 적합(compatibility)도, 실제 재료 물성도, 실제 지지 조건도 필요 없다. 그래서 부정정 구조에서도 아무 정정 기본계에서나 뽑아도 된다 — 이 자유도가 이 방법을 부정정 해석에 그대로 쓰게 해 주는 열쇠다.
참 변형장은 적합만 만족하면 된다. 실제 계의 참값이어야 하지만, 어떻게 구했는지는 상관없다. 손계산이든 FEM 결과든 실험 계측이든 곱해 넣으면 된다.
두 상태는 서로 아무 관계가 없어도 된다. 이게 이 방법이 강력한 진짜 이유다. 실제 구조는 부정정인데 가상 상태는 정정, 실제 재료는 비균질인데 가상 상태는 순수 기하 — 다 허용된다.

3. 항별 공식[편집]

일반적으로 쓰면 네 항이다.

1\cdot\delta=\int\frac{M\,m}{EI}\,ds+\int\frac{N\,n}{EA}\,ds+\int\frac{\kappa_s\,V\,v}{GA}\,ds+\int\frac{T\,t}{GJ}\,ds

항	참 내력	가상 내력	강성	언제 무시하면 안 되나
굽힘	$M$	$m$	$EI$	보·골조에서 거의 항상 지배항
축력	$N$	$n$	$EA$	트러스·아치·타이드 아치
전단	$V$	$v$	$GA/\kappa_s$	형고비가 큰 깊은 보, 샌드위치, 코어 벽체
비틀림	$T$	$t$	$GJ$	곡선 보, 편심 하중 격자, 그리드 슬래브

$\kappa_s$ 는 단면 형상계수로 직사각형에서 $6/5$ , 원형에서 대략 $10/9$ 다. 그리고 온도 변화와 제작 오차도 같은 틀에 들어간다 — 부재가 $\Delta T$ 만큼 균일 팽창하면 축변형이 $\alpha\,\Delta T\,L$ 이므로

1\cdot\delta=\sum_k n_k\,\alpha_k\,\Delta T_k\,L_k+\sum_k n_k\,e_k

로 쓴다( $e_k$ 는 부재 제작 오차). 트러스 부재를 일부러 짧게 만들어 사전 변형을 주는 프리캠버 설계가 이 식으로 계산된다. 하중 없이도 변위가 나온다는 점에서 이 방법의 일반성이 잘 보이는 자리다.

4. 손계산 예제[편집]

단순보( $\ell$ , 등단면 $EI$ )의 중앙에 집중하중 $P$ . 중앙 처짐과 좌측 지점 회전각을 구한다.

1단계, 참 내력. 반력이 $P/2$ 씩이므로 $0\le x\le \ell/2$ 에서 $M=Px/2$ , 대칭이므로 오른쪽 절반은 $M=P(\ell-x)/2$ .

2단계, 중앙 처짐 — 중앙에 아래 방향 단위하중. 같은 형태이므로 $0\le x\le \ell/2$ 에서 $m=x/2$ .

\delta_C=\frac{2}{EI}\int_0^{\ell/2}\frac{Px}{2}\cdot\frac{x}{2}\,dx =\frac{P}{2EI}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\ell/2} =\frac{P\ell^3}{48EI}

3단계, 좌측 회전각 — A점에 단위 모멘트. 반력이 $1/\ell$ 씩 반대로 걸리므로 $m=1-x/\ell$ 이고, 이번엔 대칭이 아니어서 두 구간을 따로 적분한다.

\theta_A=\frac{1}{EI}\left[\int_0^{\ell/2}\frac{Px}{2}\Bigl(1-\frac{x}{\ell}\Bigr)dx +\int_{\ell/2}^{\ell}\frac{P(\ell-x)}{2}\Bigl(1-\frac{x}{\ell}\Bigr)dx\right] =\frac{1}{EI}\left(\frac{P\ell^2}{24}+\frac{P\ell^2}{48}\right)=\frac{P\ell^2}{16EI}

둘 다 교과서 값과 맞는다. 여기까지가 30초짜리 계산이라는 점이 이 방법의 존재 이유다.

4단계, 전단항이 정말 무시할 만한가. $V=P/2$ , $v=1/2$ 이므로 전단 처짐은 $\delta_s=\kappa_s P\ell/(4GA)$ 다. 직사각형 단면( $I=bh^3/12$ , $A=bh$ , $\kappa_s=6/5$ , $\nu=0.3$ 에서 $E/G=2.6$ )에 대해 비를 계산하면

\frac{\delta_s}{\delta_b}=\frac{12\,\kappa_s E I}{G A \ell^2}\approx 3.1\left(\frac{h}{\ell}\right)^{2}

즉 $h/\ell=1/10$ 이면 약 3%, $1/5$ 이면 약 12%다. “전단은 보통 버린다”의 근거와 “깊은 보에서는 못 버린다”의 근거가 같은 식 하나에서 나온다. 티모셴코 영역의 경계가 이 숫자다(보 이론 참조).

5. 상반정리와 유연도 행렬의 대칭성[편집]

단위하중법을 두 지점에 대해 각각 쓰면 곧바로 유연도 계수가 정의된다. $j$ 지점의 단위하중이 만드는 $i$ 지점의 변위를 $f_{ij}$ 라 하면

f_{ij}=\int\frac{m_i\,m_j}{EI}\,dx

이 식은 $i$ 와 $j$ 를 바꿔도 그대로다. 즉 $f_{ij}=f_{ji}$ 가 정리를 인용할 필요도 없이 식 모양에서 즉시 보인다. 이것이 맥스웰의 상반정리(1864)이고, 일반화된 형태가 베티의 정리(1872)다.

\int_\Omega \boldsymbol\sigma^{(1)}{:}\boldsymbol\varepsilon^{(2)}\,d\Omega=\int_\Omega \boldsymbol\sigma^{(2)}{:}\boldsymbol\varepsilon^{(1)}\,d\Omega \quad\Longrightarrow\quad W_{12}=W_{21}

하중계 1이 하중계 2의 변형을 타고 한 일 = 하중계 2가 하중계 1의 변형을 타고 한 일. 선형·탄성·미소변형이라는 세 가정에만 의존하고, 그래서 이 세 가정이 깨지는 곳(재료 비선형, 접촉, 좌굴 후 거동)에서는 성립하지 않는다.

실무적 귀결이 몇 개 있다.

유연도 행렬이 대칭이므로 강성행렬도 대칭이다. $\mathbf K=\mathbf F^{-1}$ 이고 대칭행렬의 역행렬은 대칭이다. FEM 코드가 상삼각만 저장하고 촐레스키 분해를 쓸 수 있는 근거가 이 대칭성이며, 근본에는 베티 정리가 있다. 반대로 비대칭 강성행렬이 나오면 그건 어딘가 비보존적(추종하중, 마찰 접촉, 유체-구조 연성의 일부 정식화)이라는 신호다.
영향선을 한 번의 해석으로 얻는다. 하중 위치를 바꿔가며 특정 단면의 응답을 구하는 대신, 그 단면에 단위 변위를 강제해 얻은 변형 형상이 곧 영향선이라는 것이 뮐러-브레슬라우 원리이고, 증명이 상반정리 한 줄이다. 교량의 이동 하중 검토가 이 트릭 위에 서 있다. 상세는 영향선.
실험에서 계측점과 가력점을 바꿔도 된다. 가력이 어려운 지점의 응답을 구할 때, 계측이 쉬운 곳에 힘을 걸고 어려운 곳에서 재는 대신 그 반대로 한다. 모달 시험의 상반성 확인이 데이터 품질 검사로 쓰이는 것도 같은 이야기다.

6. 부정정 구조 — 힘법으로 가는 길[편집]

단위하중법이 손계산 도구를 넘어 해석 방법론이 되는 자리가 여기다. 부정정 차수 $n$ 의 구조에서 여분력(redundant) $X_1,\dots,X_n$ 을 골라 제거해 정정 기본계를 만든다. 그 기본계에서

실제 하중만 걸었을 때 여분력 위치의 변위: $\delta_{i0}=\int M_0 m_i/EI\,dx$
여분력 $X_j=1$ 만 걸었을 때의 변위: $f_{ij}=\int m_i m_j/EI\,dx$

를 전부 단위하중법으로 계산하고, 원래 구조에서 그 위치의 변위가 0이어야 한다는 적합 조건을 세운다.

\delta_{i0}+\sum_{j=1}^{n} f_{ij}X_j=0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \mathbf F\mathbf X=-\boldsymbol\delta_0

이것이 힘법(force method) 또는 유연도법이다. $\mathbf F$ 가 위에서 본 이유로 대칭 양정부호이므로 풀이는 얌전하다. 클라페롱의 3연 모멘트 방정식도 지점 모멘트를 여분력으로 고른 이 틀의 특수형이다.

그런데 왜 현대 코드는 다 변위법(FEM)인가. 세 가지 이유가 있다.

기본계 선택이 자동화되지 않는다. 여분력을 어떻게 고르느냐가 사람의 판단이고, 잘못 고르면 $\mathbf F$ 의 조건수가 나빠진다. 반면 변위법은 절점 미지수를 기계적으로 세면 끝난다.
부정정 차수가 커지면 감당이 안 된다. 격자형 건물 골조의 부정정 차수는 수백에서 수천이다. 반대로 자유도는 그보다 훨씬 작을 수도 있다는 점이 역설적인데, 그래도 자동화 가능성이 승부를 갈랐다.
비선형 확장이 어렵다. 힘법은 중첩에 의존하므로 재료·기하 비선형에서 그대로 못 쓴다.

그래도 힘법이 죽지 않은 자리가 있다. 부정정 차수는 낮은데 부재가 많은 계(단순 지지 트러스 하나에 부재 몇 개 추가), 그리고 자기응력장을 직접 다뤄야 하는 문제 — 프리스트레스 설계, 케이블 구조의 장력 배분, 텐세그리티의 형태 찾기가 그렇다. 이 경우 미지수가 실제로 “여분력 몇 개”라서 힘법이 문제의 자연스러운 언어다.

7. 카스틸리아노 제2정리와 왜 같은 답이 나오는가[편집]

선형 탄성체의 변형에너지가 $U=\int M^2/(2EI)\,dx$ 이고, 카스틸리아노 정리 제2정리는 하중 $P_i$ 방향의 변위가

\delta_i=\frac{\partial U}{\partial P_i}

라고 말한다. 미분을 실제로 해 보면

\frac{\partial U}{\partial P_i}=\int\frac{M}{EI}\frac{\partial M}{\partial P_i}\,dx

인데, 선형계에서 $M$ 은 하중들의 선형 결합이므로 $\partial M/\partial P_i$ 는 정확히 ” $P_i$ 자리에 단위하중을 걸었을 때의 모멘트 $m_i$ “다. 즉 두 방법은 같은 적분을 서로 다른 순서로 유도한 것이며, 선형 탄성에서는 항등적으로 같다. 어느 쪽을 외우든 상관없다.

차이가 나는 지점은 세 군데다.

하중이 없는 지점. 카스틸리아노는 미분할 하중이 있어야 하므로, 하중이 없는 곳의 변위를 원하면 가상하중 $Q$ 를 걸고 미분한 뒤 $Q\to0$ 을 취해야 한다. 그 절차가 사실 단위하중법이다. 단위하중법은 처음부터 이 제약이 없다.
비선형 탄성. $M$ 이 하중에 선형이 아니면 위의 동일성이 깨진다. 이때 카스틸리아노 쪽은 변형에너지 $U$ 대신 여변형에너지(complementary energy)로 갈아타야 하고(크로티-엥게서 정리), 단위하중법 쪽은 원래 여가상일 기반이라 그대로 살아남는다.
제1정리와 헷갈리기. $\partial U/\partial \delta_i=P_i$ 가 제1정리이고 이쪽은 변위법 계열이다. 번호를 바꿔 쓰면 완전히 다른 방법이 된다.

8. 실무에서 물리는 것들[편집]

부호 규약. $M$ 과 $m$ 을 반드시 같은 규약으로 그려야 한다. 이 방법에서 오답의 압도적 1위 원인이며, 특히 골조의 절점을 돌 때 부재 국부좌표계의 방향을 놓친다.
적분은 대개 정확히 할 수 있다. $M$ 과 $m$ 이 둘 다 조각별 다항식(집중하중이면 1차, 등분포면 2차)이므로 곱이 낮은 차수의 다항식이다. 그래서 교과서 뒤에 표준 형상 조합별 $\int Mm\,dx$ 표가 붙어 있고(양쪽 삼각형, 삼각형×사다리꼴 등), 실무에서는 적분 대신 그 표를 찾는다. 수치적으로 하려면 심프슨이나 2점 가우스면 정확하다.
곡선 부재는 $dx$ 가 아니라 $ds$ 다. 아치를 직선 근사로 적분하다가 스팬 대 라이즈 비가 큰 경우 눈에 띄게 틀린다.
비틀림항을 빼먹기 쉽다. 평면 격자(그리드)에서 부재가 서로 직각으로 만나면 한쪽의 굽힘이 다른 쪽의 비틀림이 되므로 $\int Tt/GJ$ 가 지배항이 될 수 있다. 특히 개방 단면(I형강)의 $GJ$ 는 작아서 이 항이 크다.

9. 그리고 이것은 수반법이다[편집]

FEM 시대에도 이 방법이 개념적으로 살아 있는 이유가 여기 있다. 선형 구조 $\mathbf K\mathbf u=\mathbf f$ 에서 관심 응답이 어떤 한 자유도의 변위, 즉 $\Delta=\mathbf l^{\mathsf T}\mathbf u$ 라고 하자( $\mathbf l$ 은 그 자유도에만 1이 있는 벡터). 설계변수 $p$ 에 대한 감도는

\frac{d\Delta}{dp}=\mathbf l^{\mathsf T}\frac{d\mathbf u}{dp} =-\boldsymbol\lambda^{\mathsf T}\frac{d\mathbf K}{dp}\mathbf u, \qquad \mathbf K\boldsymbol\lambda=\mathbf l

수반 하중 $\mathbf l$ 이 곧 단위하중이고, 수반해 $\boldsymbol\lambda$ 가 곧 단위하중 케이스의 변위장이다. 그리고 $\boldsymbol\lambda^{\mathsf T}(d\mathbf K/dp)\mathbf u$ 를 요소별로 펼치면 “가상 내력 × 참 내력 / 강성”의 합, 즉 위에서 손으로 채웠던 그 표와 정확히 같은 형태가 나온다. 자기수반 문제에서 $\mathbf K$ 가 대칭이라 수반계를 원래 강성행렬로 풀 수 있는 근거도 베티 정리다.

그래서 위상 최적화나 형상 최적화 코드가 “변위 제약에 대한 감도”를 계산할 때 실제로 하는 일은 단위하중 케이스를 한 번 더 푸는 것이다. 상세한 정식화는 수반법에 있고, 구조 감도 해석의 교과서가 이걸 “가상하중법”이라고 부르는 것은 비유가 아니라 같은 물건이라는 뜻이다.¹

10. 여담[편집]

이름이 넷이나 되는 이유는 발견 경로가 여럿이었기 때문이다. 독일권에서는 모아의 방법(Otto Mohr, 응력원의 그 모아), 영미권에서는 unit load method 또는 virtual work method, 국내 교과서는 단위하중법과 가상일법을 병용한다. 시험에서 문제에 어느 이름이 나와도 같은 표를 그리면 된다.
손계산 자체는 FEM이 1초에 끝낸다. 그런데도 기술사 시험에서 트러스 처짐 문제를 여전히 손으로 풀리는 이유는 답이 아니라 부호를 어디서 틀리는지를 보려는 것이다.
상반정리는 현장 검사에도 쓰인다. 교량 재하시험에서 대칭 구조의 대칭 위치 응답이 상반성을 만족하지 않으면, 계측 오류이거나 구조가 대칭이 아니거나(균열·부식·지지 파손) 둘 중 하나다. 이론이 진단 도구가 되는 드문 예.²
정말 이상하지만 유용한 사실 하나. 가상 상태를 정정 기본계에서 아무렇게나 뽑아도 된다는 자유 때문에, 가상 내력장을 일부러 아주 단순하게 고르면 계산량이 극적으로 줄어든다. 부정정 골조의 특정 절점 처짐을 구할 때 가상 상태로 캔틸레버를 고르면 대부분의 부재에서 $m=0$ 이 되어 항이 통째로 사라진다. 잘 고른 기본계 하나가 적분 열 개를 지운다.³

11. 관련 문서[편집]

순서가 재미있다. 구조공학은 1870년대에 이미 단위하중법으로 “특정 응답의 감도”를 계산하고 있었고, 최적제어와 CFD 쪽에서 수반법이 정립된 것은 1960~80년대다. 손계산 시대의 요령이 알고 보니 일반 이론의 특수 경우였다는 이야기는 이 바닥에서 드물지 않다. ↩
다만 이 검사에는 함정이 있다. 상반성이 깨지는 흔한 원인 1위는 구조 손상이 아니라 지지부 마찰과 신축이음의 고착이다. 마찰은 비보존이라 상반정리를 위반하며, 그래서 계측팀이 먼저 확인하는 것이 받침대 상태다. 구조가 상했다고 보고서를 쓰기 전에 받침을 보라. ↩
그래서 이 방법은 “정해진 절차”라기보다 요령의 집합에 가깝다. 같은 문제를 푸는 두 사람의 풀이 길이가 세 배씩 차이 나고, 짧게 푼 쪽은 대개 가상 상태를 잘 고른 쪽이다. 자동화가 안 되는 이유이기도 하고, 사람이 배울 값어치가 남아 있는 이유이기도 하다. ↩