유연도법

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구조해석 고체역학 마지막 수정: 2026-09-06 04:31:07

1. 개요[편집]

유연도법
Flexibility Method / Force Method
다른 이름힘법 · 여분력법 · 적합법(compatibility method)
미지수여분력 $X_i$ (부정정 차수만큼)
세우는 조건적합 조건 — 변위의 연속성
핵심 식$\mathbf F\mathbf X=-\boldsymbol\delta_0$
쌍대변위법(강성법) — 미지수는 변위, 조건은 평형
현대적 지위범용 코드에서는 퇴역, 자기평형·프리스트레스 문제에서는 현역

부정정 구조를 푼다는 것은 “평형만으로는 부족한 만큼”을 무엇으로 메울 것이냐의 문제다. 힘으로 메우면 유연도법, 변위로 메우면 강성법이다.

유연도법(flexibility method), 다른 이름 힘법(force method)은 부정정 구조에서 평형 방정식만으로 결정되지 않는 여분의 내력(여분력, redundant)을 미지수로 잡고, 제거했던 구속에서 변위가 연속이어야 한다는 적합 조건을 세워 푸는 해법이다. 미지수 개수가 정확히 부정정 차수와 같고, 계수 행렬은 “단위 여분력이 만드는 변위”를 모은 유연도 행렬 F\mathbf F 다.

δ0+FX=0⟺X=−F−1δ0\boldsymbol\delta_0+\mathbf F\mathbf X=\mathbf 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \mathbf X=-\mathbf F^{-1}\boldsymbol\delta_0

19세기 후반부터 20세기 중반까지 구조공학의 주력 계산법이었고1, 오늘날 범용 유한요소법 코드에서는 사실상 자취를 감췄다. 그런데 죽은 것은 “범용 해석 엔진으로서의 유연도법”뿐이고, 여분력 자체가 설계 변수인 문제 — 케이블 장력 배분, 프리스트레스 도입량, 텐세그리티 형태 찾기, 조립 초기응력 — 에서는 지금도 이것이 문제의 자연스러운 언어다.

유연도 계수를 실제로 계산하는 손계산 절차와 상반정리에 따른 대칭성은 단위하중법이 담당한다. 여기서는 행렬 정식화, 왜 졌는가, 어디서 살아남았는가를 본다.

2. 절차 — 기본구조와 여분력[편집]

교과서적 절차는 다섯 줄로 끝난다.

  1. 부정정 차수 nn 을 센다.
  2. 구속 또는 부재 nn 개를 제거해 정정 기본구조(primary structure)를 만든다. 제거한 것에 대응하는 내력이 여분력 X1,…,XnX_1,\dots,X_n.
  3. 기본구조에 실하중만 걸어 여분력 위치의 변위 δi0\delta_{i0} 를 구한다.
  4. 기본구조에 Xj=1X_j=1 만 걸어 fijf_{ij} 를 구한다.
  5. 원래 구조에서 그 변위가 0(또는 지정값 Δi\Delta_i)이어야 하므로 δi0+∑jfijXj=Δi\delta_{i0}+\sum_j f_{ij}X_j=\Delta_i.

보·골조라면 fij=∫mimj/(EI) dxf_{ij}=\int m_i m_j/(EI)\,dx, 트러스라면 fij=∑kmikmjkLk/(AkEk)f_{ij}=\sum_k m_{ik}m_{jk}L_k/(A_kE_k) 이고, 두 식 모두 i↔ji\leftrightarrow j 대칭이 눈으로 보인다 — 맥스웰 상반정리다. 따라서 F\mathbf F 는 대칭이고, 기본구조가 안정하면 양정부호다. 5단계 우변의 Δi\Delta_i 자리에 지점 침하, 온도 변형, 제작 오차, 프리스트레스 도입량을 넣을 수 있다는 것이 이 정식화의 숨은 강점이다. 부정정 구조에서만 응력이 생기는 이런 하중들을 힘법은 우변 한 칸으로 처리한다.

3. 행렬 정식화 — 자기평형 상태가 진짜 주인공[편집]

손계산 절차를 행렬로 다시 쓰면 유연도법의 정체가 드러난다. 트러스로 설명하는 것이 제일 깨끗하다.

부재력 벡터를 q\mathbf q, 절점 하중을 p\mathbf p 라 하면 평형은

Aq=p\mathbf A\mathbf q=\mathbf p

이고, A\mathbf A 는 (구속 제거 후 자유도 수)×(부재 수) 크기의 평형행렬이다. 부정정 구조란 A\mathbf A 의 열이 행보다 많아 해가 유일하지 않은 경우이고, 해 집합은

q=q0+SX\mathbf q=\mathbf q_0+\mathbf S\mathbf X

로 쓰인다. q0\mathbf q_0 는 임의의 특수해(= 기본구조의 해), S\mathbf S 의 열들은 As=0\mathbf A\mathbf s=\mathbf 0 을 만족하는 자기평형 응력 상태(self-stress state)의 기저다. 즉 여분력 X\mathbf X 란 자기평형 상태를 얼마나 섞을지의 계수다. 외력 없이 스스로 균형 잡는 내력 분포 — 프리스트레스가 정확히 이것이다.

여기에 부재 변형 e=feq\mathbf e=\mathbf f_e\mathbf q (fe\mathbf f_e = 부재 유연도, 트러스면 대각 Lk/(AkEk)L_k/(A_kE_k))를 넣는다. 변형이 어떤 절점 변위장에서 나왔을 조건, 즉 적합 조건은 선형대수로 한 줄이다. e\mathbf e 가 AT\mathbf A^{\mathsf T} 의 상공간에 있어야 하고, 이는 A\mathbf A 의 영공간과 직교한다는 뜻이므로

STe=0⟹(STfeS)⏟F X=− STfeq0\mathbf S^{\mathsf T}\mathbf e=\mathbf 0 \quad\Longrightarrow\quad \underbrace{(\mathbf S^{\mathsf T}\mathbf f_e\mathbf S)}_{\mathbf F}\,\mathbf X=-\,\mathbf S^{\mathsf T}\mathbf f_e\mathbf q_0

앞의 손계산 공식과 정확히 같은 식인데, 이 형태에서는 F=STfeS\mathbf F=\mathbf S^{\mathsf T}\mathbf f_e\mathbf S 가 왜 대칭 양정부호인지가 자명하다. fe\mathbf f_e 가 양정부호이고 S\mathbf S 가 열 완전계수이기 때문이다. 상반정리를 인용할 필요도 없다.

곁다리로 맥스웰 규칙의 현대적 형태도 여기서 떨어진다. 자기평형 상태 수 s=dim⁡ker⁡As=\dim\ker\mathbf A, 메커니즘(무응력 변위 모드) 수 m=dim⁡ker⁡ATm=\dim\ker\mathbf A^{\mathsf T} 라 하면 계수-퇴화차수 정리로

s−m=b−(dj−c)s-m=b-(dj-c)

(bb 부재 수, jj 절점 수, dd 차원, cc 구속 수). ss 와 mm 이 동시에 0이 아닐 수 있다는 것이 핵심이고, 이 경우가 바로 텐세그리티처럼 “메커니즘이 있는데 프리스트레스로 강성이 생기는” 구조다. 개수만 세는 고전 맥스웰 규칙이 놓친 부분을 특이값 분해로 A\mathbf A 의 계수를 실제로 재면 정확히 알 수 있다.

4. 유연도와 강성 — 어디까지 역행렬인가[편집]

“유연도는 강성의 역”이라는 문장은 조건부로만 참이다.

  • 부재 수준: 강체 운동을 제거한 자연 좌표(natural coordinates)에서 부재의 ke\mathbf k_e 와 fe\mathbf f_e 는 서로 역행렬이다. 예컨대 봉의 EA/LEA/L 과 L/(EA)L/(EA).
  • 전체 구조 수준: 구속이 충분히 걸려 강성행렬 K\mathbf K 가 정칙이면, 자유도 전체의 유연도 행렬은 K−1\mathbf K^{-1} 이 맞다. 그러나 자유-자유 구조에서는 K\mathbf K 가 특이해서 역이 없고, 그때의 “유연도”는 강체 모드를 제외한 부분공간에서의 유사역행렬(pseudo-inverse)로만 정의된다.
  • 그리고 유연도법의 F\mathbf F 는 K−1\mathbf K^{-1} 이 아니다. 크기부터 다르다. K\mathbf K 는 자유도 수, F\mathbf F 는 부정정 차수 크기다. 둘은 같은 물리의 서로 다른 좌표계일 뿐이다.

이 차이가 실무에서 뜻하는 바가 있다. K\mathbf K 는 희소하고 F\mathbf F 는 조밀하다. 강성행렬은 인접 절점끼리만 결합해 희소행렬이 되고 촐레스키 분해로 싸게 풀리지만, 유연도 행렬은 S\mathbf S 의 열들이 구조 전체에 퍼져 있으면 통째로 꽉 찬다. 자유도 100만 개짜리 모델에서 K\mathbf K 는 풀리고 부정정 차수 30만 개짜리 F\mathbf F 는 못 푸는 이유다.

5. 왜 강성법에 졌는가[편집]

패인은 계산량이 아니라 자동화 가능성이었다.

  1. 기본구조 선택이 알고리즘이 아니다. 어떤 구속을 끊을지는 사람의 판단이고, 컴퓨터에게 시키려면 ”A\mathbf A 의 영공간 기저를 하나 고르라”는 문제가 된다. 영공간 기저는 무한히 많고, 어느 것을 고르느냐가 결과의 수치 안정성을 좌우한다. 반면 변위법은 미지수가 절점 자유도로 이미 정해져 있어서 고를 것이 없다.
  2. 조건수가 선택에 휘둘린다. 나쁜 기본구조를 고르면 F\mathbf F 의 조건수가 폭발한다. 극단적으로는 여분력 두 개가 거의 같은 변형 패턴을 만드는 선택을 하면 F\mathbf F 가 거의 특이해진다. 좋은 선택은 자기평형 상태가 국소화(부재 몇 개에만 걸침)되는 것이고, 이것을 그래프 이론으로 찾는 알고리즘이 연구됐지만 범용성과 강건성에서 변위법을 이기지 못했다.
  3. 비선형·접촉·소성으로 확장이 어렵다. 힘법은 중첩 원리에 기대는데, 재료 비선형이나 대변형에서는 중첩이 깨진다(비선형 구조해석). 반면 변위법은 증분 형태로 자연스럽게 확장된다.
  4. 요소 라이브러리를 만들기 쉽다. 요소마다 ke\mathbf k_e 하나만 주면 조립이 기계적으로 끝난다. 유연도 기반으로는 요소를 자기평형 상태와 함께 정의해야 해서 라이브러리 설계가 훨씬 지저분하다.

역사적으로는 항공 구조 분야에서 두 방법이 나란히 행렬 형태로 정리됐고(아기리스의 에너지 정리 정식화가 대표적), 초기 항공기 구조 코드는 오히려 힘법 쪽이 우세했다. 얇은 판·보강재 구조가 부정정 차수는 낮은데 부재는 많아서 힘법에 유리했기 때문이다. 판세를 뒤집은 것은 범용성이었다 — 강성법은 아무 형상에나 던져 넣어도 돌아갔다.

통합 힘법(Integrated Force Method, IFM)처럼 평형 방정식과 적합 방정식을 한 계에 통합해 부재력을 직접 미지수로 푸는 재도전도 있었다. 부재력을 후처리 미분 없이 바로 얻으므로 응력 정확도가 좋다는 장점이 실제로 있지만, 계 행렬이 비대칭·조밀해지는 대가를 치른다. 결국 상용 코드의 표준이 되지는 못했다.

6. 그래도 살아 있는 자리[편집]

6.1. 프리스트레스와 케이블 구조[편집]

케이블 돔, 사장교, 프리스트레스트 콘크리트에서 설계자가 정하는 것은 변위가 아니라 긴장력이다. 목표는 “자중 상태에서 이 형상, 이 응력 분포가 나오게 하는 초기 장력 분포를 찾아라”이고, 이는 앞의 SX\mathbf S\mathbf X 공간 안에서 X\mathbf X 를 고르는 문제 그 자체다. 자기평형 상태 기저 S\mathbf S 를 구해 놓으면 최적화 변수가 부정정 차수 개로 줄어들어 문제가 갑자기 작아진다. 프리스트레스 도입량 결정, 시공 단계별 장력 조정(케이블 튜닝)이 전형적인 사용처다.

6.2. 텐세그리티와 형태 찾기[편집]

메커니즘이 있으면서도 프리스트레스로 강성이 생기는 텐세그리티는 힘법 없이는 아예 설명이 안 된다. 접선 강성이

KT=KE+KG(q)\mathbf K_T=\mathbf K_E+\mathbf K_G(\mathbf q)

로 쓰이는데, 재료 강성 KE\mathbf K_E 는 메커니즘 방향으로 0이고 기하 강성 KG\mathbf K_G 가 자기평형 내력 q\mathbf q 에 비례해 그 방향을 채운다. 즉 “장력을 넣어야 단단해지는” 현상이 수식으로 이것이다. 형태 찾기 실무에서는 장력을 길이로 나눈 힘밀도(force density)를 변수로 잡아 평형식을 선형화하는 기법이 널리 쓰이며, 그렇게 얻은 형상을 다시 S\mathbf S 기저로 검증한다.

6.3. 자기평형 잔류응력과 조립 초기응력[편집]

용접 잔류응력, 볼트 체결 예압, 온도차로 갇힌 응력은 전부 외력 없이 존재하는 내력 — 즉 ker⁡A\ker\mathbf A 의 원소다. 이들을 다룰 때 “어떤 자기평형 패턴이 가능한가”를 먼저 세는 것이 유연도법적 사고이고, 부정정 차수가 0이면 그런 응력은 원리적으로 존재할 수 없다는 결론(정정 구조는 온도 변화로 응력이 생기지 않는다)이 즉시 나온다. 실무에서 “왜 정정 트러스는 온도 하중을 걸어도 응력이 0인가요”의 답이 이 한 줄이다.

6.4. 모달 유연도 — 구조 건전성 모니터링[편집]

의외의 생존지가 진동 계측 쪽이다. 질량 정규화된 모드 ϕi\boldsymbol\phi_i 로 유연도 행렬을 재구성하면

F≈∑i=1rϕiϕiTωi2\mathbf F\approx\sum_{i=1}^{r}\frac{\boldsymbol\phi_i\boldsymbol\phi_i^{\mathsf T}}{\omega_i^2}

이고, 1/ωi21/\omega_i^2 가중치 때문에 저차 모드 몇 개만으로도 급격히 수렴한다. 반대로 강성행렬을 모드로 재구성하려면 ωi2\omega_i^2 가중이라 고차 모드가 지배해서 실측 데이터로는 사실상 불가능하다. 그래서 손상 탐지 지표로 “모달 유연도 변화”가 표준처럼 쓰인다. 계측 가능한 모드 해석 결과에서 유연도가 강성보다 훨씬 잘 뽑힌다는 이 비대칭성은, 유연도법이 손계산 시대의 유물이 아니라는 가장 현대적인 증거다.

7. 실무에서 물리는 것들[편집]

  • 부정정 차수를 눈으로 세면 틀린다. 복잡한 골조에서 절단 개수를 손으로 세다 보면 내부 힌지·전단 릴리스를 빠뜨린다. A\mathbf A 의 계수를 특이값 분해로 재는 것이 안전하다. 덤으로 메커니즘 개수까지 나온다.
  • 기본구조가 불안정하면 조용히 망한다. 여분력을 잘못 골라 기본구조에 메커니즘이 생기면 F\mathbf F 가 특이해지는데, 수치적으로는 “거의 특이”라 답이 나오긴 나온다. 크기가 이상한 여분력이 나오면 이것을 의심한다.
  • F\mathbf F 의 조건수를 반드시 본다. 값이 101010^{10} 을 넘어가면 기본구조를 바꾼다. 강성법에서 조건수가 나쁘면 모델이 나쁜 것이지만, 힘법에서는 모델은 멀쩡한데 내가 고른 좌표가 나쁜 것일 수 있다는 게 차이다.
  • 부호 규약을 절대 섞지 않는다. 여분력의 양의 방향과 그것이 만드는 변위의 양의 방향이 일치해야 F\mathbf F 가 대칭이 된다. 대칭성이 깨졌다면 백발백중 부호 규약 사고다. 공짜 검산 수단으로 써먹으면 된다.

8. 여담[편집]

  • 유연도법은 사라진 게 아니라 이름을 바꿔 살아남았다. 부분구조법의 슈어 보수, 영역 분할의 FETI, 접촉 문제의 라그랑주 승수 — 전부 “인터페이스에서의 힘을 미지수로 잡고 변위 연속을 조건으로 세운다”는 힘법의 구조다. 대규모 병렬 해석에서 힘법이 부활했다고 말해도 크게 틀리지 않는다.
  • 손계산 시대 구조기술사 시험의 꽃은 3연 모멘트 방정식과 모멘트 분배법이었는데, 앞은 힘법의 특수형이고 뒤는 변위법의 반복해다. 두 진영이 시험지 위에서 나란히 싸우던 시절이 있었다는 뜻이다.2
  • “부정정 구조는 여유가 있어서 안전하다”는 통념은 반은 맞다. 부재 하나가 파괴돼도 재분배되는 것은 사실이지만, 동시에 온도·침하·시공 오차가 곧바로 응력이 된다. 유연도법의 우변 Δi\Delta_i 자리가 그 대가를 정직하게 보여준다.3

9. 관련 문서[편집]

10. Footnotes[편집]

  1. 맥스웰(1864)이 상반정리와 함께 뼈대를 세우고, 모어가 계산 절차로 다듬고, 뮐러-브레슬라우가 체계화했다. 전자계산기가 없던 시절 부정정 차수 3짜리 라멘 하나 푸는 데 며칠이 걸렸고, 그래서 “부정정 차수를 줄이는 설계”가 미덕이던 시대가 실제로 있었다. ↩

  2. 모멘트 분배법(크로스법, 1930)은 변위법의 가우스-자이델 반복을 손으로 돌리는 것이다. 수렴이 눈에 보이고 중간에 그만둬도 근사값이 나온다는 점에서, 어떤 의미로는 컴퓨터 없이 반복법을 쓴 인류 최초의 대중적 사례다. ↩

  3. 그래서 초장대교나 대공간 구조의 시공 단계 해석에서는 “완공 시점의 응력”이 아니라 “각 단계의 응력 이력”을 추적한다. 어느 순서로 조립했느냐가 최종 자기평형 상태를 바꾸기 때문이다. 같은 도면, 같은 재료, 다른 시공 순서 → 다른 응력. 힘법의 언어로는 q0\mathbf q_0 가 달라진 것이다. ↩