미 산란

전자기학 계산물리 전자기해석 마지막 수정: 2026-08-05 04:45:40

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1. 개요

미 산란 Mie scattering
발표	구스타프 미 (1908)
대상	균질한 등방성 구(sphere)
성격	맥스웰 방정식의 엄밀 해석해(급수)
핵심 변수	크기 파라미터 x, 상대 굴절률 m
대표 코드	BHMIE, MIEV0, miepython

미 산란(Mie scattering)은 균질한 구형 입자에 평면 전자기파가 입사할 때의 산란 문제를 맥스웰 방정식으로부터 엄밀하게 푼 해석해, 그리고 그 해가 기술하는 산란 현상을 가리킨다. 1908년 구스타프 미가 콜로이드 금 용액의 색을 설명하려고 유도했다.¹ 근사가 아니라 정확해라는 점이 핵심이다 — 무한급수를 어디서 자르느냐만 남을 뿐, 물리적 근사는 하나도 들어가지 않는다.

그래서 미 이론은 두 가지 얼굴을 가진다. 하나는 기상·해양·연소·리모트센싱에서 실제 예측을 내는 작업 도구, 다른 하나는 새로 짠 전자기 솔버가 맞는지 채점하는 황금 기준이다. 새 FDTD 코드를 짜면 제일 먼저 구를 하나 놓고 미 해와 비교하는 게 국룰이다.

2. 크기 파라미터가 모든 것을 정한다

문제를 지배하는 무차원 수는 두 개뿐이다. 반지름 $a$ , 매질 내 파장 $\lambda$ 에 대한 크기 파라미터

x = \frac{2\pi a}{\lambda}

와 주변 매질 대비 상대 굴절률 $m = \tilde{n}_{\text{입자}} / n_{\text{매질}}$ (흡수가 있으면 복소수)다. 두 값만 같으면 전파 안테나든 물방울이든 같은 답이 나온다. 스케일 불변성의 힘이다.

영역	조건	성격
레일리	x ≪ 1	쌍극자 산란, 전후 대칭, 파장의 네제곱 반비례
미	x ~ 1	다중극 공명, 강한 전방 산란, 파장 의존성 약함
기하광학	x ≫ 1	반사·굴절 광선 + 회절

여기서 자주 오해가 생긴다. 미 이론은 “중간 크기 전용”이 아니다. 모든 $x$ 에서 정확하며, 레일리와 기하광학은 그 양 극한일 뿐이다. “미 산란 영역”이라는 표현은 다른 근사가 안 통하는 구간을 편의상 부르는 관행어다.

3. 급수 해

해는 구면 좌표계에서 벡터 파동방정식을 변수분리해 얻은 벡터 구면조화 함수로 장을 전개하고, 구 표면에서 접선 성분 연속 조건을 걸어 전개계수를 결정하는 방식으로 나온다. 각도 부분은 결국 구면조화 함수의 친척(르장드르 함수 $\pi_n$ , $\tau_n$ )이고, 반지름 부분은 리카티-베셀 함수 $\psi_n(z) = z j_n(z)$ , $\xi_n(z) = z h_n^{(1)}(z)$ 다. 이렇게 얻은 미 계수가 아래 둘이다.

a_n = \frac{m\,\psi_n(mx)\,\psi_n'(x) - \psi_n(x)\,\psi_n'(mx)}{m\,\psi_n(mx)\,\xi_n'(x) - \xi_n(x)\,\psi_n'(mx)}

b_n = \frac{\psi_n(mx)\,\psi_n'(x) - m\,\psi_n(x)\,\psi_n'(mx)}{\psi_n(mx)\,\xi_n'(x) - m\,\xi_n(x)\,\psi_n'(mx)}

$a_n$ 은 전기 다중극, $b_n$ 은 자기 다중극에 대응한다. 이것만 있으면 단면적은 합으로 떨어진다.

Q_{sca} = \frac{2}{x^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)\left(|a_n|^{2}+|b_n|^{2}\right), \qquad Q_{ext} = \frac{2}{x^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)\,\mathrm{Re}\!\left(a_n+b_n\right)

$Q_{abs}=Q_{ext}-Q_{sca}$ 이며, 복사 전달 방정식에 넣을 단일 산란 알베도는 $\varpi = Q_{sca}/Q_{ext}$ 다. 각도 분포를 한 숫자로 요약한 비대칭 인자 $g=\langle\cos\theta\rangle$ 도 같은 계수에서 나온다.

4. 두 극한

$x \ll 1$ 이면 $a_1$ 하나만 살아남고 레일리 산란이 복원된다.

Q_{sca} \approx \frac{8}{3}x^{4}\left|\frac{m^{2}-1}{m^{2}+2}\right|^{2} \;\propto\; \lambda^{-4}

하늘이 파랗고 노을이 붉은 이유가 이 $\lambda^{-4}$ 다. 반대로 구름이 흰 이유는 물방울이 $x \sim 100$ 이라 미 영역에 있어서 모든 가시광 파장을 거의 동등하게 산란하기 때문이다. 같은 물이 하늘에서는 파랗고 구름에서는 흰 것이 순전히 크기 문제라는 게 이 이론의 첫 교훈이다.

$x \gg 1$ 에서는 $Q_{ext} \to 2$ 로 수렴한다. 기하학적 단면적의 두 배를 가린다는 뜻인데, 직관에 정면으로 반해서 소멸 역설(extinction paradox)이라 부른다. 정체는 간단하다 — 반사·굴절로 막는 몫이 1, 입자 가장자리에서 생긴 회절이 전방 좁은 각으로 휘는 몫이 1, 합쳐서 2다.² 이 영역에서는 광선 추적(=프레넬 방정식)으로 무지개(1차 내부 반사, 약 42°)와 글로리(후방 표면파)를 설명할 수 있지만, 글로리의 세기와 편광을 제대로 맞히려면 결국 미 급수를 돌려야 한다.

5. 수치 구현의 함정

수식은 다 나와 있는데 코드로 옮기면 바로 터진다. 이 분야가 라이브러리 계보를 중시하는 이유다.

항수 결정: 급수는 $n \sim x$ 근처까지 유의미하게 기여한다. 위스콤이 제안한 경험식 $n_{max} \approx x + 4x^{1/3} + 2$ 가 사실상 표준이다. 너무 적게 자르면 틀리고, 너무 많이 잡으면 오버플로가 난다.
하향 재귀: 리카티-베셀 함수의 로그 미분 $D_n(z) = \psi_n'(z)/\psi_n(z)$ 을 상향 재귀로 계산하면 반올림 오차가 지수적으로 증폭돼 큰 $x$ 에서 완전히 무너진다. 그래서 $D_n$ 은 $n_{max}$ 보다 훨씬 위에서 0으로 시작해 아래로 내려오는 하향 재귀로 구한다. 반대로 $\psi_n$ , $\chi_n$ 은 상향 재귀가 안정하다. 방향을 거꾸로 잡는 순간 답이 조용히 쓰레기가 되는, 수치해석 교과서적 사례다.³
흡수 입자: $m$ 의 허수부가 크면 $mx$ 가 복소 대영역으로 들어가 $\psi_n(mx)$ 가 폭주한다. 로그 미분만 다루는 정식화가 이 문제를 대부분 흡수한다.
계보: 보렌-허프먼(1983)의 부록 코드 BHMIE가 사실상 조상이며, 위스콤의 MIEV0, 파이썬 생태계의 miepython 등이 여기서 갈라져 나왔다. 새로 짜지 말고 이미 검증된 걸 쓰는 게 이 바닥의 미덕이다.

6. 구가 아니면

미 이론은 완벽한 구에만 통한다. 사막 먼지, 얼음 결정, 검댕 응집체, 적혈구는 구가 아니다. 그래서 도구가 갈린다.

T-행렬법(EBCM, 워터먼 1965): 입사·산란장을 구면파로 전개하고 그 사이 관계를 행렬 하나로 표현한다. 회전 대칭체에 압도적으로 빠르고 방향 평균을 해석적으로 할 수 있어, 얼음 결정·회전타원체 통계에 최적. 종횡비가 극단적이면 수치 불안정.
이산 쌍극자 근사(DDA/DDSCAT): 물체를 쌍극자 격자로 쪼개 상호작용을 푼다. 임의 형상·비균질에 강하지만 $|m|$ 이 크면 정확도가 떨어지고 비용이 크다.
FDTD·유한요소 전자기: 형상 제약이 사실상 없다. 대신 전 계산 영역을 격자로 채워야 하고, 원거리장은 근거리-원거리 변환으로 뽑아야 한다.

7. 응용

복사 전달 방정식의 입력: RTE는 산란 계수·알베도·위상함수를 요구하는데, 그 세 개를 만들어내는 공장이 미 계산이다. 위상함수 전체를 나르기 무거워서 $g$ 하나로 요약한 헤니-그린슈타인 근사를 쓰는 관행이 널리 퍼져 있다. 전방 첨두는 잘 맞지만 무지개·글로리 같은 구조는 통째로 뭉갠다는 걸 잊으면 안 된다. 광학 두께와 조합해 이산종좌표법이나 몬테카를로 광선 추적으로 넘긴다.
에어로졸 원격탐사: 여러 파장에서 잰 소산을 미 커널로 역산해 입자 크기 분포와 굴절률을 추정한다(AERONET, 라이다 역산). 전형적인 부정 문제라 정규화 없이는 답이 안 나온다.
입도 분석: 레이저 회절 입도계는 전방 산란 패턴을 미 이론으로 역산해 분말의 크기 분포를 뽑는다. 장비 설정에서 “굴절률”을 물어보는 이유가 바로 이 $m$ 이다.
레이더 단면적: 기상 레이더에서 빗방울이 파장보다 충분히 작으면 반사도가 $D^6$ 에 비례하는 레일리 근사가 서지만, 우박이나 짧은 파장에서는 미 영역으로 들어가 이 관계가 깨진다. 이걸 무시하면 강수량 추정이 통째로 틀어진다.⁴

8. 관련 문서

사실 미가 최초는 아니다. 로렌츠(Ludvig Lorenz)가 1890년에 사실상 같은 결과를 덴마크어로 냈고, 드바이도 1909년에 독립적으로 얻었다. 그래서 정확을 기하는 논문은 “로렌츠-미 이론” 또는 “로렌츠-미-드바이 이론”이라 쓴다. 덴마크어 논문을 안 읽은 대가로 이름 하나가 통째로 날아간 셈. ↩
소멸 역설의 “회절 몫”은 전방 몇 밀리라디안 안에 몰려 있다. 그래서 검출기 시야각이 넓으면 회절광까지 같이 받아 실측 소산이 이론값의 절반 근처로 나온다. 미 이론이 틀린 게 아니라 실험이 다른 걸 재고 있는 것. ↩
상향 재귀는 원하는 해와 함께 폭발적으로 자라는 두 번째 해를 같이 증폭시킨다. 반올림 오차가 그 두 번째 해에 조금이라도 섞이면 몇 스텝 만에 그쪽이 전부를 지배한다. 밀러 알고리즘이라 불리는 하향 재귀는 이 관계를 뒤집어 원치 않는 해를 감쇠시킨다. 재귀식은 같은데 방향 하나로 코드의 생사가 갈린다. ↩
그래서 짧은 파장 레이더(Ka, W 밴드)나 큰 우박이 있는 상황에서는 반사도-강수량 관계식(Z-R 관계)에 미 보정을 넣는다. 이걸 안 하면 우박 구름이 “폭우”로 둔갑하고, 예보관은 왜 비가 안 오냐는 민원을 받는다. ↩

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