언쇼 정리

물리 전자기학 계산물리 마지막 수정: 2026-09-03 04:14:22

1. 개요[편집]

언쇼 정리 Earnshaw's Theorem
발표	새뮤얼 언쇼 (Samuel Earnshaw), 1842
주장	정전기장만으로는 하전입자의 안정 평형이 불가능
근거	진공에서 $\nabla^2\Phi=0$ — 곡률의 합이 0
따름정리	모든 임계점은 안장점
적용 범위	역제곱 힘 일반 (전기·자기·중력)
탈출로	시간 의존장 · 정자기장 · 유도 쌍극자 · 되먹임

곡률 셋을 더해서 0이 되어야 한다면, 셋 다 양수일 방법은 없다. 이 한 줄이 이온 트랩이라는 산업 하나를 만들었다.

언쇼 정리(Earnshaw’s theorem)는 전하가 없는 영역의 정전기장만으로는 하전입자를 안정한 평형점에 가둘 수 없다는 정리다. 좀 더 넓게 말하면 역제곱 법칙을 따르는 정적인 힘장 안에서 점입자는 세 방향 모두에 대해 되돌림힘을 받는 자리를 가질 수 없다. 1842년 새뮤얼 언쇼가 발표했고, 증명은 반 페이지짜리인데 결론은 잔혹하다 — 전극 배치를 아무리 영리하게 해도 정전기장 트랩은 존재하지 않는다.

이 정리의 진짜 가치는 금지 조항이 아니라 금지의 정확한 조건에 있다. 무엇을 가정했는지 알면 무엇을 어겨야 하는지도 알게 되고, 실제로 20세기의 입자 가둠 기술은 전부 이 가정 목록을 하나씩 깨는 방식으로 만들어졌다. 장을 흔들면 파울 트랩, 자기장을 보태면 페닝 트랩, 유도 쌍극자를 쓰면 광집게, 반자성을 쓰면 개구리가 공중에 뜬다. 정리를 “어긴” 것이 아니라 정리가 말하지 않은 곳으로 나간 것이다.

2. 정리의 진술[편집]

전하 $q$ 인 점입자가 다른 전하들이 만든 정전 퍼텐셜 $\Phi$ 안에 있다. 퍼텐셜 에너지는 $U = q\Phi$ 이고, 입자가 놓인 자리에 다른 전하가 없다면 그 근방에서 $\Phi$ 는 라플라스 방정식을 만족한다.

\nabla^2\Phi = 0 \quad\Longrightarrow\quad \nabla^2 U = 0

안정 평형의 정의는 $\nabla U = 0$ 이면서 그 점이 $U$ 의 국소 극소점이라는 것이다. 정리의 주장은 그런 점이 영역 내부에 존재하지 않는다는 것이다.

여기서 “정전”과 “전하가 없는 영역”이라는 두 조건이 전부 필수다. 전하가 있는 자리에서는 $\nabla^2\Phi = -\rho/\varepsilon_0 \neq 0$ 이므로 논증이 성립하지 않고, 그래서 전하 분포 속에 파묻힌 입자에는 이 정리를 적용할 수 없다.¹

3. 증명 — 조화함수는 극값을 안에 두지 않는다[편집]

증명은 두 가지로 하는데, 둘 다 짧다.

헤세 행렬의 대각합. 임계점에서 헤세 행렬 $H_{ij} = \partial^2 U/\partial x_i \partial x_j$ 의 대각합이 곧 라플라시안이다.

\operatorname{tr} H = \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial z^2} = \nabla^2 U = 0

대각합은 고유값의 합이므로 $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 = 0$ 이다. 안정 평형이려면 세 고유값이 모두 양수여야 하는데 합이 0이니 불가능하다. 즉 적어도 하나의 방향은 반드시 불안정이고, 임계점은 언제나 안장점이다.

고정 점전하 6개가 만드는 φ = Σ qᵢ/|r−rᵢ| 의 중앙 평형점에서 3×3 헤시안을 점전하 2차미분 공식으로 조립해 자코비 회전으로 고유분해한다. 축상 전하비 s 를 −0.4…2.4 로 흔들면 λ 세 개는 크게 움직이는데 합만 |Σλ|/max|λ| ~ 1e−16 자리(기본 배치 5.6e−16)에 붙어 있어, ∇²φ = 0 이 요구하는 대로 언제나 하나 이상이 음수다. 시험전하는 속도 베를레 적분에서 그 방향으로 exp(t/τ) 로 이탈하며 실측 τ 가 이론 1/√|λ₃| 과 δ=1e−4 에서 상대차 1.2e−3 로 맞는다 — 힘 계산에만 ε=1e−3 소프트닝을 두고 헤시안·유한차분 검산은 순수 쿨롱으로 한다.

이 논증에는 자잘한 구멍이 하나 있다. 고유값이 전부 0이면 합도 0이라서 위 논증이 아무 말도 못 한다. 그런 퇴화된 경우까지 막으려면 더 강한 도구가 필요하다.

최대 원리. 조화함수는 영역 내부에서 극값을 가질 수 없다(상수인 경우 제외). 이유는 평균값 성질이다 — 조화함수의 한 점 값은 그 점을 중심으로 한 임의의 구면 위 평균과 정확히 같다.

U(\mathbf x_0) = \frac{1}{4\pi R^2}\oint_{|\mathbf x - \mathbf x_0| = R} U\,dS

$\mathbf x_0$ 이 진짜 극소점이면 주변 구면 위 값이 모두 그보다 크거나 같아야 하는데, 그러면 평균도 그보다 커서 등식이 깨진다. 따라서 극값은 오직 경계에만 존재한다. 정전기 퍼텐셜의 극값이 늘 전극 표면에 있는 이유가 이것이고, 퇴화 경우까지 한 번에 정리된다.²

4. 사중극 — 가장 유용한 반례 아닌 반례[편집]

정전 트랩 설계자가 실제로 손에 쥐는 것은 사중극 퍼텐셜이다.

\Phi(x,y,z) = \frac{V_0}{2d^2}\left(z^2 - \frac{x^2+y^2}{2}\right)

$\nabla^2\Phi = \frac{V_0}{2d^2}(2 - 1 - 1) = 0$ 이므로 이것은 합법적인 진공 퍼텐셜이고, 쌍곡면 전극 세 개로 실제로 만들 수 있다. 양전하 입장에서 보면 $z$ 방향으로는 조화 우물, 반경 방향으로는 뒤집힌 우물이다. 한 방향을 가두는 데 성공한 대가로 두 방향을 정확히 그 절반씩 밀어낸다 — 곡률 합 0이 회계 장부처럼 딱 맞는다.

여기서 갈림길이 나온다.

축 방향 가둠은 유지한 채 반경 방향 발산만 다른 힘으로 상쇄하면 된다. 균일한 축 방향 자기장을 얹어 발산을 감아 돌리는 것이 페닝 트랩이다.
아니면 두 축의 역할을 주기적으로 맞바꾼다. 어느 순간에도 3방향 동시 가둠은 없지만 시간 평균이 가두는 쪽으로 남는 것이 파울 트랩이다. 이쪽의 수학은 마티외 방정식과 카피차 진자가 담당한다.

5. 언쇼가 말하지 않은 것들[편집]

정리의 전제는 넷이다 — 정적인 장, 전하가 없는 영역, 크기가 고정된 점 단극자, 회전하지 않는 정지 좌표계. 각각을 깨는 방법이 곧 실용 기술 목록이 된다.

깨는 전제	방법	실물
정적	RF 로 장을 흔들어 폰데로모티브 퍼텐셜을 만든다	파울 트랩, 사중극 질량분석기
정전만	정자기장의 로런츠 힘을 보탠다	페닝 트랩, 자기 병
고정된 극자	장이 유도하는 쌍극자를 쓴다	광집게, 반자성 부상, 마이스너 부상
정지 좌표계	회전·자이로 안정화, 코리올리 힘	레비트론 팽이, 라그랑주 점 L4·L5
— (정리 밖)	위치를 재서 전압을 실시간으로 바꾼다	되먹임 부상, 이온 트랩 보정 전극

유도 쌍극자 쪽이 가장 미묘하다. 분극률 $\alpha$ 인 입자가 받는 퍼텐셜은 $U = -\tfrac12\alpha|\mathbf E|^2$ 다. 각 성분 $E_i$ 가 조화함수이므로

\nabla^2 |\mathbf E|^2 = 2\sum_i |\nabla E_i|^2 \;\ge\; 0

즉 정적인 진공에서 $|\mathbf E|^2$ 는 열조화함수(subharmonic)라서 내부에 극대는 절대 없지만 극소는 가능하다. 결론이 갈린다.

$\alpha > 0$ (장이 세지는 쪽으로 끌리는 보통 물질)이면 장 세기 극대가 필요한데 그것이 없다 → 정적 장으로는 못 가둔다.
$\alpha < 0$ (반자성체, 초전도체)이면 장 세기 극소가 필요하고 그것은 존재한다 → 가둘 수 있다. 브라운베크가 1939년에 정리한 결론이고, 1997년 네이메헌에서 16 T 자석 위에 개구리를 띄운 실험이 그 실물 시연이다. 초전도체의 마이스너 효과는 완전 반자성( $\chi \approx -1$ )의 극한이라 같은 항목에 들어간다.

광집게는 왜 되는가. 광집게는 $\alpha>0$ 인 유전체 입자를 레이저 초점의 세기 극대에 가둔다. 위 부등식과 정면으로 모순인 것 같지만 아니다 — 광파의 진폭은 라플라스 방정식이 아니라 헬름홀츠 방정식을 만족한다.

\nabla^2 |\mathbf E|^2 = 2\sum_i |\nabla E_i|^2 - 2k^2|\mathbf E|^2

파장 규모에서 우변 둘째 항이 이길 수 있으므로 세기 극대가 허용된다. 초점이라는 것 자체가 준정적 근사가 깨진 증거이고, 정리를 어긴 것이 아니라 정리의 전제(“정적”)를 벗어난 것이다. 레이저 냉각의 쌍극자 트랩과 광격자가 전부 이 구멍을 쓴다.

6. Wing 정리 — 극소는 되고 극대는 안 된다[편집]

중성 원자의 자기 트랩에는 언쇼 정리의 자기장판이 따라온다. 전류가 없는 영역에서 $\mathbf B$ 의 각 성분이 조화함수이므로 위와 같은 계산으로 $|\mathbf B|^2$ 이 열조화함수가 되고, 따라서

전류가 없는 진공에서 $|\mathbf B|$ 는 국소 극소를 가질 수 있지만 국소 극대는 가질 수 없다.

이것이 윙 정리(Wing, 1984)다. 자기 모멘트 $\boldsymbol\mu$ 인 원자의 퍼텐셜이 $U = -\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B$ 이므로 결론이 바로 실험 규약으로 번역된다.

약한장 선호 상태(weak-field-seeking, $U$ 가 $|\mathbf B|$ 에 비례해 증가)는 장 세기 극소에 갇힌다. 원자 자기 트랩은 전부 이 상태만 쓴다.
강한장 선호 상태는 장 세기 극대가 필요하므로 정자기장으로는 원리적으로 못 가둔다.

부수 효과가 하나 붙는다. 가장 단순한 사중극 자기 트랩은 중심에서 $|\mathbf B| = 0$ 인데, 그 지점을 지나는 원자는 스핀이 장을 따라오지 못해 뒤집히고(마요라나 전이) 트랩 밖으로 빠져나간다. 그래서 중심에 회전 편향장을 얹은 TOP 트랩이나, 극소값 자체를 0 이 아니게 만든 이오페-프리처드 트랩을 쓴다. 보스-아인슈타인 응축 1세대 실험이 이 구멍 메우기에서 시작했다.

7. 역제곱 힘 일반으로[편집]

증명에 쓴 것은 “퍼텐셜이 조화함수”라는 사실뿐이므로, 역제곱 법칙을 따르는 어떤 힘에도 그대로 적용된다. 중력도 마찬가지다 — 정지한 점질량들이 만드는 정적 중력장 안에 안정 평형점은 없다. 그래서 지구-달 계의 라그랑주 점 중 L4·L5 가 안정한 것은 회전 좌표계에서 코리올리 힘이 개입한 결과이지 언쇼 정리의 반례가 아니다. 회전을 멈추면 그 안정성도 사라진다.

반면 정리가 금지하지 않는 것들도 분명히 해 두는 게 좋다.

1·2차원 가둠은 자유롭다. 고리 전하의 축 위에 놓인 반대 부호 전하는 축 방향으로 안정하다. 금지되는 것은 3방향 동시 가둠뿐이다.
구속 조건이 있으면 된다. 구슬을 홈에 넣거나 표면에 붙여 두면 나머지 자유도가 없어지므로 정리가 무력해진다.
동역학적 안정성은 별개다. 자기장 안의 전자처럼 궤도가 유계이면서 평형점은 없는 운동이 얼마든지 가능하다. 언쇼 정리는 평형점의 부재를 말하지 유계 궤도의 부재를 말하지 않는다. 페닝 트랩이 정확히 그 예다.

8. 수치 해석에서[편집]

전극 형상에서 실제 트랩 파라미터를 뽑는 일은 라플라스 방정식을 유한요소법이나 경계요소법으로 푸는 일상적인 작업이지만, 언쇼 정리가 무료로 주는 검증 장치가 몇 개 있다.

대각합 0 은 가장 싼 회귀 시험이다. 필드 솔버가 뱉은 퍼텐셜의 헤세 행렬을 트랩 중심에서 수치 미분으로 계산해 세 고유값을 더한다. 격자 이산화 오차 규모를 넘는 값이 나오면 그건 물리가 아니라 버그다 — 경계조건 누락, 공간전하 항 혼입, 격자 왜곡 중 하나다. 이온 트랩 설계 코드의 표준 sanity check.
이산 최대 원리도 그대로 산다. 5점·7점 라플라시안으로 이산화한 해는 이산 최대 원리를 만족하므로 내부 극값이 나올 수 없다. 반대로 내부에 퍼텐셜 극값이 보이는 수치해는 도식이 최대 원리를 깼다는 신호이고, 강한 격자 왜곡이나 부적절한 이방성 스텐실을 의심해야 한다.
평형점을 찾으려 하지 말고 안정 영역을 찾아라. 정적 문제로 뉴턴 반복을 돌려 극소점을 찾는 코드는 원리적으로 실패하도록 되어 있다. RF 트랩이라면 마티외 방정식의 $(a,q)$ 안정 선도를, 자기 트랩이라면 궤적의 유계성을 판정 기준으로 삼는 것이 옳다. 장시간 궤적에는 심플렉틱 적분기를 쓰는 편이 안전하다.
되먹임 부상은 제어 문제로 넘어간다. 위치를 측정해 전압을 조절하는 방식은 정리 밖이지만, 대신 지연·잡음·이득이 결정하는 폐루프 안정성 문제가 된다. 정전 부상 자이로나 미소중력 가속도계 설계가 이쪽이다.

9. 여담[편집]

언쇼의 원 논문 제목은 「빛을 내는 에테르의 구성을 규율하는 분자간 힘의 성질에 관하여」다. 그는 에테르 입자가 역제곱 힘으로 안정하게 배열될 수 있는가를 따지다가 이 정리를 얻었다. 에테르는 사라졌지만 정리는 남았다 — 물리학사에서 가장 수익률 좋은 부산물 중 하나다.³
이 정리 때문에 “영구자석만으로 자석을 공중에 띄우는 장치”는 특허청 단골 반려 항목이 되었다. 반자성·초전도·회전·되먹임 중 하나가 없으면 원리적으로 안 되는데, 출품되는 장치들은 대개 넷 다 없다.
톰슨의 원자 모형(플럼 푸딩)이 전자를 양전하 젤리 속에 박아 둔 것은 우연이 아니다. 그 안에서는 $\nabla^2\Phi\neq0$ 이라 언쇼 정리가 적용되지 않아 안정 배열이 가능하다. 러더퍼드가 젤리를 없애자 정전기적 안정성도 같이 없어졌고, 그 빈자리를 양자역학이 메웠다.
대각합이 0 이라는 성질은 사실 트랩 설계자에게 정확한 예산표를 준다. 한 방향의 가둠 세기를 두 배로 키우면 나머지 두 방향의 발산 세기 합도 정확히 두 배가 된다. 공짜 점심이 없다는 것을 이렇게 대놓고 알려 주는 정리도 드물다.

10. 관련 문서[편집]

이 예외가 실전에서 의외로 자주 쓰인다. 비중성 플라스마의 자기 자신이 만드는 공간전하, 이온 결정 안쪽에 앉은 이온, 유전체 안에 갇힌 전하는 모두 $\rho\neq0$ 영역이라 정리의 사정권 밖이다. 물론 그 대가로 문제가 자체일관 비선형이 되어 훨씬 어려워진다. 세상에 공짜는 없다. ↩
평균값 성질은 뒤집어 보면 “정전 퍼텐셜은 세상에서 가장 게으른 함수”라는 뜻이다. 어떤 점에서도 주변 평균에서 벗어나지 않으려 하니 볼록한 구덩이를 만들 재주가 없다. 이 게으름이 트랩 설계자 백오십 년의 고생을 만들었다. ↩
정리가 얼마나 튼튼한지는 오히려 언쇼 본인의 목적이 틀렸다는 점에서 드러난다. 전제가 “역제곱 힘 + 정적”이면 되고 에테르가 있는지 없는지는 아무 상관이 없다. 좋은 정리는 저자의 세계관보다 오래 산다. ↩