보스-아인슈타인 응축

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물리 양자역학 계산물리 마지막 수정: 2026-09-04 04:14:27

1. 개요[편집]

보스-아인슈타인 응축
Bose–Einstein Condensation
예측보스 · 아인슈타인 (1924~25)
최초 실현1995 — JILA($^{87}$Rb) · MIT($^{23}$Na)
노벨 물리학상2001 (코넬 · 위먼 · 케테를레)
균일계 조건$n\lambda_T^3 \ge \zeta(3/2) \simeq 2.612$
조화 트랩 조건$k_BT_c = \hbar\bar\omega\,(N/\zeta(3))^{1/3}$
평균장 기술그로스-피타옙스키 방정식
표준 수치기법허수시간 전파 + 분할단계 푸리에

통계 하나 바꿨더니 물질의 새로운 상이 튀어나왔다. 상호작용도, 힘도 필요 없었다.

보스-아인슈타인 응축(Bose–Einstein condensation, BEC)은 동일한 보손으로 이루어진 계를 임계온도 아래로 식히면 단일 양자 상태(보통 바닥상태)의 점유수가 거시적 크기로 커지는 상전이다. 강조할 지점은 “거시적”이다. 절대영도 근처에서 입자가 바닥상태로 몰리는 것은 당연해 보이지만, 여기서 벌어지는 일은 그런 점진적 이동이 아니라 유한한 온도에서 갑자기 전체 입자 수의 유한한 비율이 상태 하나에 들어앉는 것이다. 그 임계온도 아래로는 남은 여기 상태들이 아무리 애써도 입자를 다 수용하지 못한다.

더 놀라운 부분은 이 전이를 상호작용이 전혀 없어도 일으킬 수 있다는 것이다. 대부분의 상전이는 입자끼리 서로 끌어당기거나 정렬하려는 상호작용이 열운동을 이기면서 일어나는데, 이상 보스 기체의 응축은 순전히 양자 통계의 셈법만으로 일어난다. 파울리 배타원리가 없는 입자들이 같은 상태에 몰리는 것을 오히려 선호한다는 사실 하나가 원인의 전부다. 아인슈타인 본인도 1925년 논문에서 이 결론을 조금 미심쩍어했다.1

이 문서는 응축의 조건과 임계온도, 그리고 이 위키의 본령인 수치해석 — 그로스-피타옙스키 방정식을 어떻게 푸는가에 집중한다. 여기까지 오는 냉각 사슬(도플러·시지프스·증발)은 레이저 냉각이, 트랩의 자기장 설계는 언쇼 정리가, 상전이 일반론은 상전이가 맡는다.

2. 왜 하필 그 온도인가 — 균일 이상 보스 기체[편집]

부피 VV 안의 상호작용 없는 보손을 대정준 앙상블로 다룬다. 에너지 ϵ\epsilon 상태의 평균 점유수는 보스-아인슈타인 분포

⟨n(ϵ)⟩=1e(ϵ−μ)/kBT−1\langle n(\epsilon)\rangle = \frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/k_BT}-1}

이고, 발산을 피하려면 μ\mu 가 바닥준위(ϵ0=0\epsilon_0=0)보다 낮아야 한다. 여기서 문제가 생긴다. 여기 상태들이 담을 수 있는 총 입자 수를 μ→0−\mu\to0^- 극한에서 계산해 보면

Nexmax⁡=VλT3 ζ(3/2),λT=h2πmkBTN_{\rm ex}^{\max} = \frac{V}{\lambda_T^3}\,\zeta(3/2), \qquad \lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_BT}}

로 유한하다. λT\lambda_T 는 열적 드브로이 파장, ζ(3/2)=2.612…\zeta(3/2)=2.612\ldots 다. 즉 온도를 낮추면 여기 상태의 수용 능력이 줄어드는데, 입자 수는 그대로다. 넘치는 입자는 갈 곳이 하나뿐 — 바닥상태다. 그래서 응축 조건은

nλT3  ≥  ζ(3/2)≃2.612n\lambda_T^3 \;\ge\; \zeta(3/2) \simeq 2.612

이고, 좌변이 위상공간 밀도다. 물리적으로는 “입자 간 거리가 드브로이 파장 정도로 좁혀져 파동함수가 서로 겹치기 시작하는 지점”이다. 등호에서 임계온도를 풀면

Tc=2πℏ2mkB(nζ(3/2))2/3,N0N=1−(TTc)3/2T_c = \frac{2\pi\hbar^2}{m k_B}\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}, \qquad \frac{N_0}{N} = 1-\left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}

여기서 차원이 결정적이라는 점을 짚고 가야 한다. 균일 2차원 이상 보스 기체에서는 같은 적분이 로그로 발산해 Nexmax⁡=∞N_{\rm ex}^{\max}=\infty 가 되고, 유한온도 응축이 아예 없다. 1차원은 더 심하다. 3차원 상태밀도 g(ϵ)∝ϵ1/2g(\epsilon)\propto\epsilon^{1/2} 가 ϵ→0\epsilon\to0 에서 충분히 빨리 죽어 준다는 것이 응축의 진짜 전제 조건이다.

3. 트랩 안은 다르다 — 스케일링이 바뀐다[편집]

여기서 자주 틀리는 대목. 실험의 원자 구름은 균일하지 않고 조화 퍼텐셜에 갇혀 있다. 갇히면 상태밀도가 달라진다. 3차원 조화 트랩에서는 g(ϵ)=ϵ2/2(ℏωˉ)3g(\epsilon)=\epsilon^2/2(\hbar\bar\omega)^3 이라 반준고전 계산이 이렇게 바뀐다.

Nexmax⁡=ζ(3)(kBTℏωˉ)3⟹kBTc=ℏωˉ(Nζ(3))1/3≃0.94 ℏωˉ N1/3N_{\rm ex}^{\max}=\zeta(3)\left(\frac{k_BT}{\hbar\bar\omega}\right)^{3} \quad\Longrightarrow\quad k_BT_c=\hbar\bar\omega\left(\frac{N}{\zeta(3)}\right)^{1/3}\simeq 0.94\,\hbar\bar\omega\,N^{1/3}

ωˉ=(ωxωyωz)1/3\bar\omega=(\omega_x\omega_y\omega_z)^{1/3} 는 기하평균 트랩 진동수, ζ(3)=1.202…\zeta(3)=1.202\ldots 다. 균일계와 비교해 두 가지가 달라졌다.

  • 제어변수가 밀도가 아니라 원자 수다. Tc∝N1/3T_c \propto N^{1/3} 이고, 트랩을 조이면(ωˉ\bar\omega 를 키우면) 같은 원자 수로도 TcT_c 가 올라간다.
  • 응축 분율의 지수가 다르다. N0/N=1−(T/Tc)3N_0/N = 1-(T/T_c)^3 — 균일계의 3/23/2 가 아니라 3 이다. 이 지수는 실험에서 흡수 영상으로 직접 재는 양이라 모형 검증의 1차 지표로 쓰인다.

두 결과를 잇는 다리도 있다. 국소밀도 근사로 트랩을 국소적으로 균일한 것처럼 다루면, 트랩 중심의 최대 밀도가 n(0)λT3=ζ(3/2)n(0)\lambda_T^3=\zeta(3/2) 에 도달하는 순간이 정확히 위 TcT_c 다. 위상공간 밀도 2.612 라는 기준 자체는 살아 있고, 그것을 어디서 재느냐가 바뀐 것뿐이다. 참고로 2차원이라도 조화 트랩 안에서는 응축이 가능하다(kBTc=ℏωˉN/ζ(2)k_BT_c=\hbar\bar\omega\sqrt{N/\zeta(2)}) — 가둠이 상태밀도를 바꿔 균일계의 금지를 풀어 버린다.

숫자를 넣어 보자. 87^{87}Rb 원자 10410^4 개, ωˉ/2π=100\bar\omega/2\pi=100 Hz 면 Tc≈100T_c\approx 100 nK 규모다. 상온에서 아홉 자릿수를 내려와야 하고,2 그 아홉 자릿수를 어떻게 벌었는지가 레이저 냉각 문서의 내용이다. 1995년 6월 JILA의 코넬·위먼 그룹이 87^{87}Rb 에서, 같은 해 9월 MIT의 케테를레 그룹이 23^{23}Na 에서 이 문턱을 넘었고 2001년 노벨상을 받았다.

4. 그로스-피타옙스키 방정식[편집]

실제 원자는 서로 부딪힌다. 극저온에서는 ss-파 산란만 살아남아 상호작용이 산란 길이 asa_s 하나로 요약되고, 유효 접촉 퍼텐셜 g δ(r−r′)g\,\delta(\mathbf r-\mathbf r'), g=4πℏ2as/mg=4\pi\hbar^2a_s/m 로 쓸 수 있다. 여기에 “모든 원자가 같은 단일입자 파동함수 ψ\psi 에 있다”는 하르트리형 가정(즉 하트리-폭 방법의 보손판)을 넣고 변분하면 그로스-피타옙스키 방정식(GPE)이 나온다.

iℏ∂ψ∂t=[−ℏ22m∇2+Vext(r)+g∣ψ∣2]ψ,∫∣ψ∣2d3r=Ni\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V_{\rm ext}(\mathbf r)+g|\psi|^2\right]\psi, \qquad \int|\psi|^2 d^3r=N

정지 상태는 ψ(r,t)=ϕ(r)e−iμt/ℏ\psi(\mathbf r,t)=\phi(\mathbf r)e^{-i\mu t/\hbar} 로 두어 μϕ=[ ⋯ ]ϕ\mu\phi=[\,\cdots]\phi 를 푼다. 대응하는 에너지 범함수는

E[ψ]=∫(ℏ22m∣∇ψ∣2+Vext∣ψ∣2+g2∣ψ∣4)d3rE[\psi]=\int\left(\frac{\hbar^2}{2m}|\nabla\psi|^2+V_{\rm ext}|\psi|^2+\frac{g}{2}|\psi|^4\right)d^3r

이고, μ≠E/N\mu\ne E/N 이다 — 비선형항 때문에 화학퍼텐셜은 μ=∂E/∂N\mu=\partial E/\partial N 이지 평균 에너지가 아니다. 코드를 짜고 나서 둘이 안 맞는다고 당황하는 것이 이 분야 통과의례.

방정식 모양이 비선형 슈뢰딩거 방정식에 외부 퍼텐셜을 붙인 것과 정확히 같다. 그래서 as<0a_s<0(인력, 7^7Li·85^{85}Rb)일 때 밝은 솔리톤이, as>0a_s>0 일 때 어두운 솔리톤과 소용돌이가 나온다. 다만 GPE는 적분가능하지 않다 — 트랩 항과 3차원이 그 성질을 깨기 때문에, NLS 쪽의 역산란 해법은 여기서 안 통하고 전부 수치로 간다.

유효한 범위도 분명하다. 희박 조건 n∣as∣3≪1n|a_s|^3\ll1 과 T≪TcT\ll T_c 를 요구한다. 이 밖의 영역은 확장 모형으로 넘어간다 — 유한온도에서 열 구름과의 결합까지 보려면 GPE에 볼츠만 방정식 꼴의 충돌항을 붙인 ZNG(자렘바-니쿠니-그리핀) 형식이, 강한 상관이나 저차원 영역은 양자 몬테카를로가 맡는다.

두 가지 파생 결과는 알아 둘 값어치가 있다. 회복 길이(healing length)

ξ=ℏ2mgn=18πnas\xi=\frac{\hbar}{\sqrt{2mgn}}=\frac{1}{\sqrt{8\pi n a_s}}

는 응축체가 벽이나 결함 옆에서 밀도를 회복하는 데 걸리는 거리이고, 모든 수치 격자의 해상도 기준이다. Δx≲ξ/3\Delta x\lesssim\xi/3 을 못 지키면 소용돌이 코어가 격자에 눌려 위치와 에너지가 다 틀린다. 그리고 상호작용이 압도적일 때는 운동에너지를 버리는 토머스-페르미 근사 n(r)=[μ−Vext(r)]/gn(\mathbf r)=[\mu-V_{\rm ext}(\mathbf r)]/g 가 성립해, 조화 트랩에서 밀도가 뒤집힌 포물면이 된다. 이게 실험 사진에서 응축체를 알아보는 표식이다.

5. 바닥상태를 어떻게 찾는가 — 허수시간 전파[편집]

GPE의 바닥상태는 비선형 고윳값 문제라 고유값 문제 루틴을 바로 못 쓴다. 표준 해법은 허수시간 전파(imaginary-time propagation)다. t→−iτt\to-i\tau 로 치환하면 슈뢰딩거 꼴이 확산 꼴로 바뀐다.

−ℏ∂ψ∂τ=[−ℏ22m∇2+Vext+g∣ψ∣2]ψ-\hbar\frac{\partial\psi}{\partial\tau} =\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V_{\rm ext}+g|\psi|^2\right]\psi

선형 문제라면 원리가 뻔하다. 초기 파동함수를 고유상태로 전개하면 각 성분이 e−Enτ/ℏe^{-E_n\tau/\hbar} 로 줄어드는데, 가장 느리게 죽는 것이 바닥상태이므로 시간이 지나면 그것만 남는다. 수렴 속도는 갭 E1−E0E_1-E_0 가 정한다 — 거듭제곱법과 정확히 같은 논리이고, 갭이 작은 얕은 트랩에서 수렴이 기어가는 이유도 같다.

비선형이라 두 가지가 추가된다.

  • 매 스텝 재규격화. 허수시간 전파는 노름을 보존하지 않으므로 스텝마다 ∫∣ψ∣2=N\int|\psi|^2=N 으로 다시 맞춰야 한다. 이 “이산 정규화 기울기 흐름”이 실제로 GP 에너지 범함수를 단조 감소시킨다는 것은 바오-두가 증명했다. 즉 허수시간 전파는 사실 **제약 최적화의 경사하강법**이고, 그래서 켤레기울기법이나 소볼레프 기울기로 바꿔 훨씬 빨리 수렴시키는 것이 요즘 표준이다.
  • 초기 추정이 결과를 바꾼다. 비선형 문제라 국소 최소가 있다. 소용돌이가 몇 개 들어간 상태는 전부 국소 최소이므로, 위상을 무작위로 뿌린 초기값에서 출발하면 소용돌이가 낀 준안정 해에 갇히기 쉽다. 진짜 바닥상태를 원하면 토머스-페르미 프로파일처럼 위상이 균일한 초기값에서 출발한다.

수렴 판정은 노름 변화가 아니라(정규화 때문에 무의미하다) μ\mu 의 표류와 잔차 ∥Hϕ−μϕ∥\|H\phi-\mu\phi\| 로 한다.

6. 시간 전파 — 분할단계 푸리에[편집]

실시간 동역학(트랩을 끄고 팽창시키기, 소용돌이 생성, 간섭 실험)은 분할단계 푸리에법이 사실상 독점한다. 운동항은 푸리에 공간에서, 퍼텐셜+비선형항은 실공간에서 각각 정확히 풀리기 때문이다.

ψ  ←  e−iV^Δt/2ℏ  F−1e−iℏk2Δt/2mF  e−iV^Δt/2ℏ ψ,V^=Vext+g∣ψ∣2\psi \;\leftarrow\; e^{-i\hat V\Delta t/2\hbar}\; \mathcal F^{-1}e^{-i\hbar k^2\Delta t/2m}\mathcal F\; e^{-i\hat V\Delta t/2\hbar}\,\psi, \qquad \hat V=V_{\rm ext}+g|\psi|^2

비선형 부분스텝에서 ∣ψ∣2|\psi|^2 이 상수로 유지된다는 것이 핵심이다 — 그래서 지수함수가 순수한 위상 회전이 되고, 반복 없이 한 방에 끝난다. 스트랑 분할이라 2차 정확도이고 심플렉틱 적분기의 성질을 물려받아 에너지 오차가 누적되지 않는다. 알고리즘의 세부(별칭 문제, 스텝당 고속 푸리에 변환 왕복 한 번으로 줄이는 요령)는 비선형 슈뢰딩거 방정식 문서에 정리돼 있으니 여기서는 GPE 고유의 함정만 적는다.

  • 주기 경계의 대가. FFT는 주기 경계를 강제한다. 트랩에 갇힌 응축체는 꼬리가 지수적으로 죽으니 보통 문제없지만, 트랩을 끄고 자유 팽창을 오래 돌리면 구름이 상자를 넘어 반대편에서 되돌아 들어온다. 상자를 키우든지 흡수층을 두든지 골라야 한다.
  • 질량 보존은 검증 지표가 아니다. 분할단계는 ∫∣ψ∣2\int|\psi|^2 을 구성상 정확히 보존한다. 표류가 보인다면 그건 시간 정확도가 아니라 별칭 처리나 구현 버그다. 진짜 지표는 에너지 EE 의 표류와 Δt2\Delta t^2 수렴 차수다.
  • 비리얼 항등식. 조화 트랩의 정지 해는 3차원에서 2Ekin−2Etrap+3Eint=02E_{\rm kin}-2E_{\rm trap}+3E_{\rm int}=0 을 만족해야 한다. 세 에너지를 따로 뽑아 이 조합이 0 근처인지 보는 것이 가장 값싸고 예민한 회귀 시험이다.
  • 격자 vs 회복 길이. 앞서 말한 Δx≲ξ/3\Delta x\lesssim\xi/3. 소용돌이를 다룰 거면 이걸 안 지킨 결과는 “부드러워 보이지만 완전히 틀린” 그림이다.3

경계가 복잡하거나 흡수 경계가 필요하면 FFT를 버리고 크랭크-니콜슨법 + 유한차분법으로 가는데, 스텝마다 비선형 연립을 풀어야 해서 훨씬 비싸다.

7. 회전 트랩과 소용돌이 격자[편집]

응축체의 속도장은 위상의 기울기다. ψ=n eiθ\psi=\sqrt{n}\,e^{i\theta} 로 쓰면 v=(ℏ/m)∇θ\mathbf v=(\hbar/m)\nabla\theta 이므로 와도가 어디서나 0인 비회전 흐름이다. 그렇다면 회전하는 통 안의 응축체는 어떻게 각운동량을 갖는가? 답은 위상이 감기는 특이점을 만드는 것이다. 파동함수가 단일값이어야 하므로 순환은 양자화된다.

∮v⋅dℓ=ℓ hm,ℓ∈Z\oint \mathbf v\cdot d\boldsymbol\ell = \ell\,\frac{h}{m},\qquad \ell\in\mathbb Z

이 특이점이 양자 소용돌이다. 중심에서 밀도가 정확히 0이고, 코어 크기가 바로 회복 길이 ξ\xi 다. ℓ≥2\ell\ge2 인 소용돌이는 에너지가 ℓ2\ell^2 로 커서 보통 ℓ=1\ell=1 짜리 여러 개로 쪼개진다.

수치적으로 회전을 다루려면 각속도 Ω\Omega 로 도는 좌표계로 옮겨 해밀토니안에 −ΩLz-\Omega L_z 를 더한다.

iℏ∂tψ=[−ℏ22m∇2+Vext+g∣ψ∣2−ΩLz]ψ,Lz=−iℏ(x∂y−y∂x)i\hbar\partial_t\psi=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V_{\rm ext}+g|\psi|^2-\Omega L_z\right]\psi, \qquad L_z=-i\hbar(x\partial_y-y\partial_x)

여기서 분할단계가 곤란해진다. LzL_z 는 운동항과도 퍼텐셜항과도 교환하지 않기 때문이다. 실무의 해법은 LzL_z 를 x∂yx\partial_y 와 y∂xy\partial_x 로 쪼개는 것이다 — x∂yx\partial_y 는 (x,ky)(x,k_y) 혼합 표현에서 대각이므로, 축마다 부분 푸리에 변환만 하는 교대방향 분할로 각 조각을 정확히 풀 수 있다(바오 계열의 ADI형 분할). 이걸 모르고 LzL_z 를 유한차분으로 명시적 처리하면 회전이 조금씩 새어 각운동량이 표류한다.

물리는 이렇게 전개된다. Ω\Omega 가 임계값 Ωc\Omega_c(대략 (ℏ/mR⊥2)ln⁡(R⊥/ξ)(\hbar/mR_\perp^2)\ln(R_\perp/\xi) 규모, 정확한 계수는 기하에 따라 다르다)를 넘으면 소용돌이 한 개가 들어오는 것이 에너지적으로 유리해지고, Ω\Omega 를 더 올리면 소용돌이가 늘어나면서 서로 밀어내 삼각 격자로 배열된다. 이때 소용돌이 면밀도는 파인만의 논증대로 nv=mΩ/πℏn_v=m\Omega/\pi\hbar 로, 격자가 강체 회전을 흉내 낸다. 초전도체 제2종의 아브리코소프 격자와 수학적으로 같은 구조이며(그쪽 이야기는 마이스너 효과 문서로 넘긴다), 2000년 ENS 그룹이 회전 교반으로 소용돌이를 만들고 2001년 MIT 그룹이 100개 넘는 격자를 찍으면서 확정됐다.

8. 응축과 초유동은 같은 말이 아니다[편집]

자주 뭉뚱그려지지만 둘은 논리적으로 별개다. 응축은 단일 상태의 거시적 점유(비대각 장거리 질서)이고, **초유동**은 임계속도 아래에서 마찰 없이 흐르는 성질이다.

  • 상호작용 없는 이상 보스 기체는 응축은 하지만 초유체가 아니다. 보고류보프 여기 스펙트럼 E(k)=ϵk(ϵk+2gn)E(k)=\sqrt{\epsilon_k(\epsilon_k+2gn)} 에서 g=0g=0 이면 E=ϵk=ℏ2k2/2mE=\epsilon_k=\hbar^2k^2/2m 이 되어, 란다우 판정 vc=min⁡kE(k)/ℏkv_c=\min_k E(k)/\hbar k 가 0 이 된다. 초유동을 만드는 것은 상호작용이 저파수에서 만들어 주는 선형(포논) 분산 E≃ℏckE\simeq\hbar c k, c=gn/mc=\sqrt{gn/m} 이다.
  • 거꾸로 2차원 유한온도계는 진짜 응축 없이도 BKT 전이로 초유체가 된다. 상전이 문서의 소용돌이 쌍 풀림 이야기가 그것이다.

액체 4^4He 의 2.17 K 람다 전이는 역사적으로 BEC와 연결돼 논의됐지만, 강한 상관 때문에 응축 분율이 10% 안팎에 그친다. 묽은 원자 기체가 각광받은 이유가 정확히 여기 있다 — 응축 분율이 거의 100% 이고, 상호작용이 산란 길이 하나로 요약되며, 페슈바흐 공명으로 그 asa_s 를 실험 중에 실시간으로 바꿀 수도 있다.4 이론이 쓴 그대로 재현되는 계가 생긴 것이고, 그래서 GPE는 드물게도 정량적으로 신뢰받는 평균장 이론이 됐다.

9. 여담[편집]

  • 1924년 사티엔드라 보스가 광자 통계에 관한 논문을 여러 학술지에 거절당한 뒤 아인슈타인에게 직접 편지를 보냈고, 아인슈타인이 손수 독일어로 번역해 실어 주면서 이 이야기가 시작됐다. 아인슈타인은 그 통계를 질량 있는 입자로 확장하다가 응축을 발견했다. 남의 논문을 번역해 주다가 새 물질상을 발견한 셈이다.
  • 1995년의 첫 사진은 사실 실공간 밀도가 아니라 속도 분포다. 트랩을 끄고 수십 ms 자유 팽창시킨 뒤 흡수 영상을 찍으면 초기 운동량 분포가 공간으로 펼쳐지는데, 넓은 열 구름 위에 좁고 뾰족한 봉우리가 솟은 그 그림이 응축의 표식이 됐다. 트랩이 비등방이면 응축체는 팽창하면서 종횡비가 뒤집히는데(좁은 축이 더 빨리 퍼진다), 열 구름은 등방으로 퍼지므로 이 반전 자체가 응축의 독립 증거로 쓰인다.
  • GPE는 응축체 전용 방정식이 아니다. 같은 식이 광섬유 펄스와 심해파 포락선에서 나오고, 그래서 물통에서 로그 파도를 만드는 사람과 나노켈빈 원자를 다루는 사람이 같은 코드를 돌린다. 무대가 아홉 자릿수 다른데 방정식이 같다는 것이 이 바닥의 국룰이다.

10. 관련 문서[편집]

11. Footnotes[편집]

  1. 실제로 이 예측은 발표 직후 열광적으로 받아들여지지 않았다. 울렌벡은 박사논문에서 “유한한 계에서는 어디에도 불연속이 없는데 어떻게 상전이라 하느냐”고 반론했고, 논쟁은 열역학적 극한을 제대로 취해야 한다는 정리로 1930년대 후반에 가라앉았다. 유한 격자에서 상전이를 재려는 사람이 오늘날 유한크기 스케일링으로 씨름하는 것과 정확히 같은 종류의 문제였던 셈이다. ↩

  2. 응축체 이야기를 하면 반드시 “그럼 우리도 응축될 수 있냐”는 질문이 나오는데, 사람의 열적 드브로이 파장은 10−2410^{-24} m 규모라 nλT3n\lambda_T^3 가 우주의 나이를 다 써도 2.612 근처에 못 간다. λT∝m−1/2\lambda_T\propto m^{-1/2} 라 질량이 조금만 커져도 가망이 없다는 것이 냉원자 실험이 하필 가벼운 알칼리 금속에 몰려 있는 이유이기도 하다. ↩

  3. 소용돌이 코어가 ξ\xi 규모인데 응축체 크기는 그 수십~수백 배라, 3차원 소용돌이 격자를 제대로 풀려면 격자점이 금방 10810^8 개를 넘는다. 그래서 이 분야는 GPU 기반 FFT가 가장 먼저 표준이 된 계산물리 분과 중 하나다. “격자가 다 했다”는 말이 여기서도 통한다. ↩

  4. 산란 길이가 자기장으로 조절된다는 이야기를 처음 들으면 사기 같은데, 원리는 단순하다. 두 원자의 산란 채널과 분자 준위가 자기장에 따라 다르게 이동하다가 공명하면 asa_s 가 발산하며 부호까지 바뀐다. 덕분에 같은 장치에서 인력 응축체와 척력 응축체를 스위치 하나로 오갈 수 있고, asa_s 를 갑자기 음수로 바꿔 응축체를 붕괴시키는 “보스노바” 실험도 나왔다. ↩