마이스너 효과

1. 개요[편집]

마이스너 효과 Meissner Effect
발견	1933 — 발터 마이스너 · 로베르트 옥센펠트
핵심	냉각 순서와 무관하게 내부 $\mathbf B = 0$
기술	런던 방정식 (1935) · 긴츠부르크-란다우 (1950)
침투깊이	$\lambda_L=\sqrt{m/\mu_0 n_s e^2}$, 대략 20~200 nm
임계자기장	$\mu_0H_c^2/2 = g_n - g_s$ (응축 에너지)
분류	$\kappa=\lambda/\xi$ 가 $1/\sqrt2$ 보다 작으면 제1종, 크면 제2종
자속 양자	$\Phi_0 = h/2e = 2.068\times10^{-15}$ Wb

자석 위에 초전도체를 띄우는 그 유명한 시연 영상은, 사실 “저항이 0이라서” 되는 것이 아니다.

마이스너 효과(Meissner effect)는 초전도체가 임계온도 아래로 내려가면 자기 이력과 무관하게 내부의 자기장을 능동적으로 밀어내 $\mathbf B=0$ 인 상태로 가는 현상이다. 1933년 발터 마이스너와 로베르트 옥센펠트가 주석과 납 시료 주위의 자기장 분포를 재다가 발견했고, 초전도가 단순한 “저항 0”이 아니라 독립적인 열역학적 상이라는 사실을 결정적으로 확정한 실험이었다.

이 문서가 가장 먼저 정리해야 할 것이 그 지점이다. 초전도의 두 얼굴 — 완전 도전성과 완전 반자성 — 은 흔히 한 묶음으로 소개되지만, 후자는 전자의 논리적 귀결이 아니다. 이것을 헷갈리면 왜 마이스너 발견이 그렇게 큰 사건이었는지가 통째로 안 보인다.

2. 완전도체로는 설명이 안 된다[편집]

가상의 완전도체(저항이 정확히 0인 보통 금속)를 생각해 보자. 내부에 $\mathbf E=0$ 이어야 한다 — 아니면 유한한 전기장이 무한한 전류를 만든다. 그러면 맥스웰 방정식의 패러데이 법칙이

$$\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf B=\text{const}$$

를 준다. 즉 완전도체가 보장하는 것은 $\mathbf B=0$ 이 아니라 **”$\mathbf B$ 가 그 순간의 값으로 얼어붙는다”**이다. 이 차이가 실험으로 갈린다.

절차	완전도체	초전도체
영자기장 냉각 후 자기장 인가 (ZFC)	내부 $B=0$	내부 $B=0$
자기장 인가 후 냉각 (FC)	자속이 갇혀 $B=B_0$	자속이 밀려나 $B=0$
그 상태에서 외부 자기장 제거	갇힌 자속 유지, $B=B_0$	$B=0$ 유지

완전도체의 최종 상태는 거쳐 온 경로에 의존한다. 그래서 그것은 열역학적 상태가 아니고, 자유에너지를 정의할 수도 없다. 반면 초전도체는 어떤 경로로 왔든 같은 상태에 도착한다 — 마이스너 효과의 진짜 내용은 “밀어낸다”가 아니라 **”$B=0$ 이 경로 독립적인 평형 상태다”**라는 것이다.¹

이 사실 하나로 초전도 전이를 열역학으로 다룰 자격이 생긴다. 그래서 응축 에너지, 임계자기장, 비열 도약, 잠열 같은 이야기가 전부 가능해진다. 마이스너 이전에는 초전도가 그냥 “저항이 사라지는 이상한 일”이었고, 이후에는 상전이 이론의 대상이 됐다.

3. 런던 방정식과 침투깊이[편집]

프리츠 런던과 하인츠 런던 형제가 1935년에 이 현상을 담는 최소한의 구성 방정식을 제안했다. 초전류 밀도 $\mathbf J_s$ 와 $\Lambda=m/n_se^2$ 에 대해

$$\frac{\partial(\Lambda\mathbf J_s)}{\partial t}=\mathbf E \qquad\text{(제1 런던 방정식)}$$ $$\nabla\times(\Lambda\mathbf J_s)=-\mathbf B \qquad\text{(제2 런던 방정식)}$$

첫 식은 산란 없는 자유 전자의 뉴턴 방정식일 뿐이라 완전도체와 같은 내용이다. 마이스너를 만드는 것은 두 번째 식이다. 첫 식의 시간 미분판이 아니라 적분 상수를 0으로 고정한 것이라는 점이 핵심 — 런던 형제는 그 선택을 실험이 강제한다는 이유로 도입했고, 나중에 이것이 거시적 파동함수의 위상 강성에서 나온다는 해석을 붙였다.

두 번째 식에 정상 상태 앙페르 법칙 $\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J_s$ 를 대입하고 $\nabla\cdot\mathbf B=0$ 을 쓰면

$$\nabla^2\mathbf B=\frac{\mathbf B}{\lambda_L^2}, \qquad \lambda_L=\sqrt{\frac{m}{\mu_0 n_s e^2}}$$

변형 헬름홀츠 방정식(screened Poisson 형)이다. 반평면 $x>0$ 이 초전도체이고 표면에서 $B_0$ 이면 해는

$$B(x)=B_0\,e^{-x/\lambda_L}$$

즉 자기장은 정확히 0이 아니라 표면에서 $\lambda_L$ 두께로만 스며든다. 그 층에 흐르는 차폐 전류가 내부 자기장을 상쇄한다. 마이스너 효과가 “표면 현상”이라는 말이 여기서 나온다.

$\lambda_L$ 은 재료마다 수십에서 수백 nm 다 — Al 약 16 nm, Pb 약 37 nm, Nb 약 39 nm, 구리산화물 고온 초전도체는 100200 nm 급이다. 시료가 mmcm 규모이므로 $10^5$ 이상의 스케일 분리가 생기고, 이것이 뒤에서 볼 수치해석의 최대 골칫거리다.

재미있는 불변성이 하나 있다. BCS 이론에서 전하 운반자는 전자가 아니라 쿠퍼 쌍이라 $e\to2e$, $m\to2m$, $n_s\to n_s/2$ 로 바뀌는데, $m/n_se^2$ 에 넣으면 값이 그대로다. 그래서 런던의 1935년 식은 쌍 개념이 나오기 20년 전에 쓰였는데도 침투깊이 값을 정확히 준다. 현대적으로는 $\lambda_L$ 을 앤더슨-힉스 기제로 질량을 얻은 광자의 콤프턴 파장으로 읽는데, 그 관점에서 마이스너 효과는 게이지 이론에서 게이지 보손이 무거워지면 힘의 도달거리가 유한해지는 바로 그 현상의 응집물질판이다.

4. 두 유체 모형과 $\lambda(T)$[편집]

고르터와 카시미르(1934)의 두 유체 모형은 전자를 초전도 성분($n_s$)과 상전도 성분($n_n$)으로 나누고 온도 의존성을 경험식으로 잡는다.

$$\frac{n_s(T)}{n}=1-\left(\frac{T}{T_c}\right)^4 \quad\Longrightarrow\quad \lambda(T)=\frac{\lambda(0)}{\sqrt{1-(T/T_c)^4}}$$

$T\to T_c^-$ 에서 $n_s\to0$ 이므로 $\lambda$ 가 발산한다. 물리적 의미가 명쾌하다 — 차폐를 담당할 전자가 사라지니 자기장이 시료 전체를 관통하고, 마이스너 효과가 연속적으로 꺼진다. $T_c$ 근처에서 $\lambda\propto(1-T/T_c)^{-1/2}$ 로 발산하는 이 지수는 긴즈부르크-란다우 이론에서도 똑같이 나온다.

반대쪽 극한은 미묘하다. 두 유체 모형은 $T\to0$ 에서 $\lambda$ 가 $T^4$ 로 평평해진다고 하고, BCS는 에너지 갭 때문에 $e^{-\Delta/k_BT}$ 로 지수적으로 평평해진다고 한다. 둘 다 “평평하다”이므로 오래 구분이 안 됐는데, 1990년대에 구리산화물에서 $\lambda(T)-\lambda(0)$ 가 저온에서 $T$ 에 선형으로 자란다는 정밀 측정이 나왔다. 갭이 어떤 방향에서 0이 되는($d$-파 마디) 경우에만 가능한 거동이고, 이것이 비전통 초전도의 대칭성을 확정한 결정적 증거 중 하나가 됐다. 침투깊이 곡선의 저온 꼬리 모양이 갭 구조를 읽는 창인 셈이다.

5. 임계자기장과 응축 에너지[편집]

자기장을 밀어내는 데는 대가가 든다. 시료 부피 $V$ 안의 자기장 에너지를 밖으로 밀어낸 만큼 깁스 자유에너지가 올라가므로, 밀도로 쓰면

$$g_s(T,H)=g_s(T,0)+\frac{\mu_0H^2}{2}$$

이다. $H$ 를 키우다 $g_s=g_n$ 이 되는 지점에서 초전도가 무너진다. 그 값이 열역학적 임계자기장이고

$$\frac{\mu_0H_c^2(T)}{2}=g_n(T)-g_s(T,0)\equiv \text{응축 에너지 밀도}$$

경험적으로 $H_c(T)\simeq H_c(0)\left[1-(T/T_c)^2\right]$ 로 잘 맞는다. 여기서 파생되는 것들이 전부 실험적으로 확인된다.

• 엔트로피 차. $s_n-s_s=-\mu_0H_c\,dH_c/dT>0$. 초전도 상이 더 질서 있는 상이라는 정량적 진술이다.
• 잠열. 유한한 $H$ 에서의 전이는 엔트로피 차가 0이 아니므로 1차 전이이고 잠열이 있다.
• $H=0$ 에서는 다르다. $T\to T_c$ 에서 $H_c\to0$ 이므로 엔트로피 차도 0 — 잠열 없는 2차 전이가 되고, 대신 비열이 도약한다. 같은 전이가 자기장 유무에 따라 차수가 바뀌는 교과서적 사례다.

응축 에너지 밀도는 놀랄 만큼 작다. Pb 의 $\mu_0H_c(0)\approx80$ mT 를 넣으면 $\sim2.5$ kJ/m$^3$ 정도로, 같은 부피의 화학 결합 에너지에 비하면 먼지 수준이다. 초전도가 이렇게 약한 상호작용의 결과인데도 저항을 정확히 0으로 만든다는 것이 이 현상의 기묘한 대목이고, 동시에 실용 초전도체가 그토록 잘 깨지는 이유이기도 하다.²

6. 제1종과 제2종 — $\kappa$ 하나가 가른다[편집]

긴즈부르크와 란다우(1950)는 복소 질서변수 $\psi$ 를 도입해 자유에너지를 전개했다(긴즈부르크-란다우 이론 참고, 시간 의존 버전의 일반론은 복소 긴즈부르크-란다우 방정식 문서에 있다). 이 이론에는 길이 척도가 둘이다.

• 침투깊이 $\lambda$ — 자기장이 죽는 거리.
• 결맞음 길이 $\xi$ — 질서변수 $|\psi|$ 가 회복되는 거리.

그 비 $\kappa=\lambda/\xi$ 가 초전도-상전도 계면의 표면 에너지 부호를 결정한다. 계면에서는 자기장이 $\lambda$ 만큼 들어와 응축 에너지를 벌고($\propto\lambda$), 질서변수가 $\xi$ 만큼 죽어 응축 에너지를 잃는다($\propto\xi$). 둘의 경쟁이 $\kappa=1/\sqrt2$ 에서 뒤집힌다.

	$\kappa<1/\sqrt2$ (제1종)	$\kappa>1/\sqrt2$ (제2종)
표면 에너지	양 — 계면을 만들기 싫어함	음 — 계면을 최대한 많이 만들려 함
거동	$H_c$ 까지 완전 마이스너, 이후 급격히 상전도	$H_{c1}$ 까지 완전 마이스너, $H_{c1}\!\sim\!H_{c2}$ 는 혼합상
예	Al, Pb, Sn, Hg 등 순수 원소 대부분	Nb, NbTi, Nb$_3$Sn, 구리산화물, 철계
상한 자기장	$\sim0.1$ T 이하	수 T ~ 100 T 이상

제2종에서 $H_{c1}$ 을 넘으면 자기장이 가느다란 관 형태로 시료를 관통한다. 각 관의 중심에서 $|\psi|=0$ 이고 그 주위를 초전류가 감아 도는 이것이 소용돌이(vortex)이며, 관 하나가 나르는 자속은 정확히

$$\Phi_0=\frac{h}{2e}=2.068\times10^{-15}\ \text{Wb}$$

로 양자화된다. 분모의 $2e$ 가 쿠퍼 쌍의 전하이고, 자속 양자를 정밀 측정한 것이 쌍 형성의 직접 증거가 됐다. 아브리코소프(1957)는 이 소용돌이들이 서로 밀어내며 삼각 격자로 배열된다는 것을 GL 방정식에서 유도했다. 이 아브리코소프 격자는 회전하는 보스-아인슈타인 응축의 소용돌이 격자와 수학적으로 같은 대상이며, 실제로 두 분야가 같은 코드를 서로 빌려 쓴다. 상한 자기장은 소용돌이 코어가 서로 겹치는 지점 $B_{c2}=\Phi_0/(2\pi\xi^2)$ 로 정해져, $\xi$ 가 짧을수록 강한 자석이 된다.

여기서 실무의 반전이 하나 있다. 혼합상에서는 마이스너 효과가 부분적으로만 살아 있고, 전류를 흘리면 소용돌이가 로런츠 힘을 받아 움직이면서 전압을 만든다. 즉 저항이 되살아난다. 그래서 실용 초전도 자석은 소용돌이를 붙잡아 둘 결함(석출물, 전위, 조사 결함)을 일부러 심는데, 이것이 자속 고정(flux pinning)이다. 재료공학이 물리학보다 중요해지는 지점이고, NbTi 선재가 반세기 넘게 MRI 자석의 표준으로 남은 이유이기도 하다.

7. 자기 부상[편집]

시연 영상의 두 가지 부상은 기제가 다르다.

마이스너 반발. $\mathbf B=0$ 인 물체는 자화율 $\chi=-1$ 인 완전 반자성체다. 언쇼 정리 문서에서 정리한 대로, 유도 극자를 쓰는 물체는 장 세기의 극소점에서 안정할 수 있고 정적 자기장에서 극소점은 존재할 수 있다(극대점만 금지된다). 그래서 반자성 부상은 언쇼 정리를 위반하지 않으며, 초전도체는 $\chi=-1$ 이라는 극단값으로 그 중 가장 강한 사례다. 다만 순수 마이스너 부상은 수평 방향으로는 잘 미끄러진다 — 자석 위에서 옆으로 흘러내리는 그 영상이다.

자속 고정 부상. 제2종 초전도체를 자기장 안에서 냉각하면 소용돌이가 결함에 묶인 채로 얼어붙는다. 그 상태에서 시료를 움직이려면 소용돌이를 결함에서 떼어내야 하므로, 위아래·좌우 전 방향으로 되돌림힘이 생긴다. 초전도체가 자석 트랙 아래에 거꾸로 매달리는 시연이 이것이고, 순수 마이스너로는 절대 안 되는 그림이다. 흔히 “양자 잠김”이라 부르는 그 현상. 자기 부상 열차 중 초전도를 쓰는 방식(JR 마글레브)은 다시 다른 이야기로, 부상 자체는 유도 전류와 반발을 쓰고 초전도는 강한 자석을 만드는 데 쓴다.³

8. 수치적으로 다룰 때[편집]

마이스너 효과를 계산하는 일은 겉보기와 달리 만만치 않다.

지배 방정식은 쉽다. 정상 상태 런던 문제는 초전도 영역에서 $\nabla^2\mathbf B=\mathbf B/\lambda^2$, 바깥에서 $\nabla^2\mathbf B=0$ 인 조각별 변형 헬름홀츠 문제다. 1차원이면 지수함수, 두께 $d$ 인 평판이면

$$B(x)=B_0\,\frac{\cosh(x/\lambda)}{\cosh(d/2\lambda)}$$

로 닫힌 해가 있고(이 식에서 $d\lesssim\lambda$ 인 박막은 자기장이 거의 다 통과해 마이스너가 사실상 무력해지며, 그 때문에 박막의 임계자기장이 벌크보다 훨씬 높다는 결과가 바로 나온다), 원통이면 변형 베셀 함수 $I_0$ 가 나온다. 그래서 코드 검증 케이스가 넉넉하다 — 유한차분법이든 유한요소법이든 이 세 해석해에 맞춰 보면 된다.

어려운 것은 스케일이다. $\lambda\sim100$ nm 와 시료 $\sim1$ cm 의 비가 $10^5$ 이므로, 표면층을 격자로 분해하려면 요소 수가 폭발한다. 실무의 우회로는 셋이다.

1. 표면 경계층 격자. 표면에만 $\lambda/5$ 급 층을 몇 겹 깔고 안쪽은 성기게 — 유체의 벽함수 격자와 발상이 같다.
2. 완전 반자성 근사. $\lambda\to0$ 극한으로 두고 초전도체를 그냥 $\mathbf B\cdot\hat n=0$ 경계조건으로 처리한다. 부상력이나 외부 자기장 분포만 필요할 때는 이것으로 충분하고, 문제가 외부 영역의 포아송 방정식으로 축소되므로 경계요소법이 아주 잘 듣는다.
3. 표면 임피던스 조건. 층을 풀지 않고 그 효과만 로빈형 경계조건으로 축약한다. 교류 손실 계산에서 표준.

소용돌이가 개입하면 이야기가 달라진다. 런던 방정식은 선형이라 혼합상을 못 다룬다. 소용돌이의 생성·이동·고정을 보려면 질서변수를 살려 둔 시간 의존 긴즈부르크-란다우(TDGL) 방정식을 풀어야 하는데, 여기서 두 가지 함정이 유명하다. 하나는 게이지 선택 — $\psi$ 와 벡터 퍼텐셜 $\mathbf A$ 를 같이 전진시킬 때 게이지를 고정하지 않으면 해가 물리적으로 같은데도 수치적으로 표류한다(보통 $\phi=0$ 게이지나 링크 변수 이산화를 쓴다). 다른 하나는 격자가 $\xi$ 를 분해하지 못하면 소용돌이가 격자에 고정돼 인공 핀 고정이 생긴다는 것이다. 실제로는 없는 임계 전류가 격자 간격에 비례해서 나오므로, 격자 수렴 시험을 안 하면 그럴듯하게 틀린 답을 얻는다.

공학 규모에서는 아예 다른 층위로 간다. 실용 초전도 테이프의 교류 손실이나 차폐 설계는 $\psi$ 를 포기하고 임계상태 모형(빈 모형)이나 멱법칙 $E\propto (J/J_c)^n$ 을 구성 관계로 넣은 $H$-정식화 유한요소법으로 푼다. $n\sim20{\sim}40$ 이라 방정식이 극도로 비선형·강성이고, 시간 적분기 선택이 성패를 가른다.

9. 관련 문서[편집]

• 언쇼 정리 · 자기 부상 · 비오-사바르 법칙 · 맥스웰 방정식
• 상전이 · 긴즈부르크-란다우 이론 · 복소 긴즈부르크-란다우 방정식
• 보스-아인슈타인 응축 · 초전도 큐비트 · 상태밀도 · 게이지 이론
• 헬름홀츠 방정식 · 포아송 방정식 · 유한차분법 · 유한요소법 · 경계요소법
• 깁스 자유에너지 · 헬름홀츠 자유에너지 · 엔트로피
• 전자기해석 · 전자기학 · 토카막 · 계산물리

10. Footnotes[편집]

1. 그래서 마이스너 효과를 확인하는 결정적 실험은 “자기장을 걸었더니 밀어내더라”가 아니라 자기장을 건 채로 식히는 것이다. 완전도체라면 그 자속이 그대로 갇혀야 하는데, 실제로는 냉각하는 순간 자속이 튀어나온다. 마이스너와 옥센펠트가 시료 내부가 아니라 두 시료 사이의 자기장을 잰 것도 이 때문이다 — 밀려난 자속은 어딘가로 가야 하고, 그 어딘가에서 자기장이 세지는 것이 관측 신호였다. ↩

2. 응축 에너지가 kJ/m$^3$ 급이라는 것은 뒤집어 보면 초전도가 아주 쉽게 깨진다는 뜻이다. 자석 권선의 한 지점이 미세하게 움직여 마찰열이 나면 그 지점이 상전도로 돌아가고, 저항이 생기면 줄열이 나고, 열이 퍼져 더 넓은 영역이 상전도가 된다. 이 연쇄가 퀜치(quench)이고, 대형 초전도 자석 설계의 절반은 퀜치 검출과 저장 에너지를 안전하게 태워 없애는 회로에 들어간다. 2008년 LHC가 가동 직후 접합부 저항 하나 때문에 6톤의 헬륨을 뿜으며 멈춘 사고가 교과서적 사례다. ↩

3. 여기서 흔한 오해 하나. “초전도체는 자기장을 싫어한다”는 요약은 절반만 맞다. 제2종 초전도체는 자기장을 아주 열심히 받아들여 소용돌이로 저장하고, 그 소용돌이를 결함으로 붙잡아 두는 것이 실용 초전도 공학의 전부에 가깝다. 완전 반자성으로 유명해진 물질이 정작 산업에서는 자속을 얼마나 잘 붙드는가로 평가받는다는 것이 이 분야의 아이러니. ↩