우주 마이크로파 배경

물리 계산물리 통계 마지막 수정: 2026-09-01 04:49:22

1. 개요[편집]

우주 마이크로파 배경 Cosmic Microwave Background (CMB)
온도	2.7255 K 흑체 (FIRAS)
방출 시점	재결합, z ≈ 1090, T ≈ 3000 K
이방성 크기	ΔT/T ~ 10⁻⁵
요약 통계	각 파워 스펙트럼 C_ℓ
첫 봉우리	ℓ ≈ 220 → 공간 곡률 ≈ 0
음속	c_s = c / √(3(1+R))
계산 도구	볼츠만 코드(CAMB · CLASS) + HEALPix + MCMC

안테나에서 아무리 해도 안 없어지는 잡음이 있었고, 비둘기 똥을 닦아도 남았다. 그게 우주에서 가장 오래된 빛이었다.

우주 마이크로파 배경은 우주가 충분히 식어 전자와 원자핵이 결합하면서 광자가 처음으로 자유롭게 흐르기 시작한 순간의 복사가, 팽창에 의해 마이크로파 대역까지 적색편이된 채 하늘 전면을 채우고 있는 것이다. 관측되는 스펙트럼은 자연에서 측정된 가장 완벽한 흑체이며 온도는 $2.7255\ \mathrm{K}$ , 그 위에 $10^{-5}$ 수준의 온도 이방성이 얹혀 있다.

심위키가 이 주제를 다루는 이유는 천문학이 아니라 계산 파이프라인 때문이다. CMB 우주론은 원시 요동에서 관측 지도까지가 다음 사슬로 이어져 있다.

섭동 이론 → 결합 볼츠만 방정식계 → 각 파워 스펙트럼 $C_\ell$ → 구면 조화 변환 → 마스크·잡음 하의 우도 → MCMC 매개변수 추정.

이 사슬의 각 마디가 전부 수치해석 문제이고, 그중 하나(시선 적분법)는 계산량을 두 자릿수 배수로 줄여 정밀 우주론이라는 분야 자체를 가능하게 만들었다. 이 문서는 물리 절반, 알고리즘 절반이다.

2. 재결합과 흑체 — 왜 이 빛이 남았나[편집]

초기 우주는 광자·전자·바리온이 톰슨 산란으로 강하게 결합한 플라스마였다. 팽창으로 온도가 $T\approx3000\ \mathrm{K}$ 까지 내려가면 자유전자가 양성자에 붙잡히면서(재결합) 산란이 급격히 멈춘다. 광자의 평균자유행로가 지평선보다 커지는 이 시점이 $z\approx1090$ , 우주 나이 38만 년 무렵이다.

주의할 점 두 가지.

재결합은 순간이 아니다. 마지막 산란면은 두께를 가진 껍질이고, 그 두께가 작은 각도 스케일의 이방성을 뭉개는 원인 중 하나다. 그래서 정확한 계산에는 재결합 자체를 세밀하게 푸는 코드(RECFAST 계열, 그리고 그 후속인 HyRec·CosmoRec)가 필요하다. 수소의 2s→1s 이광자 전이율 같은 원자물리 세부가 $C_\ell$ 을 퍼센트 수준에서 바꾸므로, 이건 정밀 우주론에서 실제로 중요한 항이다.
왜 흑체인가. 결합이 강했던 시기에 완전한 열평형에 있었기 때문이고, 그 이후로는 팽창이 흑체를 흑체로 유지한다( $T\propto 1/a$ ). 그래서 흑체에서 벗어난 왜곡( $\mu$ 형, $y$ 형)이 있다면 그건 재결합 이후 또는 아주 이른 시기의 에너지 주입 증거가 된다. FIRAS 는 그런 왜곡을 $10^{-5}$ 수준에서 보지 못했고, 이 상한이 지금도 여러 이색 모형을 죽이는 데 쓰인다.

관측사는 짧게. 1965년 펜지어스와 윌슨이 벨 연구소의 혼 안테나에서 없앨 수 없는 초과 잡음을 보고했고, 같은 호에 디키 그룹이 그것이 무엇인지 해석하는 논문을 실었다. 1992년 COBE 가 FIRAS 로 완벽한 흑체를, DMR 로 $10^{-5}$ 이방성을 보였고, WMAP(2003~)이 봉우리 구조를 확립했으며, Planck(2013~2018)가 온도 쪽에서 사실상 우주 분산 한계까지 밀어 넣었다.

3. 이방성의 언어 — 구면조화 전개와 $C_\ell$ [편집]

하늘은 구면이므로 푸리에 모드 대신 구면조화 함수로 전개한다.

\frac{\Delta T}{T}(\hat n) = \sum_{\ell m} a_{\ell m} Y_{\ell m}(\hat n), \qquad \left\langle a_{\ell m}a^*_{\ell'm'}\right\rangle = C_\ell\,\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}

회전 불변성이 서로 다른 $(\ell,m)$ 의 무상관을 강제하고, 남는 것이 $\ell$ 만의 함수 $C_\ell$ 이다. 원시 요동이 가우스라면 $C_\ell$ 이 정보를 전부 담는다. 이것이 CMB 분석이 압도적으로 스펙트럼 중심인 이유이고, 같은 논리가 거대구조에서는 성립하지 않는 이유(비선형 성장으로 비가우스해진다)는 파워 스펙트럼 문서에 정리돼 있다.

두 가지 제약을 미리 짚어 둔다.

우주 분산. 각 $\ell$ 에는 $2\ell+1$ 개의 $m$ 모드밖에 없으므로 $\Delta C_\ell/C_\ell = \sqrt{2/(2\ell+1)}$ 이 원리적 하한이다. 하늘이 하나뿐이라 표본을 늘릴 수 없다. 저- $\ell$ 이 영원히 지저분한 이유이자, 온도 스펙트럼이 이미 “끝난” 이유이기도 하다.
쌍극자. $\ell=1$ 성분은 약 $3.36\ \mathrm{mK}$ 로 다른 이방성보다 100배 크다. 대부분 우리 자신의 운동(태양계가 CMB 정지계에 대해 초속 370 km 남짓)에서 오는 것이라, 우주론적 신호로 쓰지 않고 보통 제거한다.

4. 음향 봉우리 — 스펙트럼을 읽는 법[편집]

재결합 이전 광자-바리온 유체는 암흑물질이 만든 퍼텐셜 우물 속에서 진동한다. 중력이 압축하면 광자 압력이 되밀고, 그 결과 압력파가 달린다. 음속은

c_s = \frac{c}{\sqrt{3(1+R)}},\qquad R = \frac{3\rho_b}{4\rho_\gamma}

이고, 재결합까지 이 파동이 이동한 공변 거리가 음향 지평선 $r_s = \int_0^{t_*} c_s\,dt/a \approx 145\ \mathrm{Mpc}$ 다. 모든 모드가 같은 시각에 얼어붙으므로, 재결합 순간 진동의 위상이 파수마다 다르게 고정되고 그것이 스펙트럼의 봉우리와 골로 나타난다. 요점만 표로.

특징	읽어내는 것	원리
첫 봉우리 위치 $\ell\approx220$	공간 곡률	크기를 아는 자( $r_s$ )의 각크기 → 각지름 거리
홀수 대 짝수 봉우리 높이	바리온 밀도 $\Omega_b h^2$	바리온이 유체를 무겁게 해 압축 위상을 선택적으로 키움
봉우리 전체 진폭·감쇠	암흑물질 밀도 $\Omega_c h^2$	우물 깊이와 복사 구동 감쇠 조절
$\ell\gtrsim1000$ 꼬리	실크 감쇠 규모	광자 확산이 작은 스케일 요동을 지움
전체 기울기	원시 스펙트럼 지수 $n_s$	초기 조건에서 옴

첫 봉우리 위치가 곡률을 준다는 논리는 순수한 삼각법이다. 물리적 크기 $r_s$ 를 알고 각크기 $\theta_*$ 를 재면 각지름 거리가 나오고, 그 거리가 곡률에 민감하다. 실제로 관측에서 가장 정밀하게 측정되는 우주론 매개변수는 $H_0$ 도 $\Omega_m$ 도 아니라 $\theta_*$ (0.03% 수준)이고, 나머지는 여기서 파생된다.

실크 감쇠는 광자가 완전히 갇혀 있지 않고 확산하기 때문에 생긴다. 확산 길이보다 작은 요동은 광자가 뜨거운 곳에서 찬 곳으로 새어 나가며 지워진다. 즉 스펙트럼의 지수적 꼬리는 유체 근사가 깨지는 지점을 보여 주는 것이고, 이걸 제대로 계산하려면 다음 절의 볼츠만 위계가 필요하다.

5. 볼츠만 코드 — 시선 적분법이 바꾼 것[편집]

$C_\ell$ 을 얻으려면 선형 섭동한 아인슈타인 방정식과 각 성분의 볼츠만 방정식을 함께 풀어야 한다. 광자 분포의 방향 의존성을 르장드르 전개하면 다중극 $\Theta_\ell$ 들이 이웃끼리 결합된 무한 위계가 나온다.

\dot\Theta_\ell = \frac{k}{2\ell+1}\Big[\ell\,\Theta_{\ell-1} - (\ell+1)\Theta_{\ell+1}\Big] + (\text{산란항})

1990년대 초까지의 방식은 이 위계를 $\ell_{\max}\sim1500$ 까지 잘라 각 파수 $k$ 마다 직접 적분하는 것이었다. 파수 수백 개 × 다중극 수천 개 × 시간 적분이라, 모형 하나에 며칠이 걸렸다. 매개변수 공간을 훑는다는 발상 자체가 불가능했다.

CMBFAST(셀략·잘다리아가, 1996)가 이걸 뒤집었다. 관측되는 다중극을 시선을 따라 적분한 형식해로 다시 쓴 것이다.

\Theta_\ell(k,\eta_0) = \int_0^{\eta_0} d\eta\; S(k,\eta)\; j_\ell\!\left(k(\eta_0-\eta)\right)

C_\ell = 4\pi\int \frac{dk}{k}\,\mathcal P(k)\,\left|\Theta_\ell(k,\eta_0)\right|^2

핵심은 기하와 동역학의 분리다. $\ell$ 의존성이 전부 구면 베셀 함수 $j_\ell$ 에 들어가고, 그건 그냥 특수함수 평가다. 무겁게 풀어야 하는 소스 함수 $S(k,\eta)$ (단극·쌍극·편광 사중극과 퍼텐셜 항의 조합)는 낮은 $\ell_{\max}$ 로 잘라도 정확하다 — 위계에서 정보가 아래에서 위로 흐르기 때문에 높은 다중극은 소스에 되먹이지 않는다. 위계를 수천 개에서 수십 개로 줄이고, 남은 것은 값싼 적분이다. 원 논문이 보고한 속도 향상은 약 두 자릿수 배수(≈100배) 이고, 계산 시간이 며칠에서 분 단위로 내려가면서 매개변수 공간 탐색이 처음으로 가능해졌다.¹

지금의 표준 도구는 그 후예다.

CAMB(2000) — CMBFAST 를 재작성·확장한 포트란 코드. 동기 게이지 기반이고 CosmoMC/Cobaya 와 함께 묶여 사실상의 기준 구현.
CLASS(2011) — C 로 새로 작성. 모듈 구조와 정확도 매개변수의 명시적 제어가 특징이라 비표준 모형 확장에 강하다.

둘의 $C_\ell$ 이 서로 0.1% 안에서 일치하는지 주기적으로 대조하는 것이 이 바닥의 검증 및 확인 관행이다. 구현 상의 실질적 난점은 강성이다. 초기에는 톰슨 산란률이 팽창률보다 압도적으로 커서 방정식이 극도로 강성 방정식 이 되므로, 그대로 적분하면 시간 간격이 0으로 붕괴한다. 표준 해법은 꽉 결합 근사 — 광자-바리온 상대속도를 산란률의 역멱급수로 전개해 빠른 자유도를 해석적으로 제거하고, 결합이 느슨해지는 시점에 전체 위계로 전환하는 것이다. 전환 시점 선택이 잘못되면 결과가 조용히 틀어진다.

6. 편광 — E 모드와 B 모드[편집]

톰슨 산란은 입사 복사에 사중극 이방성이 있을 때 편광을 만든다. 즉 편광은 재결합 순간의 국소 유동장을 직접 보여 주고, 온도 스펙트럼과 위상이 어긋난 봉우리를 갖는다(온도 봉우리와 편광 봉우리가 서로 엇갈린다는 사실 자체가 음향 진동 해석의 강력한 검증이다).

편광은 스핀-2 장이라 스칼라 조화함수로 전개할 수 없다. 대신 $Q\pm iU$ 를 스핀가중 구면조화 함수로 전개하고, 패리티에 따라 두 개의 스칼라장으로 재조합한다.

E 모드 — 패리티 짝. 무회전 무늬. 스칼라 요동(밀도 요동)이 만들 수 있다.
B 모드 — 패리티 홀. 소용돌이 무늬. 스칼라 요동은 선형 차수에서 만들지 못한다.

이 분리가 결정적인 이유는, 원시 중력파(텐서 요동)가 B 모드를 만들기 때문이다. 그래서 큰 각도 스케일의 B 모드는 인플레이션 시기 텐서-스칼라 비 $r$ 의 직접 탐침이 된다. 현재 상한은 $r \lesssim 0.04$ 수준까지 내려와 있다.

다만 B 모드에는 두 개의 방해물이 있다.

은하 먼지. 정렬된 성간 먼지의 열복사가 편광돼 있고, 이게 원시 신호와 같은 무늬를 낸다. 2014년 BICEP2 의 검출 주장이 먼지 전경으로 재해석된 사건이 이 분야의 집단 기억이다. 다주파수 관측 + 성분 분리가 필수인 이유.
렌즈 B 모드. 거대구조가 CMB 광자를 중력 렌즈 효과로 굴절시키면 E 모드가 부분적으로 B 모드로 새어 나온다. 이건 잡음이면서 동시에 신호다 — 렌즈 재구성(4점 함수 기반 이차 추정량)으로 시선 방향 적분 질량 분포를 지도로 만들 수 있고, 중성미자 질량합 제약의 주력이 됐다. 원시 B 모드를 보려면 이 성분을 추정해 빼야 하는데(delensing), 그 자체가 별도의 수치 문제다.

작은 $\ell$ 의 편광에는 재이온화 신호가 얹힌다. 첫 별들이 우주를 다시 이온화하면 CMB 광자 일부가 재산란되어 광학깊이 $\tau\approx0.05$ 만큼 신호를 지우고 저- $\ell$ 에 편광 봉우리를 만든다. $\tau$ 는 진폭 $A_s$ 와 강하게 축퇴돼 있어서 — 관측되는 것이 사실상 $A_s e^{-2\tau}$ 라 — 저- $\ell$ 편광 측정이 없으면 원시 진폭을 못 뗀다.

7. 지도에서 매개변수까지 — 실무 수치[편집]

이론 $C_\ell$ 이 있어도 관측과 맞추는 길이 험하다.

지도 만들기. 검출기는 하늘을 스캔하며 시계열(TOD)을 내놓는다. 이걸 지도로 바꾸는 것은 선형 최소제곱 문제다.

\hat{\mathbf m} = \left(A^{T}N^{-1}A\right)^{-1}A^{T}N^{-1}\mathbf d

$A$ 는 포인팅 행렬(어느 시각에 어느 픽셀을 봤는가), $N$ 은 시계열 잡음 공분산이다. 픽셀 수가 $10^7$ 이라 역행렬을 명시적으로 만들 수 없으므로 전처리 켤레기울기법(켤레기울기법)으로 푼다. $N^{-1}$ 곱은 잡음이 정상 과정이라 시간축 고속 푸리에 변환으로 처리한다. 저주파 $1/f$ 잡음만 따로 떼어 제거하는 디스트라이핑 방식도 널리 쓰인다.

픽셀화와 구면 조화 변환. 사실상의 표준은 HEALPix 다. 구면을 등면적 픽셀로 나누되 픽셀 중심들이 등위도 링 위에 놓이도록 배치한 것이 핵심이며, 픽셀 수는 $N_{pix}=12N_{side}^2$ 다( $N_{side}=2048$ 이면 약 $5\times10^7$ 픽셀). 등면적은 적분이 단순 합이 되게 해 주고, 등위도 배치는 각 링에서 $\varphi$ 방향 변환을 FFT 로 처리할 수 있게 해 준다. 순진한 구면 조화 변환은 $O(\ell_{\max}^3)$ 인데, 링 구조 덕에 상수 인자가 크게 줄어 실제로 $\ell_{\max}\sim4000$ 급 변환이 돌아간다. 재귀적으로 르장드르 함수를 올릴 때의 언더플로 처리 같은 지저분한 수치 문제가 이 라이브러리들의 실제 내용물이다.

전경 제거. 관측 지도는 CMB 만이 아니다. 은하면의 싱크로트론, 자유-자유, 열복사 먼지, 이상 마이크로파 방출, 점광원이 섞여 있다. 주파수 의존성이 다르다는 점을 이용해 성분을 분리하는데(내부 선형 결합, 베이즈 전체 적합 등), 어느 방법을 쓰든 마스크가 남는다.

마스크와 유사- $C_\ell$ . 하늘의 일부만 쓰면 서로 다른 $\ell$ 이 섞인다. 잘린 하늘에서 그냥 계산한 유사- $C_\ell$ 은 진짜 $C_\ell$ 에 모드 결합 행렬이 곱해진 것이라, 마스크의 조화 계수로 그 행렬을 만들어 역산한다(MASTER 계열). 신호처리의 창함수 누설 문제를 구면으로 옮긴 것과 정확히 같고, 밴드파워로 묶어 행렬 조건수를 낮추는 것도 같은 이유다.

우도와 매개변수 추정. 고- $\ell$ 에서는 중심극한정리 덕에 밴드파워가 거의 가우스라 압축된 우도를 쓴다. 저- $\ell$ 에서는 $C_\ell$ 의 분포가 심하게 비대칭( $\chi^2$ 꼴)이라 픽셀 공간 정확 우도를 쓴다. 여기에 보정 계수·빔·전경 잔차 같은 성가신 매개변수가 수십 개 붙는다. 최종 단계는 마르코프 연쇄 몬테카를로 — CosmoMC 이래의 관행 — 이고, 실무 트릭이 몇 가지 정착돼 있다.

빠른/느린 매개변수 분리. 우주론 매개변수를 바꾸면 볼츠만 코드를 다시 돌려야 하지만(느림), 보정·전경 매개변수는 이미 계산된 $C_\ell$ 위에서 값싸게 바뀐다(빠름). 느린 방향을 한 번 바꿀 때 빠른 방향을 여러 번 갱신하는 것이 표준.
제안 공분산 학습. 매개변수들이 강하게 축퇴돼 있어(고전적으로 $\Omega_m$ – $H_0$ , $A_s$ – $\tau$ ) 등방 제안은 채택률이 바닥이다. 예비 실행에서 얻은 공분산으로 제안 분포를 회전시킨다.
수렴 진단. 겔만–루빈 $R-1 < 0.01$ 정도가 관례적 정지 기준.
증거 계산. 모형 비교에는 중첩 샘플링을, 우도 평가가 너무 비쌀 때는 신경망 에뮬레이터로 볼츠만 코드를 대체하는 것이 요즘 흐름이다.

최종 산출물은 6개 매개변수의 $\Lambda$ CDM 적합이다. $\Omega_b h^2\approx0.0224$ , $\Omega_c h^2\approx0.120$ , $\theta_*$ , $\tau\approx0.054$ , $A_s$ , $n_s\approx0.965$ . $n_s$ 가 1보다 유의하게 작다는 것이 인플레이션 계열 모형이 예측한 몇 안 되는 정량적 결과 중 하나라 자주 인용된다.

8. 여담[편집]

아날로그 TV 시절, 방송이 없는 채널에서 보이던 노이즈의 극히 일부(1% 정도로 자주 인용된다)가 CMB 였다. 디지털 전환 이후 이 유명한 예시는 실습이 불가능해졌다.
펜지어스와 윌슨은 안테나의 잡음을 없애려고 별짓을 다 했고, 비둘기를 쫓아내고 배설물을 닦아낸 것이 그중 하나다. 잡음을 끝까지 추적한 실험자가 노벨상을 받는 표본적 사례.
저- $\ell$ 에는 오래된 이상 신호들이 있다. 사중극 파워 부족, 사중극과 팔중극의 정렬, 반구 비대칭, “차가운 점”. 개별 유의도는 $2\sim3\sigma$ 급이고, 사후에 정의된 통계라는 점(다중 비교 문제)과 우주 분산이 저- $\ell$ 에서 압도적이라는 점 때문에 논쟁이 정리되지 않는다.²
온도 이방성은 사실상 우주 분산 한계에 도달했다. 남은 정보는 전부 편광(특히 B 모드)과 렌즈 재구성, 그리고 흑체 왜곡 쪽에 있다. 그래서 차세대 실험의 계산 부담은 $C_\ell$ 계산이 아니라 성분 분리와 렌즈 제거의 수치 안정성에 몰려 있다.³

9. 관련 문서[편집]

“며칠 → 분”이 왜 그렇게 중요했냐면, MCMC 한 사슬이 우도를 수십만 번 평가하기 때문이다. 모형 하나에 며칠이면 사후분포를 뽑는 데 우주 나이가 필요하다. 즉 시선 적분법은 계산을 빠르게 한 것이 아니라 가능하지 않던 분석 방법(베이즈 매개변수 추정)을 가능하게 만든 알고리즘이다. 수치해석에서 상수 배 개선이 방법론을 통째로 바꾼 드문 사례. ↩
이 논쟁의 구조적 문제는 명확하다. 이상을 데이터에서 발견한 뒤 그 이상을 재는 통계량을 정의하면 유의도가 부풀려진다. 진짜 검정은 독립적인 하늘이 필요한데 하늘은 하나뿐이다. 편광 지도는 부분적으로 독립적인 정보이므로 여기서 같은 이상이 보이는지가 현재로선 유일하게 정직한 시험이다. ↩
그리고 이쪽 수치는 순한 편이 아니다. 원시 B 모드 목표 진폭은 온도 이방성보다 대여섯 자릿수 아래이고, E 모드보다도 훨씬 작다. 마스크가 만드는 E→B 누설, 빔 비대칭, 검출기 간 이득 차이가 전부 가짜 B 모드를 만든다. “순수 B 모드 추정량”처럼 누설을 원천적으로 0으로 만드는 구성이 별도 연구 주제가 된 이유다. ↩