중력 렌즈

1. 개요[편집]

중력 렌즈 Gravitational Lensing
렌즈 방정식	β = θ − α(θ)
점질량 편향각	4GM/(c²b) — 뉴턴 예측의 2배
확대율	μ = 1/det A, A = ∂β/∂θ
세 갈래	강한 렌즈 · 약한 렌즈 · 미시 렌즈
주력 알고리즘	역광선추적(inverse ray shooting)
고질적 축퇴	질량-시트 축퇴
1919	일식 원정으로 편향각 확인

렌즈라고 부르지만 초점이 없다. 중력은 안쪽을 더 세게 휘게 만들어서, 상은 점이 아니라 선을 따라 맺힌다. 광학 설계자가 보면 최악의 수차 덩어리인데, 우주론자에게는 공짜 망원경이다.

중력 렌즈는 질량이 만든 시공간 곡률 때문에 배경 천체에서 온 빛의 경로가 휘어, 상이 여러 개로 갈라지거나 늘어나거나 밝아지는 현상이다. 빛이 “끌려간다”기보다는 측지선이 휘어 있는 것이고, 관측자는 그 휘어진 경로의 마지막 방향을 그대로 하늘에 투영해 보므로 원래 위치와 다른 곳에 상이 보인다.

계산 쪽에서 중력 렌즈가 흥미로운 이유는 두 가지다. 첫째, 정방향 문제가 값싸다 — 질량 분포만 주면 상 위치는 간단한 비선형 사상으로 나온다. 둘째, 역방향 문제가 지독하다 — 관측된 상에서 질량 분포를 복원하는 것은 근본적인 축퇴를 안고 있는 역문제다. 이 비대칭 때문에 실무 알고리즘의 국룰이 정해진다. 렌즈 방정식을 풀지 말고, 광원 쪽으로 광선을 쏴서 역으로 지도를 만든다.

2. 편향각 — 1919년의 2배[편집]

질량 $M$ 인 점질량에서 충돌계수 $b$ 로 스쳐 지나가는 빛의 편향각은 약한 장 근사에서

$$\hat\alpha = \frac{4GM}{c^2 b}$$

이다. 광자를 “속도 $c$ 인 뉴턴 입자”로 취급해 계산하면 정확히 절반인 $2GM/(c^2b)$ 가 나온다. 나머지 절반은 공간의 곡률 기여 — 시간 성분만 휘는 게 아니라 공간 성분도 함께 휘기 때문이다. 태양 가장자리를 스치는 빛에 대해 $\hat\alpha \approx 1.75''$, 뉴턴 값은 $0.87''$.

1919년 에딩턴이 조직한 일식 원정대(소브랄·프린시페 두 관측지)가 이 값을 측정해 일반상대론 쪽 예측을 지지했다. 다만 그 관측의 오차 막대와 자료 취사선택은 오랫동안 논쟁거리였고, 정말로 결정적인 검증이 된 것은 이후 수십 년에 걸친 전파 간섭계 측정이다.¹ 오늘날 태양 근처 편향은 VLBI 로 $10^{-4}$ 수준까지 확인돼 있다.

3. 렌즈 방정식과 확대율[편집]

관측자–렌즈–광원이 거의 일직선일 때, 얇은 렌즈 근사(질량이 렌즈 평면에 투영돼 있다고 보는 것)에서 기하는 하나의 방정식으로 정리된다.

$$\boldsymbol\beta = \boldsymbol\theta - \boldsymbol\alpha(\boldsymbol\theta), \qquad \boldsymbol\alpha = \frac{D_{ds}}{D_s}\hat{\boldsymbol\alpha}$$

$\boldsymbol\beta$ 는 광원의 진짜 방향, $\boldsymbol\theta$ 는 상이 보이는 방향이다. 이 방정식이 이 문서 전체의 뼈대인데, 성질 하나가 결정적이다 — $\theta \mapsto \beta$ 는 계산하기 쉽고, $\beta \mapsto \theta$ 는 여러 개의 해를 가진다. 비선형이고 다가함수라 닫힌 형태의 역함수가 없다.

편향각은 투영 질량밀도 $\Sigma(\boldsymbol\theta)$ 에서 나오는 렌즈 퍼텐셜 $\psi$ 의 기울기다.

$$\boldsymbol\alpha = \nabla\psi, \qquad \nabla^2\psi = 2\kappa, \qquad \kappa \equiv \frac{\Sigma}{\Sigma_{cr}}, \qquad \Sigma_{cr}=\frac{c^2}{4\pi G}\frac{D_s}{D_d D_{ds}}$$

$\kappa$ 가 수렴(convergence), 즉 무차원 질량면밀도다. 야코비 행렬을 쓰면

$$A = \frac{\partial\boldsymbol\beta}{\partial\boldsymbol\theta} = \begin{pmatrix} 1-\kappa-\gamma_1 & -\gamma_2 \\ -\gamma_2 & 1-\kappa+\gamma_1\end{pmatrix}, \qquad \mu = \frac{1}{\det A} = \frac{1}{(1-\kappa)^2-|\gamma|^2}$$

$\kappa$ 는 상을 등방적으로 확대하고, 전단 $\gamma$ 는 한 방향으로 늘인다. 표면밝기는 보존되므로 상의 겉넓이가 커진 만큼 밝아지고, 그 배율이 $|\mu|$ 다.

$\det A = 0$ 인 상평면 곡선이 임계선, 그것이 렌즈 방정식으로 광원평면에 사상된 것이 코스틱이다. 확대율이 여기서 형식적으로 발산하는데(실제로는 광원 크기와 파동광학이 잘라 준다), 광원이 코스틱을 가로지르는 순간 상 두 개가 생기거나 사라진다. 미시 렌즈 광도곡선의 뾰족한 봉우리가 바로 이 사건이다.

홀수 상 정리. 유한 질량이고 어디서도 밀도가 발산하지 않는 매끄러운 렌즈에서, 상의 개수는 항상 홀수다. 사상 차수(degree) 논증에서 나오는 위상학적 결과이며, 코스틱을 넘을 때마다 상이 쌍으로 생기거나 사라지므로 홀짝성이 보존된다는 것이 직관적 설명이다. 그런데 실제 관측되는 강한 렌즈 퀘이사는 상이 2개나 4개다. 모순이 아니라 — 은하 중심의 밀도가 사실상 특이(cuspy)해서 중앙의 홀수 번째 상이 극단적으로 어두워지기 때문이다. 정리가 예측하는 “사라진 중앙상”을 전파로 찾는 것이 렌즈 은하 중심 밀도 기울기를 재는 방법이 된다.²

4. 수치적으로 어떻게 푸는가[편집]

렌즈 방정식은 초등적으로 보이지만, 실제 계산에서 정면 돌파는 거의 하지 않는다.

역광선추적(inverse ray shooting). 상평면에 격자를 깔고 각 격자점(광선)에 대해 $\boldsymbol\beta = \boldsymbol\theta-\boldsymbol\alpha(\boldsymbol\theta)$ 를 한 번씩만 평가해 광원평면의 어느 픽셀에 떨어지는지 센다. 광원평면 픽셀에 쌓인 광선 개수가 곧 그 위치에 광원이 있을 때의 총 확대율이다. 방정식을 푸는 게 아니라 셈으로 대체하는 것이라 다중해 문제가 자동으로 사라진다. 레이 트레이싱의 역방향 추적과 정확히 같은 발상이고, 실제로 GPU 로 옮기기 쉬운 대량 병렬 작업이다.

비용은 정직하게 비싸다. 광원평면 픽셀당 통계 잡음이 $\sqrt{N}$ 이므로 확대율을 1% 정확도로 원하면 픽셀당 광선 $10^4$ 개가 필요하고, 미시 렌즈 하나당 $\alpha$ 를 직접 더하면 별 $N_*$ 개에 대해 광선당 $O(N_*)$ 이다. 그래서 실무 코드는 두 가지 가속을 쓴다.

• 계층적 트리 / 다중극 전개. 멀리 있는 별 무리는 하나의 다중극으로 묶는다. 반스-헛 알고리즘·고속 다중극자법이 중력 N체에서 하는 일과 완전히 동일하다 — 편향각이 $1/r$ 힘장과 같은 수학이기 때문이다.
• 격자 기반 합성곱. 연속적인 $\kappa$ 지도에서 편향각을 얻을 때는 $\boldsymbol\alpha = \frac1\pi\int \kappa(\boldsymbol\theta')\frac{\boldsymbol\theta-\boldsymbol\theta'}{|\boldsymbol\theta-\boldsymbol\theta'|^2}d^2\theta'$ 가 순수한 합성곱이므로 고속 푸리에 변환으로 $O(N\log N)$ 에 끝난다. 주기 경계가 강제되므로 제로 패딩이 필수다.

상 찾기(image finding). 특정 광원 위치의 상 위치를 정밀하게 원할 때는 상평면을 삼각형으로 분할해 각 삼각형이 광원점을 감싸는지 판정하고(사상된 삼각형의 부호 있는 넓이), 감싸는 삼각형만 재귀적으로 세분해 뉴턴 반복으로 마무리한다. 삼각형의 방향(부호)이 그대로 그 상의 홀짝성(parity)을 알려 준다는 점이 실용적이다.

질량 모형. 편향각을 해석적으로 아는 모형을 쓰면 계산이 급격히 싸진다.

모형	밀도	편향각의 성질
점질량	델타	반지름에 반비례, 상 2개
특이 등온구 (SIS)	ρ ∝ r⁻²	크기가 상수 $4\pi\sigma_v^2/c^2$
등온 타원체 (SIE)	타원 대칭	해석해 존재, 상 2개 또는 4개
NFW	안쪽 r⁻¹, 바깥 r⁻³	해석적 닫힌 형태 존재
픽셀 기반	자유	비모수, 정규화 필수

SIS 의 편향각이 충돌계수와 무관하게 일정하다는 성질은 등온구의 평평한 회전곡선과 같은 뿌리다. 아인슈타인 반지름은 $\theta_E = 4\pi(\sigma_v/c)^2 D_{ds}/D_s$ 로 속도분산에서 바로 나오고, 점질량이면

$$\theta_E = \sqrt{\frac{4GM}{c^2}\frac{D_{ds}}{D_d D_s}}$$

이다. 광원이 정확히 뒤에 있으면 상이 고리가 되고($\beta=0$), 조금 어긋나면 고리가 끊어져 호가 된다.

5. 강한 렌즈 — 다중상, 시간지연, 그리고 축퇴[편집]

$\kappa \gtrsim 1$ 인 영역이 생기면 다중상이 만들어진다. 아인슈타인 십자(Q2237+0305), 아인슈타인 고리, 은하단이 만드는 거대 호가 그것이다. 은하단은 배경 은하를 수십 배 확대해 주므로, 자연이 놓아준 망원경으로 고적색편이 은하를 관측하는 데 일상적으로 동원된다.

강한 렌즈의 킬러 앱은 시간지연 우주론이다. 상마다 광행 경로 길이가 다르고 퍼텐셜 우물 속에 머문 시간(샤피로 지연)도 다르므로, 광원이 변광하면 상마다 도착 시각이 어긋난다.

$$\Delta t = \frac{(1+z_d)}{c}\frac{D_d D_s}{D_{ds}} \left[\frac{|\boldsymbol\theta-\boldsymbol\beta|^2}{2}-\psi(\boldsymbol\theta)\right]_{1}^{2}$$

앞의 거리 조합이 허블 상수에 반비례하므로, 지연을 재고 $\psi$ 를 모형화하면 $H_0$ 를 사다리 없이 직접 잰다. 레프스달이 1964년에 제안했고, 퀘이사 광도곡선 모니터링과 최근에는 렌즈된 초신성으로 실현되고 있다. H0LiCOW/TDCOSMO 계열의 결과는 대체로 $H_0 \approx 70\text{--}74\ \mathrm{km\,s^{-1}Mpc^{-1}}$ 이지만, 오차 막대가 질량 모형 가정에 강하게 의존한다.

그 의존성의 정체가 질량-시트 축퇴다. 변환

$$\kappa \to \lambda\kappa + (1-\lambda), \qquad \boldsymbol\beta\to\lambda\boldsymbol\beta$$

은 상 위치, 상 모양, 확대율의 비를 전부 그대로 둔다. 광원 크기를 모르니 $\lambda$ 를 관측만으로 정할 수 없다. 그런데 시간지연은 $\lambda$ 에 정확히 비례하므로 $H_0$ 도 그만큼 바뀐다. 이건 잡음이 아니라 문제 자체에 내장된 정확한 축퇴이고, 깨려면 외부 정보(렌즈 은하의 항성 운동학, 시선 방향 구조 통계)를 넣거나 밀도 프로파일을 가정하는 수밖에 없다. 가정을 느슨하게 풀수록 오차가 커진다는, 정규화된 역문제의 교과서적 거동을 그대로 보여 준다. 티호노프 정규화를 쓰는 픽셀 기반 렌즈 모형화에서 정규화 세기가 결론을 바꾸는 것도 같은 이유다.

6. 약한 렌즈 — 통계로만 보이는 왜곡[편집]

대부분의 시선 방향에서 $\kappa \ll 1$ 이고 왜곡은 겉보기 타원율 1% 수준이다. 은하 하나로는 절대 알 수 없다 — 은하는 원래부터 타원형이고, 그 내재 타원율의 분산이 $\sigma_e\approx0.3$ 이라 신호보다 30배 크다. 그래서 수많은 은하의 모양을 평균한다. 내재 방향이 무작위라면 $\langle e\rangle \approx g = \gamma/(1-\kappa)$ 이므로, $N$ 개를 평균하면 잡음이 $\sigma_e/\sqrt N$ 로 줄어든다. 통계로만 존재하는 신호이고, 그래서 이 분야는 처음부터 끝까지 계통 오차와의 싸움이다.

• PSF 보정. 망원경의 점퍼짐함수 자체가 은하를 찌그러뜨린다. PSF 타원율이 신호보다 훨씬 크므로, 별(=점광원)로 PSF 를 재구성해 은하 모양에서 걷어내야 한다. 모멘트 기반(KSB), 모형 적합 기반(lensfit), 그리고 요즘의 메타보정(metacalibration) — 이미지를 인위적으로 전단시켜 다시 측정해 응답 행렬을 데이터 자체에서 뽑는 방식 — 이 계보를 이룬다.
• 광도적색편이. $\Sigma_{cr}$ 에 거리 조합이 들어가므로 광원의 적색편이가 필요한데, 수억 개 은하의 분광은 불가능하다. 측광 밴드 몇 개로 추정하고, 그 분포의 평균 편향이 그대로 우주론 매개변수 편향이 된다.
• 내재 정렬. 이웃한 은하는 같은 조석장에서 형성돼 물리적으로 정렬돼 있다. 무작위 가정이 깨지는 지점이라 별도 모형으로 주변화한다.

$\gamma$ 에서 $\kappa$ 지도를 복원하는 고전적 방법이 카이저–스콰이어스 역변환(1993)이다. 둘 다 같은 퍼텐셜의 2계 미분이므로 푸리에 공간에서 대수적으로 뒤집힌다.

$$\hat\kappa(\mathbf k) = \frac{(k_1^2-k_2^2)\,\hat\gamma_1 + 2k_1k_2\,\hat\gamma_2}{k_1^2+k_2^2}$$

$k\to0$ 에서 정의되지 않는다는 점이 곧 질량-시트 축퇴의 푸리에 판본이다. 유한한 시야와 잡음까지 겹치므로 실무에서는 평활화·와이너 필터·희소성 정규화가 얹힌다.

통계로 압축한 결과가 우주 전단(cosmic shear) 이고, 이것이 제약하는 조합이 $S_8=\sigma_8\sqrt{\Omega_m/0.3}$ 이다. 왜 이 조합인지, 그리고 CMB 값과의 긴장이 어떻게 정리돼 가는지는 파워 스펙트럼 문서에 정리돼 있다. 은하단 질량 측정과 암흑 물질의 총알 성단 논증도 이 약한 렌즈 재구성 위에 서 있다.

7. 미시 렌즈 — 시간축에서 보는 렌즈[편집]

렌즈가 항성질량이면 아인슈타인 반지름이 마이크로초각 규모라 상을 분해할 수 없다. 대신 밝기 변화로 보인다. 점질량·점광원의 총 확대율은 무차원 각거리 $u=\beta/\theta_E$ 로

$$\mu(u) = \frac{u^2+2}{u\sqrt{u^2+4}}$$

이고, 렌즈가 광원 앞을 등속으로 지나가면 $u(t)=\sqrt{u_0^2+((t-t_0)/t_E)^2}$ 인 대칭적이고 무채색인 파친스키 곡선이 그려진다. 무채색이라는 점이 결정적이다 — 변광성과 구분되는 표지가 된다.

여기에 렌즈 별이 행성을 거느리면, 행성이 만드는 작은 코스틱을 광원이 스칠 때 수 시간~수일짜리 짧은 이상 신호가 얹힌다. OGLE·MOA·KMTNet 같은 서베이가 이 방식으로 외계행성을 찾아 왔고, 이 방법의 고유한 강점은 눈금(아인슈타인 반지름)이 별에서 멀수록 커진다는 것이라 시선속도법·통과법이 약한 눈선(snow line) 바깥 궤도에 민감하다는 점이다. 대신 사건이 재현되지 않아 후속 관측이 불가능하다.

원래 이 서베이들의 목적은 행성이 아니라 MACHO — 헤일로 암흑물질이 어두운 압축천체라면 광학 깊이에서 예측되는 사건률이 나와야 한다 — 였다. 결과는 부정적이었고, 넓은 질량 구간에서 압축천체가 헤일로의 지배적 성분일 가능성이 배제됐다. 원시 블랙홀 논의에서 미시 렌즈 제약이 늘 등장하는 이유다.

수치적으로 이진 렌즈(별+행성, 쌍성)의 광도곡선 계산은 만만치 않다. 이진 렌즈 방정식은 복소수로 쓰면 5차 다항식이 되어 근이 최대 5개(물리적 상은 3개 또는 5개)이고, 광원이 유한 크기라 코스틱 근처에서는 광원 원반 위 적분이 필요하다. 그래서 코스틱에서 먼 곳은 육각형 근사나 사변형 근사로, 가까운 곳은 역광선추적으로 전환하는 혼합 전략이 표준이다. 사건 하나 맞추는 데 수백만 번의 광도곡선 평가가 들어가므로 마르코프 연쇄 몬테카를로 탐색의 비용이 곧 이 평가 비용이다.

8. 여담[편집]

• 아인슈타인은 1936년 Science 에 이 현상에 관한 짧은 글을 실으면서 “관측될 가망은 거의 없다”고 적었다. 그가 상정한 렌즈가 별이었기 때문이고, 은하와 은하단을 렌즈로 생각하면 이야기가 완전히 달라진다는 것을 츠비키가 이듬해 지적했다. 최초의 다중상 퀘이사는 1979년에 발견됐다.
• “중력 렌즈”라는 이름이 오해를 부른다. 진짜 렌즈는 초점이 한 점이지만 중력 렌즈는 축을 따라 초선(focal line) 을 만든다. 안쪽을 지나는 빛이 더 세게 휘는 볼록렌즈와 달리 편향각이 $1/b$ 로 줄기 때문. 광학 용어로는 심각한 구면수차 덩어리다.
• 파동광학 보정이 필요한 영역도 있다. 렌즈의 슈바르츠실트 반지름과 파장이 비교 가능해지면 기하광학이 깨지고 회절 무늬가 생긴다. 전파 대역의 빠른 전파 폭발이나 나노헤르츠 중력파에서 논의되는데, 이때는 렌즈 방정식 대신 회절 적분(키르히호프 꼴)을 직접 평가해야 해서 계산이 갑자기 비싸진다.
• 은하단 렌즈 모형화 대회를 열면 같은 데이터로 팀마다 다른 질량 지도를 낸다. 상 위치는 다들 잘 맞추는데 임계선 밖의 질량은 갈린다 — 데이터가 제약하지 않는 자유도를 각자의 정규화가 채우고 있다는 뜻이다. 축퇴가 있는 역문제에서 “잘 맞는 모형”과 “옳은 모형”이 다르다는 것을 보여 주는 좋은 실습장.³

9. 관련 문서[편집]

• 일반 상대성이론 · 블랙홀 · 측지선 · 수치 상대론
• 암흑 물질 · 우주 마이크로파 배경 · 파워 스펙트럼 · 은하 형성
• 레이 트레이싱 · 반스-헛 알고리즘 · 고속 다중극자법
• 고속 푸리에 변환 · 푸리에 변환 · 적색편이
• 역문제 · 티호노프 정규화 · 최대우도추정 · 마르코프 연쇄 몬테카를로
• 우주론 시뮬레이션 · 몬테카를로 방법 · GPU 컴퓨팅

10. Footnotes[편집]

1. 1919년 관측은 소브랄과 프린시페 두 곳에서 이뤄졌는데, 소브랄의 한 망원경 자료가 뉴턴 값에 가까운 결과를 냈고 그 자료가 배제됐다. 배제 사유가 초점 이상이라는 기술적 근거였는지 결론 선호였는지를 두고 논쟁이 길었고, 1970년대의 재분석은 대체로 배제가 정당했다는 쪽이지만 “당시 오차로는 두 예측을 가르기 빠듯했다”는 점에는 이견이 없다. 과학사에서 결론은 맞았는데 근거는 아슬아슬했던 사례로 자주 인용된다. ↩

2. 수치 실험으로 이 정리를 확인해 보려는 사람이 자주 밟는 지뢰가 있다. SIS 같은 특이 모형을 격자에 넣고 상 개수를 세면 태연히 2개가 나오는데, 정리가 틀린 게 아니라 가정(밀도가 어디서도 발산하지 않는 매끄러운 렌즈)이 깨진 것이다. 코어 반지름을 아주 작게라도 넣는 순간 중앙에 극도로 어두운 세 번째 상이 되살아난다. 위상학적 정리를 수치로 검증할 때는 정리의 전제부터 이산화에서 살아남았는지 확인하는 게 국룰. ↩

3. 이런 대회는 실제로 열린다. 시뮬레이션으로 만든 렌즈에 정답 질량 지도를 숨겨 두고 각 팀이 복원한 것과 비교하는 방식인데, 매번 나오는 교훈이 같다. 상 위치 잔차를 0.1초각까지 줄인 모형이 반드시 질량을 더 잘 맞추는 것은 아니다. 잔차를 끝까지 짜내는 것이 곧 자유도로 잡음을 적합하는 것이기 때문이다. ↩