위상장 모형

1. 개요[편집]

위상장 모형 Phase-field model
다른 이름	상장 모형 · 확산계면 모형
핵심 발상	계면을 추적하지 않고 번지게 한다
기반	긴즈부르그-란다우 자유에너지 범함수
비보존 형	알렌-칸 (2계 PDE, 곡률 구동)
보존 형	카안-힐리어드 (4계 PDE, 질량 보존)
정당화	얇은 계면 점근 → 깁스-톰슨 · 스테판 조건
수치 대가	Δx ≲ ε 해상 + 명시적일 때 Δt ~ Δx⁴

계면이 어디 있는지 매 스텝 찾아 헤매느니, 계면을 두께 있는 물건으로 만들어 버리면 되지 않을까.

위상장 모형은 날카로운 계면을 유한한 두께 $\varepsilon$ 로 매끄럽게 번지게 한 뒤, 그 계면 위치를 스칼라 장(위상장) $\phi$ 의 등고선으로 암묵적으로 표현하는 확산계면(diffuse interface) 접근법이다. 응고 중인 금속의 고상/액상 경계, 합금의 상분리, 결정립계, 균열면, 두 유체의 경계 — 원래는 “선”이나 “면”으로 다뤄야 할 대상을 전 영역에서 정의된 매끄러운 필드 하나로 바꾼다.

얻는 것이 명확하다. 계면의 위상 변화가 공짜다. 액적이 합쳐지든 갈라지든, 수지상 가지가 서로 부딪히든, 균열이 분기하든 — 코드는 아무것도 하지 않는다. 그냥 편미분방정식을 한 스텝 더 풀 뿐이다. 계면을 명시적으로 들고 다니는 전선 추적(front tracking) 방식이 재격자화와 위상 수술로 무너지는 지점에서 위상장은 태연하다. 레벨셋 방법과 발상이 비슷하지만 결정적 차이가 있다 — 레벨셋의 $\phi$ 는 기하학적 보조 함수인 반면, 위상장의 $\phi$ 는 자유에너지를 갖는 물리적 질서변수다. 그래서 위상장은 계면의 에너지·이방성·동역학을 방정식 안에서 직접 다룰 수 있다.

대가는 정직하다. 계면 두께 $\varepsilon$ 을 격자로 해상해야 하고, 그 $\varepsilon$ 이 물리적 계면 두께(나노미터)가 아니라 수치적 편의로 정한 값이라면 그 선택이 결과를 오염시키지 않는다는 증명이 따로 필요하다. 이 문서의 절반이 그 증명에 관한 이야기다.

2. 자유에너지 범함수[편집]

출발점은 상전이 문서에 나오는 란다우 전개에 기울기 항을 더한 긴즈부르그-란다우 범함수다. 질서변수 $\phi$ 에 대해

$$F[\phi] \;=\; \int_{\Omega} \left[\, \frac{\varepsilon^{2}}{2}\,|\nabla \phi|^{2} \;+\; f(\phi) \,\right] d\mathbf{x}, \qquad f(\phi) = \tfrac{1}{4}\left(\phi^{2}-1\right)^{2}$$

$f$ 는 $\phi = \pm 1$ 에 두 개의 우물을 가진 이중우물 퍼텐셜이다. 두 우물이 두 상(고상/액상, A상/B상)이고, 그 사이 언덕을 넘는 좁은 띠가 계면이다. 기울기 항은 $\phi$ 가 급변하는 것에 벌점을 매긴다. 계면이 두꺼워지려는 힘(기울기 항)과 얇아지려는 힘(이중우물)의 타협이 계면 두께를 정한다.

1차원 정지 계면의 프로파일은 손으로 풀린다. 등분배 조건 $\frac{\varepsilon^2}{2}\phi'^2 = f(\phi)$ 에서

$$\phi(x) = \tanh\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}\,\varepsilon}\right), \qquad \sigma = \int_{-\infty}^{\infty} \varepsilon^{2}\phi'^{2}\,dx = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\varepsilon$$

즉 계면 두께는 $\varepsilon$ 에 비례하고 표면장력도 $\varepsilon$ 에 비례한다. 이 두 식이 위상장 모형의 보정(calibration) 전부다. 원하는 물리적 $\sigma$ 를 맞추려면 $f$ 앞의 계수와 $\varepsilon$ 을 함께 조정해야 하고, 이 관계를 안 맞추면 표면장력이 격자 크기에 따라 달라지는 사고가 난다.¹

3. 비보존이냐 보존이냐 — 알렌-칸 대 카안-힐리어드[편집]

모형의 갈래는 $\phi$ 의 총량이 보존되어야 하는가로 갈린다. 둘 다 자유에너지의 경사 흐름(gradient flow)이지만 어떤 내적에서의 경사 흐름이냐가 다르다.

알렌-칸 방정식(비보존, 모형 A). $L^2$ 경사 흐름이다.

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = -M\,\frac{\delta F}{\delta \phi} = M\left(\varepsilon^{2}\nabla^{2}\phi - f'(\phi)\right)$$

2계 PDE라 다루기 쉽고, 앨런과 카안(1979)이 반위상 경계 운동을 설명하려고 도입했다. 얇은 계면 극한에서 계면은 평균 곡률 운동 $v_n = -M\sigma\kappa$ 을 한다. 결정립 성장, 반위상 도메인 조대화, 그리고 파괴역학의 위상장 균열 모형이 이 계열이다. 단점은 이름 그대로 $\int\phi$ 가 보존되지 않는다는 것 — 두 상의 부피 비를 지켜야 하면 라그랑주 승수를 붙인 부피 보존형 알렌-칸을 쓴다.

카안-힐리어드 방정식(보존, 모형 B). $H^{-1}$ 경사 흐름, 즉 화학퍼텐셜의 확산 플럭스로 움직인다.

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \nabla\cdot\left(M\nabla\mu\right), \qquad \mu = \frac{\delta F}{\delta \phi} = -\varepsilon^{2}\nabla^{2}\phi + f'(\phi)$$

$\mu$ 를 대입하면 $\phi$ 에 대한 4계 편미분방정식이 된다. 카안과 힐리어드(1958)가 불균일계의 자유에너지를 다루며 유도했고, 발산 형태라 $\int\phi$ 가 자동으로 보존된다.

두 방정식의 성격 차이는 조대화 지수에서 가장 뚜렷하다.

모형	차수	보존	계면 운동	특성 길이 성장
알렌-칸	2계	없음	평균 곡률 운동	$L \sim t^{1/2}$
카안-힐리어드	4계	있음	멀린스-세케르카형	$L \sim t^{1/3}$

$t^{1/3}$ 은 오스트발트 숙성의 리프시츠-슬료조프-바그너 법칙과 같은 지수다. 질량을 옮겨야만 도메인이 자랄 수 있으니 느리다 — 지수 하나에 물리가 다 들어 있다.

3.1. 스피노달 분해[편집]

카안-힐리어드가 가장 극적으로 보이는 장면은 스피노달 분해다. 균일한 $\phi_0$ 주위로 선형화하면 성장률이 나온다.

$$\sigma(k) = -M k^{2}\left(f''(\phi_0) + \varepsilon^{2}k^{2}\right)$$

$f''(\phi_0) < 0$ 인 구간(이중우물의 오목한 안쪽, 스피노달 영역)에서는 $k^2 < -f''/\varepsilon^2$ 인 긴 파장이 전부 불안정하다. 확산계수가 음수가 되어 물질이 농도가 높은 쪽으로 흘러가는(uphill diffusion) 상황이며, 최불안정 파수는 $k_m = \sqrt{-f''(\phi_0)/(2\varepsilon^{2})}$ 이다. 그래서 급랭 직후 미세조직에 특정 파장의 미로 무늬가 균일하게 나타나고, 이후 조대화가 그것을 천천히 굵게 만든다. 스피노달 영역 밖(준안정 영역)에서는 대신 임계핵을 넘어야 하는 핵생성-성장이 일어난다는 대비도 이 분산관계에서 바로 읽힌다.

4. 얇은 계면 점근 — 왜 이게 물리인가[편집]

여기가 위상장 모형이 “그럴듯한 그림 만들기”에서 “정당한 수치 기법”으로 승격되는 지점이다. 질문은 이것이다. $\varepsilon \to 0$ 극한에서 위상장 방정식은 원래 풀려던 자유경계 문제로 수렴하는가?

응고 문제를 예로 들면, 온도장 $u$ 와 위상장 $\phi$ 를 연립한 표준 모형

$$\tau\,\partial_t \phi = \varepsilon^{2}\nabla^{2}\phi - f'(\phi) + \lambda\,u\,g'(\phi), \qquad \partial_t u = D\nabla^{2}u + \tfrac{1}{2}\partial_t \phi$$

에 대해 정합 점근 전개를 수행하면, $\varepsilon \to 0$ 에서 다음 두 조건이 회복된다.

• 깁스-톰슨 조건. 계면에서의 과냉도가 곡률과 계면 속도에 의해 정해진다: $u_i = -d_0\kappa - \beta\,v_n$. $d_0$ 는 모세관 길이, $\beta$ 는 동역학 계수이며, 둘 다 위상장 매개변수 $(\varepsilon, \tau, \lambda)$ 의 조합으로 명시적으로 나온다.
• 스테판 조건. 계면에서 잠열이 방출되며 열 플럭스가 도약한다: $L\,v_n = \left[\!\left[\,k\,\partial_n T\,\right]\!\right]$.

이 계산을 처음 체계적으로 한 것이 카긴알프의 날카로운 계면 점근(1980년대)인데, 실용적으로는 치명적 문제가 있었다. 계면 두께 $\varepsilon$ 가 모세관 길이 $d_0$(보통 나노미터)보다 작아야 극한이 성립해서, 마이크로미터 규모의 수지상 조직을 계산하는 것이 불가능했다.

돌파구는 카르마와 라펠(1996, 1998)의 얇은 계면 점근이다. 점근 전개를 $\varepsilon/d_0$ 가 아니라 $\varepsilon/\ell_D$($\ell_D$ = 확산 길이)로 다시 조직하면, $d_0 \ll \varepsilon \ll \ell_D$ 라는 훨씬 넉넉한 영역에서도 올바른 자유경계 문제가 회복된다. 게다가 매개변수를 잘 고르면 원치 않는 계면 동역학 계수 $\beta$ 를 정확히 0으로 만들 수 있다. 이 한 편으로 위상장 응고 계산의 실용 규모가 몇 자릿수 커졌다. 합금(2성분) 문제에서는 계면 두께가 만드는 가짜 용질 트래핑을 상쇄하는 반트래핑 플럭스(anti-trapping current, 카르마 2001)가 같은 역할을 한다.

교훈은 이렇다. $\varepsilon$ 을 물리값보다 크게 잡는 것은 허용되지만, 그때 생기는 오차를 상쇄하도록 나머지 매개변수를 재보정해야 한다. 이 재보정 없이 $\varepsilon$ 만 키우면 그것은 다른 물리를 푸는 것이다. 위상장 논문에서 ”$\varepsilon$ 수렴 시험”이 필수인 이유다.

5. 이방성과 수지상 성장[편집]

눈송이가 육각형인 이유, 주조 조직이 나뭇가지 모양인 이유는 표면에너지와 계면 동역학이 방향에 따라 다르기 때문이다. 위상장은 이것을 넣기가 놀랍도록 쉽다. 계면 법선 방향 $\theta = \arctan(\phi_y/\phi_x)$ 에 대해 기울기 계수를 방향 의존으로 만든다.

$$\varepsilon(\theta) = \bar\varepsilon\left[\,1 + \delta\cos\!\left(m(\theta - \theta_0)\right)\right]$$

$m=4$ 면 입방 대칭(금속 수지상), $m=6$ 이면 육방 대칭(눈송이). 고바야시(1993)의 계산이 이 방식으로 실제 수지상 조직을 재현해 보이면서 위상장이 재료 분야의 표준 도구가 됐다.

주의할 점 하나. 패턴을 정하는 것은 표면에너지 $\sigma(\theta)$ 자체가 아니라 계면 강성(stiffness) $\sigma + \sigma''$ 다. $\sigma = \sigma_0(1+\delta\cos4\theta)$ 이면

$$\sigma + \sigma'' = \sigma_0\left(1 - 15\,\delta\cos 4\theta\right)$$

이므로 $\delta > 1/15$ 에서 강성이 음수가 되는 방향이 생긴다. 물리적으로는 그 방향이 계면에서 사라지고 패싯(facet)이 나타나는 것이고, 수치적으로는 방정식이 그 방향에서 후방 열방정식이 되어 부적정 문제가 된다. $\delta$ 를 0.05로 놓는 논문이 많은 이유가 이것이고, 진짜 패싯 결정을 다루려면 정칙화 항(고차 곡률 벌점)을 추가해야 한다.

이방성이 만드는 팁 반지름 선택 문제는 새프먼-테일러 불안정의 손가락 폭 선택과 같은 부류의 특이섭동 문제다. 이 계열에서는 작은 이방성이 대역 패턴 규모를 정한다는 것이 공통 결론이며, 위상장이 그 미세한 항을 제대로 담고 있는지가 계산의 신뢰도를 좌우한다.

6. 수치적 대가[편집]

위상장의 청구서는 두 장이다.

공간. 계면 프로파일 $\tanh(x/\sqrt2\varepsilon)$ 을 해상하려면 계면을 가로질러 최소 5~10개 격자점이 필요하다. 즉 $\Delta x \lesssim \varepsilon/4$ 정도. 그런데 관심 있는 도메인은 $\varepsilon$ 보다 수백 배 크다. 적응 격자 세분화가 사실상 필수이며, 위상장이 AMR을 가장 열심히 쓰는 분야 중 하나인 이유다.

시간. 카안-힐리어드를 명시적으로 풀면 4계 연산자 때문에 안정 조건이

$$\Delta t \;\lesssim\; \frac{\Delta x^{4}}{M\,\varepsilon^{2}}$$

가 된다. 격자를 두 배 조밀하게 하면 시간 간격은 16분의 1. 2계인 확산 방정식의 $\Delta x^2$ 도 괴로운데 그 제곱이다. 조대화는 $t^{1/3}$ 로 느리게 진행되므로 오래 돌려야 하는데 스텝은 극단적으로 작다 — 전형적인 강성 방정식 상황이다. 처방은 다음과 같다.

• 볼록 분할(convex splitting, 에어 1998). $f = f_{\text{볼록}} - f_{\text{오목}}$ 로 쪼개 볼록 부분은 음함수, 오목 부분은 양함수로 다룬다. 시간 간격에 무관하게 자유에너지가 단조 감소한다는 무조건 에너지 안정성을 준다. 정확도는 1차지만 안정성이 워낙 좋아 오래 표준으로 쓰였다.
• 반음해/IMEX 안정화. 선형 4계 항만 음함수로, 비선형 항은 양함수로 처리하고 인공 안정화 항 $A(\phi^{n+1}-\phi^n)$ 을 더한다. 암시적 룽게-쿠타법 계열이나 지수 적분기를 쓰면 고차 정확도까지 챙길 수 있다.
• 에너지 안정 고차 기법. SAV(scalar auxiliary variable)나 IEQ는 자유에너지를 보조 변수로 바꿔치기해 선형 방정식만 풀면서도 에너지 감소를 보장한다. 2010년대 이후 사실상 기본값.
• 스펙트럴/FFT. 주기 경계에서는 $-\varepsilon^2\nabla^2$ 가 대각화되므로 고속 푸리에 변환 기반 의사스펙트럼법이 압도적으로 빠르다. 비선형 항만 실공간에서 계산하는 전형적인 의사스펙트럼 구조.
• 음함수 풀이의 내부 반복. 4계 음함수 계는 조건수가 나쁘다. 다중격자(다중격자법)나 GMRES + 적절한 전처리가 필요하고, 여기서 전체 계산 시간의 대부분이 나간다.

무엇을 골라도 반드시 확인해야 할 것은 이산 자유에너지가 단조 감소하는가다. $F^{n+1} \le F^{n}$ 이 깨지는 순간 그 계산은 물리가 아니다. 위상장 코드의 첫 번째 회귀 시험은 언제나 에너지 곡선이다.²

7. 어디에 쓰이나[편집]

• 응고와 미세조직. 수지상 성장, 공정(eutectic) 조직, 편석. 주조·용접·적층제조 공정 예측의 주력.
• 결정립 성장. 다상장(multi-phase-field) 모형으로 수십~수천 개의 결정립을 동시에 굴린다.
• 상분리·박막. 블록 공중합체, 리튬 전지 전극의 상분리, 유기 태양전지 활성층 형태 제어.
• 파괴. 위상장 균열 모형은 균열 표면 에너지를 확산 필드로 근사해 균열 경로를 미리 정하지 않고 분기·합체·정지를 다룬다. 파괴역학에서 균열 전파 경로를 격자에 의존하지 않고 얻는 몇 안 되는 방법.
• 다상 유동. 카안-힐리어드를 나비에-스토크스 방정식과 연성한 모형 H는 다상유동에서 VOF 방법·레벨셋 방법의 대안이다. 접촉선 이동 문제에서 특이점 없이 젖음을 다룰 수 있다는 것이 강점.
• 위상 최적화. 밀도 기반 SIMP 대신 위상장을 설계 변수로 쓰면 경계가 매끄럽고 둘레 벌점이 자연스럽게 들어온다.

공통점이 보인다. “경계가 어디로 갈지 모르고, 도중에 위상이 바뀌는” 문제라면 위상장이 후보다. 반대로 계면 위치를 아주 정밀하게 알아야 하고 위상 변화가 없는 문제라면, 계면 두께라는 인위적 길이 척도를 도입할 이유가 없다.³

8. 관련 문서[편집]

• 상전이 · 이징 모형 · 재규격화군
• 알렌-칸 방정식 · 카안-힐리어드 방정식 · 스피노달 분해
• 수지상 성장 · 확산 제한 응집 · 새프먼-테일러 불안정
• 레벨셋 방법 · VOF 방법 · 다상유동 · 나비에-스토크스 방정식
• 강성 방정식 · 암시적 룽게-쿠타법 · 지수 적분기 · 의사스펙트럼법
• 적응 격자 세분화 · 다중격자법 · GMRES · 고속 푸리에 변환
• 파괴역학 · 위상 최적화 · 표면장력 · 변분법

9. Footnotes[편집]

1. 표기 관례가 문헌마다 제각각이라 계수를 그대로 베끼면 안 된다. 어떤 논문은 $\phi \in [0,1]$ 에 $W\phi^2(1-\phi)^2$ 를 쓰고, 어떤 논문은 $\phi \in [-1,1]$ 에 $\frac14(\phi^2-1)^2$ 를 쓴다. 이 문서는 후자다. 계면 두께와 표면장력 공식의 $\sqrt2$ 와 $2\sqrt2/3$ 은 그 선택에 딸린 숫자일 뿐이니, 남의 코드를 가져올 때는 반드시 이중우물의 정의부터 확인할 것. ↩

2. 자유에너지가 아주 조금 올라가는 것을 보고 “수치 오차겠지” 하고 넘어가면, 며칠 뒤 계면이 격자에 고정되거나($\varepsilon$ 이 작아 생기는 pinning) 도메인이 갑자기 사라지는 것을 보게 된다. 에너지 곡선은 위상장 코드의 잔차 그래프다. ↩

3. 그리고 리뷰어의 첫 질문은 언제나 ”$\varepsilon$ 을 절반으로 줄이면 결과가 같습니까”이다. 이 질문에 답이 없는 위상장 논문은 예쁜 그림 모음집이다. 격자 수렴 시험과 계면 두께 수렴 시험은 다른 시험이며, 둘 다 해야 한다. ↩