이징 모형

1. 개요[편집]

이징 모형(Ising model)은 격자의 각 자리에 $s_i=\pm1$ 두 값만 갖는 스핀을 놓고, 이웃한 스핀끼리의 상호작용만으로 자성체의 협동 현상을 기술하는 통계물리 모형이다. 해밀토니안은

$$H = -J\sum_{\langle ij\rangle} s_i s_j - h\sum_i s_i$$

로, $J>0$이면 강자성(이웃끼리 같은 방향을 선호), $h$는 외부 자기장이다. 합 기호 $\langle ij\rangle$는 최근접 이웃 쌍에 대해서만 한 번씩 센다는 뜻.

이보다 더 단순한 상호작용계를 만들기는 어렵다. 그런데 이 장난감이 상전이·임계 현상·보편성이라는 통계물리의 핵심을 전부 품고 있고, 2차원 정확해까지 존재한다. 덕분에 이징 모형은 계산물리에서 새 알고리즘을 만들면 반드시 먼저 던져 보는 표준 벤치마크가 되었다.¹

2. 분배함수와 관측량[편집]

모든 것은 분배함수에서 나온다.

$$Z = \sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})},\qquad \beta = \frac{1}{k_B T}$$

문제는 상태의 개수다. $L\times L$ 격자에 스핀이 $L^2$개면 항이 $2^{L^2}$개다. 겨우 $10\times10$ 격자도 $2^{100}\approx10^{30}$개로, 전수 합산은 처음부터 포기해야 한다. 그래서 실제로는 몬테카를로 방법으로 볼츠만 분포에서 상태를 표본추출해 기대값을 추정한다.

관심 있는 양은 자화 $m=\frac{1}{N}\sum_i s_i$, 에너지 밀도, 그리고 그 요동으로 정의되는 감수율과 비열이다.

$$\chi = \frac{N}{k_BT}\left(\langle m^2\rangle-\langle |m|\rangle^2\right),\qquad C = \frac{N}{k_BT^2}\left(\langle e^2\rangle-\langle e\rangle^2\right)$$

즉 감수율·비열은 따로 미분해서 구하는 게 아니라 표본의 분산에서 바로 나온다. 요동-흩어짐 정리 덕분인데, 시뮬레이션 구현 입장에서는 “관측량은 평균과 분산만 모아 두면 된다”는 뜻이라 아주 편하다.

3. 1차원과 2차원 — 온사거의 정확해[편집]

이징이 1924년 박사논문에서 푼 것은 1차원 사슬이었다. 전달행렬(transfer matrix)로 정확히 풀리는데, 결과는 실망스러웠다. 임의의 $T>0$에서 자유에너지가 해석적이고, 유한 온도 상전이가 존재하지 않는다. 직관적으로는 1차원에서 도메인 벽 하나를 만드는 데 드는 에너지 비용은 $2J$로 고정인데 벽을 놓을 위치의 엔트로피는 $\ln L$로 커지므로, 온도가 조금이라도 있으면 자유에너지가 항상 벽을 만드는 쪽으로 기운다. 이징 본인은 이 결과를 보고 모형 전체가 쓸모없다고 결론지었다.²

반전은 1944년 라르스 온사거가 외부장 없는 2차원 정사각격자를 정확히 풀면서 일어났다. 임계온도는

$$\frac{k_B T_c}{J} = \frac{2}{\ln(1+\sqrt{2})} \approx 2.269$$

이고, 비열이 $T_c$에서 로그 발산하며, 자발자화는 $T<T_c$에서 $m\sim(1-T/T_c)^{1/8}$로 켜진다. 상호작용하는 다체계에서 상전이를 해석적으로 증명한 최초의 사례이고, 지금도 새로 짠 몬테카를로 방법 코드의 정답지 역할을 한다. 3차원은 지금까지 정확해가 없어서, 임계지수는 수치 시뮬레이션과 등각 부트스트랩으로만 알려져 있다.

4. 임계지수와 보편성[편집]

$T_c$ 근처에서 물리량은 거듭제곱 법칙을 따른다. $t=(T-T_c)/T_c$라 두면

$$m \sim |t|^{\beta},\qquad \chi \sim |t|^{-\gamma},\qquad \xi \sim |t|^{-\nu}$$

2차원 이징의 정확값은 $\beta=1/8$, $\gamma=7/4$, $\nu=1$이다.³ 핵심은 이 지수들이 격자 모양이나 $J$의 크기 같은 미시 세부에 전혀 의존하지 않는다는 점이다. 정사각격자든 삼각격자든, 스핀이든 액체-기체 임계점이든, 차원과 대칭성만 같으면 같은 지수를 갖는다. 이 현상을 보편성(universality)이라 하고, 재규격화군이 그 이유를 설명한다. 시뮬레이션 관점에서는 굉장한 면허증이다 — 실제 물질을 그대로 모형화할 필요 없이, 대칭성만 맞춘 가장 싼 모형을 돌려도 임계 거동은 같은 답이 나온다.

5. 몬테카를로 시뮬레이션과 임계 감속[편집]

표준 처방은 메트로폴리스 알고리즘이다. 스핀 하나를 골라 뒤집었을 때의 에너지 변화 $\Delta E$를 계산하고, $\Delta E\le0$이면 무조건 수용, 아니면 확률 $e^{-\beta\Delta E}$로 수용한다. 최근접 이웃만 보면 되므로 $\Delta E$ 계산은 $O(1)$이고, 취할 수 있는 $\Delta E$ 값도 몇 개뿐이라 지수함수를 미리 표로 만들어 두는 게 국룰이다.

문제는 $T_c$ 근처다. 상관길이 $\xi$가 발산하면서 크기 $\xi$짜리 도메인 전체를 뒤집어야 독립적인 표본이 되는데, 한 번에 스핀 하나만 뒤집는 국소 갱신으로는 그 일이 무작위 걷기처럼 진행된다. 자기상관 시간이

$$\tau \sim \xi^{\,z} \sim L^{\,z}$$

로 커지고, 메트로폴리스의 동적 지수는 2차원에서 $z\approx2.17$이다. 격자를 2배 키우면 필요한 스윕 수가 4배 이상으로 뛴다는 뜻. 이것을 임계 감속(critical slowing down)이라 한다.

해법은 스핀 하나가 아니라 클러스터를 통째로 뒤집는 것이다. 스윈센-왕(1987)과 울프(1989) 알고리즘은 이웃한 같은 방향 스핀을 확률 $p=1-e^{-2\beta J}$로 묶어 클러스터를 만들고 그 전체를 한 번에 뒤집는데, 이 $p$ 값이 정확히 상세균형을 만족하도록 정해져 있다. 동적 지수가 $z\approx0.25$까지 내려가 임계점 계산이 사실상 공짜가 된다. 스핀글라스처럼 클러스터 기법이 안 통하는 경우에는 온도 사다리를 오르내리는 병렬 템퍼링이 대안이다.

6. 유한크기 스케일링과 비너 누적률[편집]

유한 격자에서는 $\xi$가 $L$을 넘을 수 없으므로 발산이 둥근 봉우리로 뭉개진다. 그런데 이 뭉개지는 방식 자체가 스케일링 함수를 따르므로, 여러 $L$의 데이터를 겹쳐(collapse) 무한계 값을 뽑아낼 수 있다. 가장 잘 쓰이는 도구가 비너 누적률(Binder cumulant)이다.

$$U_L = 1 - \frac{\langle m^4\rangle}{3\langle m^2\rangle^2}$$

$T_c$에서 $U_L$이 $L$에 거의 의존하지 않으므로, 여러 격자 크기의 $U_L(T)$ 곡선을 그려 교차점을 찾으면 $T_c$가 나온다. 임계지수를 미리 몰라도 되는 게 장점이라 불확실성 정량화가 필요한 실전 데이터 분석에서 특히 유용하다.

7. 응용 — 자성체를 넘어서[편집]

이징 모형이 살아남은 진짜 이유는 자성체 밖에 있다.

• 스핀글라스: $J_{ij}$를 무작위 부호로 두면 좌절(frustration)이 생겨 에너지 지형이 거대한 골짜기 숲이 된다. 담금질 모사와 병렬 템퍼링이 태어난 시험대가 여기다.
• 격자 기체와 이원 합금: $s_i=\pm1$을 “원자 있음/없음”, “A원자/B원자”로 읽으면 그대로 격자 기체 모형이 된다. 격자 기체 오토마타와도 이 지점에서 계보가 닿는다.
• 조합최적화와 QUBO: 이차 무제약 이진 최적화 문제 $\min\ x^{\mathsf T}Qx$는 $x_i\in\{0,1\}$을 $s_i=2x_i-1$로 바꾸면 정확히 이징 해밀토니안의 바닥상태 찾기가 된다. 여행하는 외판원, 그래프 분할, 포트폴리오 선택이 전부 이 형태로 사상되며, 양자 어닐러와 광학·CMOS 기반 “이징 머신”이 겨냥하는 문제가 바로 이것이다.⁴
• 뉴런과 사회 모형: 홉필드 네트워크는 대칭 결합을 가진 이징 모형과 수학적으로 동일하다.

8. 관련 문서[편집]

• 몬테카를로 방법 · 병렬 템퍼링
• 담금질 모사 · 유전 알고리즘
• 계산물리 · 통계
• 주기경계조건 · 격자
• 격자 기체 오토마타
• 재규격화군 · 상전이 · 스핀글라스

9. Footnotes[편집]

1. 빌헬름 렌츠가 1920년에 제안하고 제자 에른스트 이징이 풀었는데, 이름은 제자가 가져갔다. 학계에서 흔한 일이지만 이 경우는 제자가 “이 모형은 쓸모없다”고 결론 낸 논문이라 더 얄궂다. ↩

2. 이징은 이후 물리학계를 떠나 교사로 일했고, 자기 이름이 붙은 모형이 통계물리의 표준이 된 것을 한참 뒤에야 알았다고 전해진다. 논문 한 편으로 40년 뒤 학문 분야 하나를 먹여 살린 셈. ↩

3. 이 지수들은 스케일링 관계 $\alpha+2\beta+\gamma=2$, $\gamma=\nu(2-\eta)$ 등으로 서로 묶여 있어 독립적인 것은 두 개뿐이다. 수치 시뮬레이션에서 지수를 따로따로 뽑았는데 이 관계가 안 맞으면, 자연의 승리가 아니라 통계 부족이거나 유한크기 보정을 안 넣은 것이다. ↩

4. “NP-hard 문제를 이징으로 사상했다”까지는 누구나 한다. 사상한 뒤에도 여전히 NP-hard라는 게 함정. 이징 머신의 가치는 복잡도 계층을 깨는 데 있는 게 아니라, 같은 지수 시간이라도 상수를 얼마나 줄이느냐에 있다. ↩