조파저항

유체역학 전산유체역학 마지막 수정: 2026-08-09 04:49:37

1. 개요[편집]

조파저항 Wave-making resistance
기호	R_w, 계수는 C_w
지배 무차원수	프루드 수 Fr = U/√(gL)
켈빈 반각	arcsin(1/3) = 19.47°
고전 이론	미첼 박선 적분 (1898)
실무 분해	프루드 가설: 마찰 + 잉여
대표 저감책	구상선수, 선체 형상 최적화

배가 앞으로 나아가면서 물에게 지불하는 창작료. 파도라는 작품은 배 뒤에 영원히 남는다.

조파저항(wave-making resistance)은 자유표면 위를 움직이는 물체가 중력파를 만들어 그 파에 에너지를 실어 보내면서 받는 저항 성분이다. 점성 때문에 생기는 마찰저항과 달리, 조파저항은 점성이 정확히 0이어도 존재한다. 무한 유체 속을 움직이는 물체에는 항력이 없다는 포텐셜 유동의 달랑베르 역설이, 자유표면이 있으면 깨지기 때문이다. 물체가 만든 파는 뒤로 무한히 퍼져 나가면서 에너지를 영구히 가져가고, 그 유출률을 속도로 나눈 것이 곧 저항이다.

지배 인자는 프루드 수 $\mathrm{Fr} = U/\sqrt{gL}$ 하나다. 관성과 중력의 겨루기가 파를 만드는 물리 그 자체이기 때문이다. 저속 화물선에서는 전저항의 10~20% 정도지만, $\mathrm{Fr}$ 이 0.3을 넘어가는 컨테이너선이나 함정에서는 절반 이상을 차지하며, 여기서 몇 %를 깎는 것이 선체 형상 최적화에 붙는 예산의 근거가 된다.

2. 켈빈 파형 — 왜 하필 19.47°인가[편집]

깊은 물의 중력 표면파는 분산성이다. 파장 $\lambda$ 인 파의 위상속도와 군속도는

c_p = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}, \qquad c_g = \frac{1}{2}c_p

로, 군속도가 위상속도의 정확히 절반이다. 배가 속도 $U$ 로 달리며 계속 파를 뿌릴 때, 정상 상태에서 배와 함께 움직여 보이려면 그 파의 위상속도가 $U\cos\theta$ ( $\theta$ 는 파 진행 방향과 항로 사이 각)여야 한다. 즉 $\lambda(\theta) = 2\pi U^2\cos^2\theta / g$ 다.

각 방향으로 뿌려진 파의 에너지는 군속도로만 퍼지고, 이 조건들을 모두 만족하는 교란의 포락선을 구하면 항적이 꼭짓점 반각이 고정된 쐐기 안에 갇힌다는 결론이 나온다. 켈빈 경이 1887년에 정지위상법으로 얻은 그 값이

\theta_K = \arcsin\frac{1}{3} = 19.47^\circ

이다. 놀라운 점은 이 각이 속도에도 배 크기에도 무관하다는 것이다. 오리가 만드는 항적과 유조선이 만드는 항적의 벌어짐이 같다. 위성 사진에서 배의 크기를 몰라도 항적 각도가 늘 같아 보이는 이유이고, 군속도가 위상속도의 절반이라는 분산 관계 딱 하나에서 나온 결과다.¹

쐐기 안의 파는 두 계열로 나뉜다.

횡파(transverse wave) — 항로에 거의 수직인 마루들이 배 뒤로 줄지어 따라온다. 파장은 $\lambda_t = 2\pi U^2/g$ 로, 배 속도만으로 결정된다.
발산파(divergent wave) — 쐐기 경계 쪽으로 비스듬히 뻗는 깃털 모양 파. 배 옆으로 벌어지는 그 무늬다.

둘은 쐐기 경계선(첨점선, cusp line) 위에서 합쳐진다. 조파저항의 계산은 결국 이 두 계열이 실어 나르는 에너지를 세는 일이다.

3. 험프와 홀로 — 뱃머리와 선미가 간섭한다[편집]

배는 파원이 하나가 아니다. 뱃머리에서 압력이 높아져 마루가, 어깨에서 낮아져 골이, 선미에서 다시 마루가 생긴다. 이 파 계열들이 선체 길이만큼 떨어진 위치에서 서로 간섭한다.

횡파 파장을 프루드 수로 쓰면 관계가 선명해진다.

\frac{\lambda_t}{L} = \frac{2\pi U^2}{gL} = 2\pi\,\mathrm{Fr}^2

$\mathrm{Fr}$ 이 커지면 파장이 길어지고, 뱃머리 마루와 선미 마루의 위상 관계가 주기적으로 뒤집힌다. 보강 간섭이면 항적이 커지고 조파저항이 튀어 오르며(험프, hump), 상쇄 간섭이면 움푹 꺼진다(홀로, hollow). 그래서 $C_w$ – $\mathrm{Fr}$ 곡선은 단조 증가가 아니라 물결친다. 흔히 인용되는 험프 위치가 $\mathrm{Fr} \approx 0.24,\ 0.31,\ 0.50$ 이고, 그중 마지막 것이 가장 크고 그 뒤로는 험프가 없어서 최종 험프(last hump)라 부른다. 정확한 위치는 선체 형상과 유효 길이에 따라 밀리므로 숫자 자체는 대략의 이정표로만 써야 한다.

선체속도(hull speed) 이야기가 여기서 나온다. $\lambda_t = L$ 이 되는 조건을 풀면

\mathrm{Fr} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0.399

이고, 야드파운드 관습으로는 $V[\text{knot}] = 1.34\sqrt{L[\text{ft}]}$ 다. 문제는 이것이 물리적 장벽이 아니라 경험칙이라는 점이다. 이 근처에서 $C_w$ 가 급하게 오르는 것은 사실이지만 어디에도 발산이나 특이점은 없다. 실제로 세장한 함정, 카타마란, 조정 경기용 스컬은 $\mathrm{Fr}$ 0.5~0.6을 일상적으로 넘고, 활주정은 아예 동적 양력으로 선체를 물 밖으로 들어올려 이 논의를 회피한다. 배를 길게 만들면 같은 속력에서 $\mathrm{Fr}$ 이 내려간다는 사실도 같은 이야기의 다른 면이다 — 선체속도는 길이에 대한 진술이지 자연법칙이 아니다.²

4. 미첼의 박선 적분 (1898)[편집]

$R_w$ 를 처음으로 형상에서 직접 계산한 사람이 오스트레일리아의 존 미첼(J. H. Michell)이다. 1898년 논문에서 그는 선체가 얇다(beam ≪ length)고 가정해 자유표면 조건과 선체 조건을 선형화하고, 조파저항을 선체 표면 기울기의 이중 적분으로 표현했다.

R_w = \frac{4\rho g^2}{\pi U^2}\int_1^{\infty}\frac{\left|I(\kappa)\right|^2\,\kappa^2}{\sqrt{\kappa^2-1}}\,d\kappa

$I(\kappa)$ 는 선체 표면 기울기 $\partial f/\partial x$ 를 파수 $\kappa$ 로 푸리에 변환한 진폭 함수다. 구조를 읽는 것이 중요하다 — 조파저항은 선체 형상의 스펙트럼 성분 크기의 제곱을 파수 방향으로 적분한 것이다. 특정 $\mathrm{Fr}$ 에서 저항을 줄이려면 그 속도에서 문제가 되는 파수 성분의 진폭을 죽이면 된다는 처방이 곧바로 따라 나오고, 실제 선형 설계 논리 전체가 이 문장의 확장판이다.

미첼 적분은 발표 당시 거의 주목받지 못하다가 30년쯤 지나 헤이블록(Havelock) 등이 재발견하면서 이론 조선학의 출발점이 되었다. 정량적으로는 실선과 잘 안 맞는다 — 실제 배는 얇지 않고, 점성이 선미 파를 상당히 죽이며, 자유표면 조건의 비선형성이 무시할 수준이 아니다. 그럼에도 험프·홀로의 위치와 형상 변화의 방향성은 놀랄 만큼 잘 짚어내서, 지금도 형상 최적화의 값싼 목적함수로 살아 있다.

5. 구상선수 — 일부러 만드는 상쇄 간섭[편집]

파를 안 만들 수 없다면, 반대 위상의 파를 하나 더 만들어 지워 버리자. 뱃머리 아래 물속에 달린 둥근 혹, 즉 구상선수(bulbous bow)가 정확히 그 장치다. 구상부가 만드는 파 계열이 선수파와 대략 역위상이 되도록 크기·전후 위치·잠긴 깊이를 맞추면, 두 계열이 상쇄되어 항적 자체가 작아진다. 없던 저항을 없애는 것이 아니라 에너지를 방사하기 전에 서로 지우는 것이다.

교과서적으로 아름답지만 조건이 까다롭다.

설계 속도·흘수에서만 잘 듣는다. 위상 관계가 $\mathrm{Fr}$ 과 잠긴 깊이의 함수라, 감속 운항하거나 공선 상태로 뜨면 상쇄가 어긋나 오히려 저항이 늘 수도 있다. 2010년대 저속 운항(slow steaming)이 확산되면서 기존 선박의 구상선수를 잘라내고 새로 다는 개조가 실제로 유행했다.
부가 표면적만큼 마찰저항은 늘어난다. 조파 이득이 그보다 커야 남는 장사다.
조파 저감 외에 부가질량과 종동요 응답을 바꿔 파랑 중 성능에도 영향을 준다. 잔잔한 물에서의 이득만 보고 설계하면 실해역에서 손해를 볼 수 있다.

1950~60년대 이누이 다카오(乾崇夫)의 이론·실험 연구로 설계 논리가 정립된 뒤 대형 상선의 표준 장비가 되었다.

6. 시뮬레이션 — 두 무차원수를 동시에 못 맞추니까[편집]

조파저항 예측이 유독 어려운 근본 이유는 축척 문제다. 모형에서 프루드 수를 맞추려면 축척비 $\lambda$ 에 대해 $V_m = V_s/\sqrt{\lambda}$ 로 느리게 끌어야 하는데, 그러면 레이놀즈수가 $\lambda^{3/2}$ 배 작아진다. 둘을 동시에 맞추려면 물보다 수백 배 묽은 액체가 필요하고, 그런 유체는 없다.

윌리엄 프루드가 19세기에 내놓은 실무 해법이 프루드 가설 — 전저항을 레이놀즈수만의 함수인 마찰 성분과 프루드 수만의 함수인 잉여 성분으로 쪼갠다.

C_T(\mathrm{Re},\mathrm{Fr}) = C_F(\mathrm{Re}) + C_R(\mathrm{Fr})

모형 시험에서 잰 $C_T$ 에서 평판 마찰선(ITTC-1957)으로 계산한 $C_F$ 를 빼 $C_R$ 을 얻고, 실선 레이놀즈수에서 $C_F$ 를 다시 계산해 더한다. 엄밀히 말해 $C_R$ 은 순수 조파저항이 아니라 조파 + 형상(점성압력)저항이며, 이 얼룩을 정리하려고 형상계수 $(1+k)$ 를 도입해 $C_T = (1+k)C_F + C_w$ 로 쓰는 휴즈 방식이 표준이 됐다. 예인수조 실무는 이 $(1+k)$ 를 저속 시험에서 프로하스카 외삽으로 뽑는다.

수치해석 쪽 선택지는 둘이다.

포텐셜 유동 패널법. 자유표면 조건을 선형화하고 선체·자유표면에 특이점을 분포시켜 푼다(뉴만-켈빈 문제, 도슨 방법). 점성이 없어 조파 성분만 깨끗하게 나오고 계산이 몇 초~~몇 분이라, 수백~~수천 개 형상 후보를 훑는 형상 최적화나 대리 모델 학습 데이터 생성에는 아직도 이쪽이 주력이다. 박선 가정이 필요 없다는 점에서 미첼 적분의 현대판.
자유표면 RANS. VOF 방법으로 공기-물 계면을 잡고 유한체적법으로 푼다. 침수 선미, 쇄파, 트림·침하(sinkage) 자세 변화, 프로펠러 반류까지 한 번에 본다. 대신 격자 요구가 가혹하다 — 횡파 파장 $\lambda_t$ 당 최소 수십 셀, 파고 방향으로 10셀 이상을 안 주면 수치 소산과 분산이 파를 죽여 조파저항이 과소평가된다. 원방 경계에서 반사된 파가 되돌아오지 않게 감쇠 구역을 두는 것도 필수다.

검증 기준값은 여전히 예인수조에서 온다. KCS 컨테이너선, KVLCC2 유조선, DTMB 5415 함정 같은 공개 선형이 국제 CFD 워크숍의 표준 문제로 쓰이며, 여기서 파고 절단(wave cut) 분포와 저항 계수를 실험과 맞춰 보는 것이 이 분야의 검증 및 확인 관행이다. 실선 스케일 계산이 가능해진 지금도 수조가 안 없어지는 이유가 그것이다.³

7. 관련 문서[편집]

다만 이건 점파원(배가 만드는 교란이 파장에 비해 작을 때)의 결과다. 배가 아주 빠르거나 클 때 관측되는 항적 각은 19.47°보다 좁아지고, 대략 $1/\mathrm{Fr}$ 에 비례해 줄어든다는 보고가 2010년대에 나왔다. 위성 사진 속 항적이 생각보다 날카로워 보이는 데는 이유가 있었던 셈이다. ↩
그럼에도 “선체속도를 넘을 수 없다”는 문장이 요트 커뮤니티에서 불멸인 이유는, 그 근처에서 소요 마력이 정말 가파르게 오르기 때문이다. 물리적 장벽은 아니지만 지갑의 장벽인 것은 맞다. 엔진을 두 배로 키워 1노트를 더 얻겠다는 계획은 대체로 후회로 끝난다. ↩
조파저항 CFD의 가장 흔한 사망 원인은 난류 모델도 격자 품질도 아니고 도메인 크기다. 원방 경계를 인색하게 잡으면 반사파가 되돌아와 선체에 다시 부딪히고, 그 결과는 저항 곡선의 험프가 실제와 다른 자리에 서 있는 형태로 나타난다. 잔차는 예쁘게 내려간다. 그래서 더 무섭다. ↩