얕은 물 방정식

전산유체역학 유체역학 마지막 수정: 2026-08-05 04:43:55

1. 개요[편집]

얕은 물 방정식 Shallow Water Equations
약칭	SWE (생브낭 방정식)
가정	정수압, 연직 가속 무시, 연직 평균 속도
유형	쌍곡형 보존법칙계
파속	$u \pm \sqrt{gh}$
지배 무차원수	프루드 수 $Fr = u/\sqrt{gh}$
주 수치기법	유한체적법 + 리만 솔버, well-balanced
주 용도	홍수·해일·하천·대기/해양 역학

물이 얕으면 방정식도 얕아진다. 대신 충격파가 생긴다.

얕은 물 방정식(shallow water equations, SWE)은 수심이 수평 길이 스케일보다 훨씬 작아 연직 방향 가속도를 무시할 수 있을 때, 압력을 정수압으로 놓고 나비에-스토크스 방정식을 수심 방향으로 적분해 얻는 쌍곡형 보존법칙계다. 미지수는 3차원 속도장과 압력장이 아니라 수심 $h(x,y,t)$ 와 연직 평균 수평속도 $\mathbf{u}(x,y,t)$ 뿐 — 즉 문제가 통째로 한 차원 내려간다. 1871년 아데마르 바레 드 생브낭(Barré de Saint-Venant)이 하천 유동용으로 유도해 생브낭 방정식이라고도 부른다.

“얕다”의 기준은 절대 수심이 아니라 종횡비다. 수심 4 km의 태평양도 파장 200 km짜리 쓰나미 입장에서는 압도적으로 얕은 물이다. 실제로 전 지구 해일 전파 계산은 거의 전부 SWE로 이뤄진다.

2. 방정식[편집]

보존형으로 쓰면 질량(수심) 보존과 운동량 보존이다.

\frac{\partial h}{\partial t} + \nabla\cdot(h\mathbf{u}) = 0

\frac{\partial (h\mathbf{u})}{\partial t} + \nabla\cdot\!\left(h\,\mathbf{u}\otimes\mathbf{u} + \tfrac{1}{2}gh^2 \mathbf{I}\right) = -gh\nabla b - f\,\mathbf{k}\times h\mathbf{u} + \mathbf{S}_f

$b(x,y)$ 는 바닥 지형, $f$ 는 코리올리 파라미터, $\mathbf{S}_f$ 는 바닥 마찰(매닝·셰지 식)이다. 운동량 플럭스 안의 $\frac{1}{2}gh^2$ 이 정수압 적분에서 나온 “압력” 항이고, 이게 SWE의 성격을 결정한다.

기체동역학과의 대응이 유명한데, $h \leftrightarrow \rho$ 로 놓으면 압력이 $p = \frac{1}{2}g\rho^2 \propto \rho^2$ 이므로 비열비 $\gamma = 2$ 인 등엔트로피 기체와 수학적으로 같은 구조가 된다. 그래서 압축성 유동에서 개발된 도구 대부분이 그대로 이식된다.¹

3. 파동과 프루드 수[편집]

1차원 SWE의 특성속도는 $\lambda_{1,2} = u \mp \sqrt{gh}$ 이고, 대응하는 리만 불변량은 $u \pm 2\sqrt{gh}$ 다. 여기서 중력 표면파의 속도 $c = \sqrt{gh}$ 가 나오며, 이게 음속에 해당하는 역할을 한다. 마하 수 자리에 오는 것이 프루드 수

Fr = \frac{u}{\sqrt{gh}}

이며, 흐름의 성격을 가른다.

$Fr < 1$ (상류/아임계): 교란이 상류로 거슬러 올라갈 수 있다. 하류 경계조건이 상류에 영향을 준다.
$Fr > 1$ (사류/초임계): 모든 특성이 하류로만 간다. 상류에서 무슨 짓을 해도 상류는 모른다.
$Fr = 1$ : 임계 흐름. 수문·둑 위의 조절 단면.

초임계에서 아임계로 갈아탈 때 생기는 불연속이 수충격(hydraulic jump)이다. 실제로 이건 충격파와 같은 수학적 대상이며, 랭킨-위고니오 관계에 대응하는 점프 조건이 존재한다. 부엌 싱크대에서 수도꼭지 아래 생기는 동그란 테두리가 그거고, 엔트로피 조건에 해당하는 것은 “에너지는 점프에서 소산되어야 한다”는 요구다. 어느 방향으로 점프가 허용되는지(초임계→아임계만 가능)를 이게 결정한다.

4. 댐 붕괴 문제[편집]

SWE의 표준 벤치마크는 댐 붕괴 리만 문제다. $x<0$ 에 수심 $h_L$ , $x>0$ 에 $h_R$ 인 정지 상태로 시작해 벽을 순간적으로 제거하면, 왼쪽으로 팽창파(rarefaction), 오른쪽으로 충격(보어)이 달려가고 그 사이에 일정 상태가 생긴다. 마른 바닥( $h_R = 0$ )에 대해서는 리터(Ritter, 1892)의 해석해가 있어

h(x,t) = \frac{1}{9g}\left(2\sqrt{gh_L} - \frac{x}{t}\right)^{2}

로 팽창 부채꼴이 정확히 주어진다. 새 코드를 짜면 무조건 이걸 먼저 돌려본다.

보존형 1D 얕은 물 방정식을 유한체적법으로 푼 댐 붕괴 리만 문제다. HLL 리만 솔버 + MUSCL(minmod) 2차 재구성 + SSP-RK2 이고, Δt 는 CFL 0.45 로 매 스텝 자동 결정한다. 위 패널의 노란 점선은 중간수심 h* 를 뉴턴법으로 풀어 얻은 정확 리만 해다. 좌향 희박파는 수치해가 거의 겹쳐 지나가지만 우향 충격은 서너 셀에 걸쳐 번지고, 셀 수를 400 까지 올리면 그 폭이 좁아진다. 격자를 바꿔가며 HUD 의 L1 오차를 비교하면 수렴차수가 약 1.0 으로 나온다(N=100→1600 에서 5.10e−3 → 3.16e−4, 실측 차수 0.97~1.04) — 매끄러운 영역에서 2차인 기법이라도 불연속이 들어간 L1 노름 전체로는 1차가 정상이다. 아래 패널은 프루드 수 Fr = |u|/√(gh) 이고 주황이 Fr>1 인 초임계 구간이다. h_R/h_L 을 0.138 아래로 내리면 중간 영역이 초임계로 넘어간다. 충격 위치는 정확해와 0.53셀 이내로 맞고, 플럭스 형식이라 질량 보존 상대오차는 사이클 대부분에서 1e−13 이하로 유지된다(가장 굵은 100셀 격자에서만 사이클 끝 무렵 5e−7 까지 오르는데, 번진 파의 발이 투과 경계로 조금 빠져나가기 때문이다). 바닥은 평평하고 마찰·코리올리 항은 넣지 않았으며, 연직 방향은 정수압 가정으로 평균한 1차원 계다. 경계는 투과 조건이고 파가 경계에 닿기 전에 자동으로 리셋한다.

5. 수치해석[편집]

5.1. 유한체적법 + 리만 솔버[편집]

쌍곡형 보존계이므로 유한체적법이 표준이다. 셀 경계에서 리만 솔버로 플럭스를 계산하는데, 실무에서 쓰이는 것은 다음 정도.

솔버	특징	주의점
Roe	정확한 선형화, 접촉 불연속 잘 잡음	마른 바닥에서 깨짐, 엔트로피 픽스 필요
HLL	견고하고 양의 수심 보존	중간파를 뭉개 접촉면이 퍼짐
HLLC	중간파 복원	파속 추정에 민감
정확 리만 솔버	기준해	반복 계산 비용

5.2. well-balanced (C-property)[편집]

SWE 수치해석의 진짜 함정은 여기다. 정지한 호수 $h + b = \mathrm{const}$ , $\mathbf{u} = 0$ 은 정확한 정상해인데, 플럭스 항과 지형 소스항 $-gh\nabla b$ 를 따로따로 이산화하면 둘이 정확히 상쇄되지 않아 아무것도 안 했는데 물이 출렁이기 시작한다. 이 가짜 유속은 지형 기울기가 클수록 커지고, 실제 물리 신호보다 커지는 경우도 흔하다.

이를 막는 도식을 well-balanced(균형 보존) 도식이라 하며, 정지 상태를 이산 수준에서 정확히 보존하는 성질을 C-property라 부른다. 대표적인 처방이 오뒤스(Audusse) 등의 정수압 재구성(hydrostatic reconstruction): 셀 경계에서 수심을 $h^* = \max(0,\ h + b - \max(b_L, b_R))$ 로 재구성해 플럭스와 소스항이 구조적으로 상쇄되게 만든다.²

5.3. 마름/젖음 (wetting-drying)[편집]

해안 침수·홍수 범람 계산에서는 $h \to 0$ 인 셀이 계속 생긴다. 문제는 속도를 $\mathbf{u} = (h\mathbf{u})/h$ 로 복원하는 순간 0으로 나누기가 발생하고, 조금이라도 음의 수심이 나오면 $\sqrt{gh}$ 가 NaN이 되며 계산 전체가 즉사한다는 것. 대책은

양의 수심 보존(positivity-preserving) 도식과 그에 맞는 시간 스텝 제한,
임계 수심 이하에서 속도를 죽이는 비특이화(desingularization),
마른 셀의 재구성 기울기 제한.

이 셋이 세트로 들어간다. 셋 중 하나만 빼먹어도 범람 프론트에서 터진다.

5.4. 시간 적분과 나머지[편집]

시간은 SSP 룽게-쿠타(2·3차)가 국룰이고, 공간 2차 이상은 MUSCL 재구성 + 기울기 제한자를 쓴다. 마찰항은 강성(stiff)이라 반음해적으로 처리하는 경우가 많다. 지형이 험한 하천에서는 적응 격자 세분화로 프론트만 조밀하게 잡는 것도 표준 전략.

6. 어디에 쓰이나[편집]

해일·쓰나미: 심해 전파는 SWE, 해안 근처 처오름은 마름/젖음 포함 SWE 또는 부시네스크형 확장.
홍수 범람·댐 붕괴: 2D SWE가 사실상 규제 표준.
하천·수로: 1D SWE(생브낭)로 장구간 장기 계산.
대기·해양: SWE는 원시방정식의 1층 버전이자, 수치기상예보 역학코어의 표준 시험 문제다. 윌리엄슨 등의 구면 SWE 테스트 세트 7종은 새 역학코어가 반드시 통과해야 하는 관문이다. 로스비 파·켈빈 파 같은 대규모 파동이 이 단계에서 이미 나온다.
선박·저장탱크: 자유표면 진동, 즉 슬로싱의 저차 모델. 다만 강한 충격 하중이나 파의 부서짐이 중요하면 VOF 방법 같은 완전 3차원 자유표면 계산으로 넘어가야 한다.

7. 한계[편집]

정수압 가정을 깔았으므로 분산이 없다. 그래서 SWE는 파장이 짧아지면 틀리고, 특히 솔리톤을 만들지 못한다. 실제 물결은 비선형 첨예화와 분산이 겨루면서 고립파를 만드는데, SWE는 분산 항이 없으니 그냥 꺾여서 보어가 되어버린다. 이 결핍을 메우려고 연직 구조를 한 차수 더 살린 것이 부시네스크형 방정식이고, 단방향 극한으로 축약한 것이 KdV 방정식이다. 또한 연직 평균이라 성층·연직 전단·강한 연직 대류는 원리적으로 표현할 수 없다.³

8. 관련 문서[편집]

대응이 완벽하진 않다. $\gamma = 2$ 기체는 실존하지 않고(단원자 기체도 5/3), 무엇보다 SWE에는 온도·엔트로피에 해당하는 독립 변수가 없다. 그래도 Roe 평균부터 HLLC 파속 추정까지 공식이 거의 그대로 옮겨 온다는 사실은 여전히 편리하다. ↩
well-balanced 아니어도 격자를 충분히 조밀하게 하면 가짜 유속이 줄긴 한다. 문제는 “충분히”가 실무 격자보다 한참 조밀하다는 것이고, 그래서 결국 도식을 고치는 게 싸게 먹힌다. ↩
“그럼 그냥 3D로 풀면 되지 않나”라는 질문에는 태평양 전체를 연직 격자까지 넣고 실시간보다 빨리 풀어야 한다는 답이 돌아온다. 해일 경보는 몇 분 안에 나와야 하고, 그 제약이 모델 선택을 대신 해준다. ↩