코제니-카르만 식

유체역학 계산물리 마지막 수정: 2026-09-15 04:24:35

1. 개요[편집]

코제니-카르만 식(Kozeny–Carman equation)은 다공질 매체의 투과도를 공극률과 입자의 비표면적만으로 추정하는 준경험식이다. 형태는 이렇다.

k = \frac{1}{c}\,\frac{n^3}{S_v^2\,(1-n)^2}

$k$ 는 고유투과도(m²), $n$ 은 공극률, $S_v$ 는 고체 단위 부피당 표면적(1/m), $c$ 는 코제니 상수로 구형 입자 충전층에서 대략 5다. 구형 입자 지름 $d$ 로 다시 쓰면 $S_v = 6/d$ 이므로 실무에서 익숙한 꼴이 나온다.

k = \frac{d^2\,n^3}{180\,(1-n)^2}

“입경의 제곱에 비례하고 공극률의 세제곱에 비례한다”는 이 한 줄이, 수리전도도를 실험 없이 자릿수라도 잡아야 할 때 100년째 쓰이는 이유다.¹

2. 어디서 나오는가[편집]

유도의 발상은 다공질 매체를 굽은 관 다발로 바꿔치기하는 것이다.

공극을 수력반경 $R_h = n/S$ 인 등가 관으로 본다( $S$ 는 부피당 젖음 표면적, $S = S_v(1-n)$ ).
그 관 안의 흐름을 하겐-푸아죄유 흐름으로 가정한다 — 즉 층류이고 관성은 무시한다.
관이 직선이 아니라 굽어 있으므로 실제 경로 길이를 굴곡도 $\tau$ 로 보정하고, 공극 안 평균 유속과 다르시 유속을 $n$ 으로 잇는다.
결과를 다르시 법칙 꼴로 정리한다.

그러면 $k = n R_h^2/(\,k_0 \tau^2)$ 형태가 나오고, 여기에 위의 $R_h$ 를 넣으면 $n^3/(1-n)^2$ 인자가 저절로 떨어진다. 코제니 상수 $c$ 는 관 모양 계수와 $\tau^2$ 를 한데 뭉친 쓰레받기로, 이론적으로 계산된 값이 아니라 충전층 실험으로 맞춘 값이다. $c \approx 5$ 는 대략 $k_0 \approx 2.5$ , $\tau^2 \approx 2$ 에 해당한다.

3. 왜 $n^3/(1-n)^2$ 인가[편집]

이 조합은 외우기보다 분해해서 보는 게 낫다.

분자의 $n$ 한 개: 흐를 수 있는 단면적 비율.
분자의 $n^2$ : 수력반경의 제곱, 즉 관이 굵으면 유량이 급히 는다는 푸아죄유 효과.
분모의 $(1-n)^2$ : 젖음 표면적의 제곱. 고체가 많으면 벽면 마찰이 그만큼 늘어난다.

그래서 공극률이 0.3에서 0.4로 겨우 0.1 오르면 투과도는 2.4배가 된다. 콘크리트 양생이나 분말 압축 성형에서 공정 변동이 조금 생겨도 투과도가 껑충 뛰는 현상이 이걸로 설명된다. 반대로 이 민감도는 식을 역으로 쓰기 어렵게 만든다 — 측정한 $k$ 에서 $n$ 을 역산하면 오차가 세 배로 증폭된다.

4. 언제 맞고 언제 틀리는가[편집]

잘 맞는 조건은 꽤 좁다.

조건	상태
균일한 구형 입자 충전층, $n \approx 0.3\sim0.6$	대체로 ±30% 안
단분산 유리구슬, 소결 금속 필터	잘 맞음
넓은 입도 분포의 자연 모래	자릿수만
점토·팽윤성 광물	심하게 과대평가
균열암·이중공극 매질	무의미
$n \to 0$ 근처 (치밀 세라믹, 암석)	발산적으로 틀림

핵심 실패 원인은 두 가지다. 첫째, 비표면적을 재는 스케일과 흐름이 느끼는 스케일이 다르다. BET 분석으로 잰 $S_v$ 는 나노 요철까지 다 세는데, 물은 그 요철 안으로 흐르지 않는다. 점토에서 코제니-카르만이 투과도를 몇 자릿수 과대평가하는 주된 이유다.² 둘째, 연결성을 모른다. 식에는 공극이 서로 통하는지에 관한 정보가 없어서, 고립 기공이 많은 부석이나 발포체에서는 완전히 빗나간다. 퍼콜레이션 관점에서 보면 투과도는 임계 공극률 $n_c$ 근처에서 $k \propto (n-n_c)^\mu$ 처럼 거동하므로, 코제니-카르만에 문턱값을 넣은 수정형

k = \frac{1}{c}\,\frac{(n-n_c)^3}{S_v^2\,(1-n+n_c)^2}

이 압축 분말이나 치밀암에서 더 잘 맞는다.

5. 수치해석에서의 쓰임[편집]

공극 스케일 계산의 정합성 확인. 마이크로 CT 구조에 격자 볼츠만 방법이나 스토크스 솔버를 돌려 $k$ 를 뽑을 때, 코제니-카르만 예측과 같은 자릿수가 아니면 거의 항상 코드가 아니라 경계조건이나 해상도가 문제다. 공극 폭당 격자 4칸 이하면 벽 근처 전단이 뭉개져 $k$ 가 과대평가된다.
상향 스케일링의 폐합식. 저류층·지반 시뮬레이션에서 압밀이나 용해·침전으로 공극률이 변할 때, $k(n)$ 관계로 코제니-카르만을 끼워 넣는 게 관례다. 반응성 수송 코드에서 광물 침전이 유로를 막는 피드백을 표현할 때 이 폐합식이 없으면 계산이 물리를 잃는다.
여과·연료전지 설계. 필터 케이크나 기체확산층의 압력손실 추정은 거의 전부 이 식 계열이다. 케이크가 압축되면 $n$ 이 줄어 압력손실이 비선형으로 뛰는데, 설계에서는 그 민감도 자체가 결과물이다.

6. 형제 식들[편집]

에르귄 식. 충전층 압력손실을 층류항(코제니-카르만과 동일한 $150$ 계수)과 관성항으로 나눠 쓴다. 입자 레이놀즈 수가 10을 넘으면 다르시 선형성이 깨지므로 여기서부터는 에르귄 또는 포르흐하이머 보정이 필요하다.
아치의 법칙. 전기전도도와 공극률을 잇는 유사한 멱함수 관계로, 지구물리 검층에서 코제니-카르만의 전기 버전 역할을 한다.
카체니-카르만-바트 관계. 수은 압입법(수은 압입법)으로 얻은 문턱 기공 반경을 대표 길이로 쓰는 변형. 입도보다 기공 목(pore throat)이 지배적인 암석에서 더 낫다.

결론은 늘 같다. 코제니-카르만은 자릿수를 잡는 도구이자 계산 결과를 의심할 기준선이지, 설계값을 내는 식이 아니다. 자릿수가 맞으면 일단 돌리고, 값이 필요하면 측정한다.³

7. 관련 문서[편집]

코제니가 1927년, 카르만이 1937년에 각각 정리했다. 100년 가까이 살아남은 건 정확해서가 아니라 입력이 공극률과 입경뿐이어서다. 필요한 물성이 적은 식은 오래 산다. ↩
점토는 여기에 전기이중층까지 겹친다. 표면 가까운 물이 사실상 고정돼 흐르는 단면이 더 줄어드는데, 식에는 그런 항이 없다. ↩
그러니까 “코제니-카르만으로 뽑았습니다”는 보고서에서 근거가 아니라 알리바이에 가깝다. 자릿수 검증용이라고 솔직히 쓰는 게 낫다. ↩