불확실성 정량화

1. 개요

불확실성 정량화 Uncertainty Quantification
약칭	UQ (V&V와 합쳐 VVUQ)
두 종류	우연적(aleatory) / 인식적(epistemic)
방향	전방 전파 / 역추정(베이지안 보정)
대표 기법	몬테카를로, 다항식 카오스, 대리 모델
MC 수렴률	O(N−1/2) — 차원 무관
표준	ASME V&V 20-2009, NASA-STD-7009A

불확실성 정량화(Uncertainty Quantification, UQ)는 시뮬레이션의 입력·모델·수치오차에 들어있는 불확실성이 관심 있는 출력에 얼마나 전파되는지를 정량적으로 다루는 분야다. 한마디로 “이 해석 결과, 숫자 하나로 믿어도 되나요?”라는 질문에 확률로 답하는 학문이다. 결정론적 해석이 점 하나($y = f(x)$)를 내놓는다면, UQ는 그 점 대신 분포를 내놓는다.

엔지니어링에서 이게 중요한 이유는 단순하다. 재료 물성, 경계 조건, 하중, 제조 공차 중 정확히 아는 값은 하나도 없다. 그런데도 우리는 대표값 하나를 넣고 유한요소법이나 전산유체역학을 돌린 뒤 그 결과에 도장을 찍는다. UQ는 그 관행에 “입력이 흔들리는데 출력만 안 흔들릴 리가 없잖아”라고 태클을 건다.¹

2. 불확실성의 두 종류

UQ의 출발점은 불확실성을 성질에 따라 둘로 쪼개는 것이다. 이 구분을 놓치면 대화가 계속 어긋난다.

• 우연적 불확실성(aleatory) — 세상 자체의 본질적 무작위성. 난류의 순간 변동, 재료 결정립의 산포, 풍하중의 시간 변동처럼 줄일 수 없는(irreducible) 변동이다. 데이터를 아무리 모아도 사라지지 않고, 확률분포로 기술한다.
• 인식적 불확실성(epistemic) — 우리가 몰라서 생기는 불확실성. 모델을 잘못 골랐거나, 파라미터를 덜 측정했거나, 격자가 거칠어서 생긴다. 이건 데이터·연구·격자 세분화로 줄일 수 있다(reducible). 확률로 다룰지 구간(interval)으로 다룰지부터 논쟁거리다.

라틴어까지 동원해 굳이 나누는 이유가 있다. 우연적 불확실성은 안전계수로 감내할 대상이지만, 인식적 불확실성은 돈과 시간을 쓰면 줄어드는 대상이라 의사결정이 완전히 다르기 때문이다. 격자를 촘촘히 해서 사라지는 오차에 안전계수를 붙이는 건 낭비고, 재료의 본질적 산포를 연구비로 없애려는 건 삽질이다.

로이-오버캄프(Roy & Oberkampf, 2011)의 프레임워크가 이 구분을 실행 절차로 못 박은 대표적인 문헌이다. 수치오차는 격자 수렴 지수 같은 검증 도구로 추정해 더하고, 입력 불확실성은 전파하고, 모델 형태 불확실성은 따로 구간으로 쌓아 올린다. 셋을 한 분포에 뭉개지 않는 것이 핵심이다.

3. 전방 문제와 역문제

UQ가 푸는 문제는 방향에 따라 둘로 갈린다.

**전방 UQ(forward propagation)**는 입력 분포가 주어졌을 때 출력 분포를 구한다. 입력 확률변수 $\mathbf{X}$ 의 분포와 모델 $Y = f(\mathbf{X})$ 를 알 때, $Y$ 의 평균·분산·분위수·파손확률 $P(Y > y_{\text{crit}})$ 를 추정하는 것이 목표다. UQ라고 하면 보통 이쪽을 떠올린다.

**역 UQ(inverse problem)**는 반대로, 관측된 출력으로부터 입력 분포를 추정한다. 실험 데이터에 모델을 맞춰 미지 파라미터의 사후분포를 구하는 **베이지안 보정(Bayesian calibration)**이 대표적이고, 사후분포 표본은 보통 마르코프 연쇄 몬테카를로로 뽑는다. 이건 사실상 역문제이자 베이지안 최적화와 같은 통계적 뿌리를 공유한다. 관측이 불완전하고 노이즈가 섞여 있으므로 결과 역시 분포로 나온다.

전방이든 역이든 최종적으로 궁금한 건 대개 하나로 수렴한다. 이 설계가 규정을 넘길 확률이 몇 퍼센트인가.

4. 전파 기법

입력 분포를 출력 분포로 옮기는 실전 도구들이다.

• 몬테카를로 방법 — 입력 분포에서 표본을 뽑아 모델을 반복 평가한다. 차원에 무관하게 수렴률이 $O(N^{-1/2})$ 로 일정한 게 최대 장점이자, 유일한 단점이다. 오차를 10배 줄이려면 표본을 100배 늘려야 하는데, 해석 한 번에 하루 걸리면 게임이 끝난다. 층화로 효율을 올린 라틴 하이퍼큐브 표본추출이 실무 기본값에 가깝다.
• 준몬테카를로(QMC) — 소볼·할톤 같은 저불일치 수열로 표본을 균등하게 깔아 수렴을 $O(N^{-1})$ 근처까지 끌어올린다. 매끄러운 저차원 문제에서 공짜로 얻는 이득.
• 다항식 카오스 전개(gPC) — 출력을 입력 확률변수의 직교다항식 급수로 전개한다. 가우시안 입력엔 에르미트, 균등 입력엔 르장드르 다항식을 쓰는 식으로 입력 분포에 맞춰 기저를 고른다(Wiener–Askey 체계, Xiu & Karniadakis 2002).

$$Y = f(\mathbf{X}) \approx \sum_{i=0}^{P} c_i \, \Psi_i(\mathbf{X})$$

계수 $c_i$ 만 구하면 평균·분산은 물론 소볼 지수까지 급수에서 해석적으로 뽑힌다. 매끄러운 응답에서는 몬테카를로보다 수백 배 빠르지만, 입력 차원이 늘면 항의 수가 폭발하는 **차원의 저주**에 걸린다(아래 § 검산에 숫자가 있다).

• 대리모델 기반 UQ — 대리 모델(크리깅 등)을 먼저 학습시켜 놓고 그 위에서 몬테카를로를 10만 번 돌린다. 원본 해석 대신 값싼 근사를 두들기는 것이라, 오늘날 비싼 해석에 대한 UQ는 사실상 전부 이 방식이다. gPC도 넓게 보면 대리모델의 일종이다. 단 대리모델 자체의 근사오차가 새로운 인식적 불확실성으로 추가된다는 점을 잊으면 안 된다.

5. 검산

UQ는 “표본을 많이 뽑으면 되지 않나”로 끝나는 분야가 아니다. 필요한 표본 수는 무엇을 추정하는가에 따라 자릿수가 달라진다.

꼬리확률의 표본 수. 파손확률 $p$ 를 지시함수 평균으로 추정하면 추정량의 상대표준오차는 $\mathrm{RSE} = \sqrt{(1-p)/(Np)}$ 다. 이걸 10%로 맞추는 데 필요한 $N$:

목표 확률 $p$	필요 표본 $N$ (RSE 10%)
$10^{-1}$	$9.0\times10^{2}$
$10^{-2}$	$9.9\times10^{3}$
$10^{-4}$	$1.0\times10^{6}$
$10^{-6}$	$1.0\times10^{8}$

즉 $p = 10^{-6}$ 을 10% 정확도로 보려면 해석을 1억 번 돌려야 한다. 백만 번만 돌리면 RSE가 100% — 추정값과 오차가 같은 크기라서 아무것도 말하지 못한다.² 평균을 10% 정확도로 보는 데는 보통 수백~수천 표본이면 되는데, 같은 모델에서 꼬리로 가면 다섯 자리가 더 필요한 것이다. 중요도 표본추출이 선택이 아니라 필수가 되는 지점이 여기다.

gPC 항 수의 폭발. 차원 $d$, 최고차수 $p$ 의 전차수(total-order) 기저는 항이 $\binom{p+d}{d}$ 개다.

차원 $d$ / 차수 $p$	2차	3차	4차
5	21	56	126
10	66	286	1,001
20	231	1,771	10,626
50	1,326	23,426	316,251

계수를 최소자승으로 맞추려면 보통 항 수의 23배 표본이 필요하니, 20차원 3차만 해도 해석 4천5천 번이다. “gPC가 몬테카를로보다 수백 배 빠르다”는 말이 저차원 전제를 깔고 있다는 뜻이다. 희소 gPC(LARS 등)로 항을 쳐내는 연구가 활발한 이유.

소볼 지수 검산용 기준 문제. 민감도 코드가 맞게 돌아가는지 보려면 해석해가 있는 이시가미 함수 $f = \sin x_1 + 7\sin^2 x_2 + 0.1\,x_3^4 \sin x_1$ ($x_i \sim U(-\pi,\pi)$)를 쓴다. 전분산 $V = 13.8446$ 이고 1차 지수는 $S_1 = 0.3139$, $S_2 = 0.4424$, $S_3 = 0$ 인데, 총효과는 $S_{T3} = 0.2437$ 이다. $x_3$ 는 혼자서는 출력 분산에 전혀 기여하지 않지만 $x_1$ 과의 상호작용으로 24%를 설명한다 — 1차 지수만 보고 변수를 쳐내면 안 되는 이유를 한 줄로 보여주는 반례다.

6. 검증·확인과의 관계

UQ는 검증 및 확인(V&V)의 자연스러운 종착지다. V&V가 “코드를 맞게 풀었나(verification), 맞는 방정식을 풀었나(validation)“를 따진다면, UQ는 거기서 남는 수치오차와 모델 불확실성에 **정량적 크기표(error bar)**를 붙인다. 그래서 요즘은 아예 붙여서 VVUQ라 부른다.

ASME V&V 20-2009는 이 결합을 표준 문서로 못 박은 사례다. 해석값 $S$ 와 실험값 $D$ 의 차이 $E = S - D$ 를 보고할 때, 수치오차·입력 불확실성·실험 불확실성을 각각 추정해 확인 불확실성 $u_{\text{val}}$ 을 합성하고, $|E| \lesssim u_{\text{val}}$ 인지로 판정하라고 규정한다. “그림이 비슷하다”는 눈대중 확인을 숫자로 대체한 것이다.

특히 중요한 게 **모델 형태 불확실성(model-form uncertainty)**이다. 파라미터가 아니라 지배방정식이나 난류 모델링 선택 자체가 틀렸을 가능성인데, 이건 확률분포로 깔끔하게 담기지 않아 UQ에서 가장 다루기 까다로운 짐승이다. 여러 모델을 앙상블로 돌려 그 산포를 보는 정도가 현실적 타협이다.

미국 원자력규제위원회(NRC)나 항공·국방 인증에서 UQ가 규제 요건으로 자리 잡은 것도 이 맥락이다. NASA-STD-7009A는 아예 모델·시뮬레이션의 불확실성 보고 항목과 신뢰도 평가 척도를 요구 사항으로 열거한다. “우리 시뮬레이션이 안전합니다”가 아니라 “95% 신뢰수준에서 파손확률이 $10^{-6}$ 이하입니다”라고 말해야 서류가 통과된다.

7. 현업에서의 현실

• 입력 분포를 정하는 게 UQ의 8할이다. “이 물성의 표준편차가 얼마죠?”라고 물으면 대부분 모른다. 결국 전문가 추정이나 빈약한 데이터로 분포를 지어내는데, 쓰레기를 넣으면 쓰레기 분포가 나온다(GIGO).
• 민감도 해석과 UQ는 붙어 다닌다. 민감도 해석으로 영향 없는 입력을 먼저 쳐내면 UQ 차원이 줄어 계산이 산다. 실무에선 스크리닝 → 차원 축소 → 전파 순서가 국룰이다.³ 단 위 이시가미 반례처럼 총효과 지수로 쳐내야 상호작용을 놓치지 않는다.
• 비싼 해석에는 다층 몬테카를로(MLMC)가 답이 되기도 한다. 거친 격자에서 많이, 고운 격자에서 적게 뽑아 둘의 차이만 보정하는 방식으로, 목표 정확도당 비용을 자릿수로 낮춘다.
• 결과를 평균±표준편차 하나로 보고하면 절반만 전달된 것이다. 의사결정자가 진짜 봐야 하는 건 분포의 꼬리, 즉 최악의 경우가 얼마나 나쁜가다.

8. 관련 문서

• 몬테카를로 방법 · 소볼 지수 · 중요도 표본추출
• 라틴 하이퍼큐브 표본추출 · 마르코프 연쇄 몬테카를로
• 민감도 해석 · 실험계획법
• 대리 모델 · 크리깅 · 베이지안 최적화
• 반응표면법 · 직교다항식 · 르장드르 다항식
• 역문제 · 검증 및 확인 · 격자 수렴 지수
• 차원의 저주 · 축소차수모델 · 물리 정보 신경망

9. Footnotes

1. 그래서 나온 유명한 격언이 “모든 모델은 틀렸지만 일부는 유용하다”(조지 박스). UQ는 여기에 “얼마나 틀렸는지를 숫자로 말하자”를 덧붙인 셈이다. ↩

2. 이 꼬리확률 게임의 무서운 점은, 관심 대상이 $10^{-6}$ 인데 몬테카를로를 백만 번 돌려봐야 사건이 평균 한 번 일어난다는 것이다. 위 표의 RSE 100%가 바로 그 상황을 숫자로 적은 것이다. 그래서 희소사건 UQ는 그 자체로 하나의 전문 분야가 됐다. ↩

3. 우연적/인식적 구분을 실무에서 진지하게 지키는 조직은 생각보다 적다. 다 섞어서 몬테카를로 한 방에 돌려버리는 게 흔한데, 그러면 “격자를 촘촘히 하면 줄어들 오차”와 “본질적 산포”가 한 분포에 뭉개져 의사결정의 근거가 흐려진다. ↩